του Παναγιώτη Γ. Μιχαηλίδη*

Πολύς λόγος γίνεται για την εξάπλωση της νόσου COVID-19 που προκαλεί ο νέος κορωνοϊός στη χώρα μας αλλά και στις υπόλοιπες χώρες που έχουν πληγεί. Ενδιαφερόμαστε, έτσι, να απαντήσουμε σε διάφορα ερωτήματα σχετικά με την εξάπλωση του ιού, αφού δεν έχουμε προϋπάρχουσα γνώση για τη συμπεριφορά του μιας και πρώτη φορά εμφανίζεται.

Εμείς εδώ θα αναλύσουμε τον ιό από τη σκοπιά των εφαρμοσμένων μαθηματικών που μελετούν προβλήματα που εμφανίζονται στην κοινωνία με τη βοήθεια της στατιστικής. Δεν είμαστε ούτε γιατροί, ούτε επιδημιολόγοι, ούτε βιολόγοι αλλά ούτε εργαζόμενοι στον κλάδους της υγείας ή της ιατρικής ή της βιολογικής επιστήμης. Είμαστε επιστήμονες που χρέος έχουν, με το όποιο όπλο διαθέτουν, να συμβάλουν στην αντιμετώπιση του ιού προσφέροντας π.χ. γνώση για τον τρόπο εξάπλωσής του ιού.

Για τον σκοπό αυτό, στο Εργαστήριο που διευθύνω αναπτύξαμε ένα μαθηματικό μοντέλο που εκτιμά τον αριθμό των διαγνωσμένων κρουσμάτων κορωνοϊού ως συνάρτηση του χρόνου. Πώς δηλαδή εξελίσσεται ο συνολικός αριθμός των κρουσμάτων καθώς ο χρόνος περνά. Το μοντέλο αυτό το εφαρμόσαμε, χρησιμοποιώντας κατάλληλες μαθηματικές και στατιστικές τεχνικές, στην περίπτωση της Κίνας, όπου το φαινόμενο έχει φτάσει σε φάση «ωρίμανσης», δηλαδή παρατηρούνται πολύ λίγα νέα κρούσματα και ο συνολικός αριθμός των κρουσμάτων δεν αλλάζει σημαντικά.

Έτσι, στην Κίνα, σε πρώτο στάδιο, ο ιός ακολουθεί μια αργή φάση εξάπλωσης, όπου ένα άτομο αρχικά έχει τον ιό τον οποίο και μεταδίδει. Σε δεύτερο στάδιο, ο ιός εξαπλώνεται πολύ γρήγορα, με ραγδαίο ρυθμό, καθώς τα νέα κρούσματα αλληλεπιδρούν με πολλά άλλα άτομα δημιουργώντας ακόμα περισσότερα κρούσματα. Η φάση αυτή χαρακτηρίζεται από «εκθετική αύξηση» και είναι δύσκολο να γίνει αντιληπτή από τον άνθρωπο που είναι συνηθισμένος σε γραμμικές μεταβολές, αφού η πλειονότητα των φαινομένων στη φύση και στην κοινωνία μπορούν να θεωρηθούν ως τέτοια. Ας σκεφτούμε όμως απλά ότι ένα νέο κρούσμα θα αλληλεπιδράσει με πολλά άλλα άτομα που αρκετά από αυτά θα μολυνθούν, και θα μολύνουν με τη σειρά τους πολλά άλλα ακόμα άτομα, κ.ο.κ. Αυτή η διαδικασία δημιουργεί πολύ μεγαλύτερο αριθμό συνολικών κρουσμάτων από όσα ίσως μπορούμε να φανταστούμε.

Στη συνέχεια, και αφού τμήμα του πληθυσμού έχει μολυνθεί, μειώνεται το τμήμα του πληθυσμού που πλέον απομένει να μολυνθεί (αφού έχει ήδη μολυνθεί ένα τμήμα του). Κυρίως όμως επειδή έχουν ληφθεί κατάλληλα μέτρα αντιμετώπισης (κλείσιμο σχολείων, καταστημάτων, κέντρων εστίασης, απαγόρευση συναθροίσεων, περιορισμός μετακινήσεων, απαγόρευση κυκλοφορίας κ.ο.κ.), τα νέα περιστατικά μειώνονται, οπότε ο συνολικός αριθμός κρουσμάτων μέχρι εκείνη τη στιγμή αυξάνεται μεν, πιο αργά από ότι το προηγούμενο διάστημα δε. Έτσι, τείνουμε να φτάσουμε σε ένα μέγιστο συνολικό αριθμό ατόμων που θα μολυνθεί (το επονομαζόμενο «ταβάνι» ή «άνω φράγμα» του φαινομένου) και από εκεί και πέρα το συνολικό πλήθος των κρουσμάτων σχεδόν σταθεροποιείται.

Καμπύλη κρουσμάτων

Το παραπάνω φαινόμενο, από μαθηματικής άποψης, περιγράφεται εξαιρετικά από μία συνήθη διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης. Γενικά, η διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση που συσχετίζει τις τιμές μιας συνάρτησης με αυτές των παραγώγων της στον χρόνο και διαδραματίζουν σημαντικό ρόλο σε πολλά επιστημονικά πεδία (π.χ. φυσική, βιολογία, οικονομία, τεχνολογία, κ.τ.λ.). Εν προκειμένω, η λύση της διαφορικής αυτής εξίσωσης μας δίνει την καμπύλη που περιγράφει το συνολικό ύψος των κρουσμάτων ως συνάρτηση του χρόνου.

Η καμπύλη που περιγράφει το φαινόμενο της εξάπλωσης του συνολικού αριθμού κρουσμάτων του ιού ονομάζεται «σιγμοειδής», αφού το σχήμα της προσομοιάζει στο λατινικό γράμμα «s», όταν σχεδιαστεί στο πέρασμα του χρόνου. Από μαθηματικής άποψης, η τυπική «σιγμοειδής» καμπύλη αυτή έχει μια σειρά από χρήσιμες μαθηματικές ιδιότητες. Ένα τμήμα αυτής περιλαμβάνει και την εκθετική αύξηση που όμως δεν είναι η μοναδική που χαρακτηρίζει την καμπύλη, αλλά μόνο ένα μέρος αυτής, εκείνο της απότομης αύξησης που όμως στη συνέχεια θα περιοριστεί.

Το μοντέλο που εκτιμήσαμε προέκυψε χρησιμοποιώντας τα πραγματικά καταγεγραμμένα περιστατικά μεταξύ 20 Ιανουαρίου 2020 και 03 Μαρτίου 2020 και προέρχονται από τη βάση δεδομένων του John Hopkins University and Medicine. Η “σιγμοειδής” καμπύλη που προκύπτει στην περίπτωση της Κίνας ερμηνεύει κατά το εξαιρετικά υψηλό 98,2% τα πραγματικά δεδομένα που παρατηρήθηκαν στην Κίνα.

Στη συνέχεια, το εκτιμηθέν μοντέλο χρησιμοποιήθηκε για να προβλέψει τις υπόλοιπες τιμές των καταγεγραμμένων περιστατικών μεταξύ 04 Μαρτίου και 16 Μαρτίου 2020 στην Κίνα. Οι τιμές των προβλέψεων που προέκυψαν συγκρίθηκαν με τις πραγματικές τιμές των καταγεγραμμένων περιστατικών και το μοντέλο παρουσίασε εντυπωσιακή χαμηλό σφάλμα, της τάξης του 1,2%. Τέλος, ο ανώτατος αριθμός καταγεγραμμένων κρουσμάτων που το μοντέλο προβλέπει για την Κίνα ανέρχεται περί τα 82.000 άτομα και είναι πολύ κοντά στο πραγματικό νούμερο που ανέρχεται σήμερα (23/03/2020) στα 81.500 άτομα περίπου.

Παρόμοιες μελέτες έχει ασφαλώς νόημα να πραγματοποιηθούν και για άλλες χώρες προκειμένου οι αρχές αλλά και οι πολίτες να γνωρίζουν τι να περιμένουν. Επομένως, σημαντικό μάθημα που πρέπει να μας μείνει είναι ότι η εξάπλωση της νόσου δύναται να περιορισθεί και για τον λόγο αυτό θα πρέπει να ακολουθούνται πιστά οι οδηγίες των ειδικών για τον περιορισμό αυτής. Ας συμβάλλει, λοιπόν, ο καθένας και η καθεμιά από εμάς, από τη θέση του ή της, στη μάχη ενάντια στη νόσο.

*Ο Παναγιώτης Μιχαηλίδης είναι Διευθυντής Εργαστηρίου Θεωρητικής κι Εφαρμοσμένης Οικονομικής και Δικαίου, και Αναπληρωτής Καθηγητής του Εθνικού Μετσοβίου Πολυτεχνείου (ΕΜΠ), της Σχολής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών (ΣΕΜΦΕ)

Headlines