Αυτές τις ημέρες του Αυγούστου που είναι ξεχωριστές για έναν μεγάλο αριθμό Ελλήνων, είτε μένουν στο σπίτι, είτε αναζητούν άλλες παραστάσεις, διακόπτουμε για λίγο τη ροή των σημειωμάτων μας γύρω από τη συνηθισμένη μαθηματική ύλη. Για να ρίξουμε μια ματιά στο ιδιαίτερα ενδιαφέρον για τους Ελληνες θέμα της λεγόμενης «χρυσής τομής» και στον ρόλο του περίφημου αριθμού φ = 1,618033… Ενδιαφέρον για τον βίο των ανθρώπων, των φυτών και κάποιων από τους κατοίκους του ζωικού βασιλείου.

Ευκλείδεια «Στοιχεία»

Η άκρη του νήματος βρίσκεται περίπου στο 300 π.Χ., στο πόνημα του Ευκλείδη «Στοιχεία», Βιβλίο 6. Εκεί υπήρχε η πρόταση 30, όπου παίρνοντας ένα τμήμα ευθείας μπορούμε να το χωρίσουμε σε δύο άνισα τμήματα, ας ονομάσουμε τα μήκη τους χ το μεγαλύτερο και ψ το μικρότερο. Ας φανταστούμε αυτό το προηγούμενο ότι το κάνουμε παίρνοντας ένα κλαδάκι όσο γίνεται πιο ευθύγραμμο και το σπάμε σε δυο άνισα κομμάτια. Αν το σπάσιμο αυτό δεν γίνει τυχαία, και οι τρεις οντότητες που προκύπτουν – χ (το μεγαλύτερο κομμάτι), ψ (το μικρότερο) και χ + ψ (όσο ήταν όλο μαζί στην αρχή) – έχουν μια σχέση μεταξύ τους που συνοπτικά και με τη γλώσσα των μαθηματικών περιγράφεται ως εξής:

χ/ψ = (χ + ψ) / χ

Ο τεμαχισμός αυτός είναι ο γνωστός από τον Ευκλείδη  ως «λόγος μέσων και άκρων όρων». Οπου άκροι όροι λογίζονται το χ +ψ και το μικρότερο κομμάτι, το ψ, ενώ μέσος είναι το χ.

Από αυτή την επιλογή των χ και ψ προκύπτει ο αριθμός: 1,6180339887498948482…

Είναι ανάγκη να τονιστεί πως ούτε ο Ευκλείδης και στη συνέχεια ούτε οι επόμενοι  Ελληνες σκέφτηκαν να χαρακτηρίσουν αυτή τη σπουδαία ανακάλυψη ως «χρυσή τομή» και να τη διαφημίσουν ως το μαγικό χάπι της ομορφιάς.

Αρχαιολατρική θεολογία

Πέρασαν αιώνες. Οι Αραβες φρόντισαν τα βιβλία του Ευκλείδη να μεταφραστούν στη γλώσσα τους και από αυτούς έφτασαν τον 13ο αιώνα στη Δύση. Μεταφράστηκαν στα λατινικά και το 1482 ένας γερμανός τυπογράφος εγκατεστημένος στη Βενετία παρουσιάζει την πρώτη έντυπη έκδοση των έργων του Ευκλείδη. Πούλησε φοβερά η έκδοση αυτή και εκεί μέσα γίνεται λόγος για την αρμονία που δημιουργεί αυτή η μαθηματική πρόταση με αριθμό 30. Το 1509 ο μοναχός Λούκα Πατσιόλι εκδίδει ξανά το έργο. Είχε ήδη αναπέμψει δικούς του ύμνους για τον μέσο και άκρο λόγο καλύπτοντας τα μαθηματικά με ένα θεολογικό πέπλο. «Ο λόγος αυτός, που δεν είναι αποτέλεσμα της διαίρεσης ακεραίων, είναι σύμβολο του θείου, πέρα από τη λογική» έγραφε. Και το δωδεκάεδρο, που κατασκευάζεται με τη βοήθεια αυτού του λόγου, θα έπρεπε κατ’ αυτόν να συμβολίζει τον ουρανό, σε συμφωνία και με τον «Τίμαιο» του Πλάτωνα.

Εχοντας γνωριστεί με τον Λεονάρντο ντα Βίντσι το 1495, διδάσκοντας τον μεγάλο ζωγράφο τα σχετικά με την προοπτική, πήρε ως αντάλλαγμα από εκείνον κάποιες εικονογραφήσεις για το βιβλίο του Ευκλείδη. Ετσι δημιουργήθηκε ο μύθος πως ο Ντα Βίντσι έκανε κοπιωδώς χρήση της λεγόμενης «χρυσής τομής» στα έργα του. Η αλήθεια όμως είναι πως μόλις στα μέσα του 19ου αιώνα οι καλλιτέχνες άρχισαν να χρησιμοποιούν τη «χρυσή τομή» στους πίνακές τους.

Οι εξισώσεις και ο Φειδίας

Πριν κλείσουμε αυτό το πρώτο μέρος για τη «χρυσή τομή», αξίζει να δούμε τι συμβαίνει αν το αρχικό μήκος του ευθύγραμμου κομματιού θεωρήσουμε πως είναι ίσο με 1, το μεγάλο κομμάτι είναι χ, οπότε το μικρό θα είναι (1 – χ).

Τότε προκύπτει: χ/(1 – χ) = 1/χ και από εδώ έχουμε:

χ² + χ – 1 = 0. Μια κλασική δευτεροβάθμια εξίσωση με μια ρίζα να είναι η χ = (-1 + √5)/2 =

0,6180339887498948482 και έτσι ο λόγος 1/χ του Ευκλείδη που συμβολίστηκε με το γράμμα φ και έμεινε κλασικός γίνεται:

φ = (1 + √5)/2 =

1,6180339887498948482…

Με το φ να προέρχεται από το όνομα Φειδίας, αν και ο γλύπτης ποτέ δεν ζήτησε κάτι τέτοιο!

Πνευματική Γυμναστική

• Τέσσερις άνθρωποι, οι Α, Β, Γ, Δ, που βρέθηκαν σε ένα ορεινό και δύσβατο σημείο, πρέπει να περάσουν νύχτα μια ετοιμόρροπη γέφυρα. Αυτή όμως αντέχει το βάρος το πολύ δύο ανθρώπων κάθε φορά. Λόγω διαφορετικών ηλικιών και σωματικής αντοχής, μπορούν να περάσουν τη γέφυρα σε χρόνους 1, 2, 7 και 10 λεπτά αντίστοιχα. Διαθέτουν έναν μόνον φακό – απαραίτητος όμως για το πέρασμα της γέφυρας κάθε φορά. Με ποια στρατηγική θα περάσουν όλοι με ασφάλεια στον ελάχιστο δυνατό χρόνο και πόσος θα είναι αυτός ο χρόνος;
• Πώς μπορούμε να προσεγγίσουμε την τιμή του φ = 1,6180339887498948482… χρησιμοποιώντας μόνο 4άρια, κάποιες από τις κλασικές τέσσερις πράξεις +, -, x, ÷ τις τετραγωνικές ρίζες και ίσως το παραγοντικό !;

Η λύση των προηγούμενων κουίζ

• Ζητούσαμε να βρεθεί ένας τρόπος ώστε έξι εξάρια (6 6 6 6 6 6) να μπορούν να δώσουν τελικό αποτέλεσμα 100.
  Αν τοποθετηθούν τα τρία πρώτα εξάρια έτσι: (6 + 6)/6 έχουμε 6 + 6 = 12 οπότε διά του 6 δίνει 2.
  Αυτό το 2 θα υψωθεί στην 6η δύναμη και δίνει 64, οπότε με την πρόσθεση του 6 x 6 = 36 δίνει 100.
  Και έτσι: ((6 + 6) / 6)6 + 6 x 6 = 100
• Στο δεύτερο πρόβλημα είχαμε έναν διαγωνισμό όπου σε πέντε κλειστά, αδιαφανή κουτιά βρίσκονταν 5 διαφορετικά φρούτα. Μήλο, αχλάδι, πορτοκάλι, φράουλα, κεράσι. Ζητήθηκε από 107 ανθρώπους, που ήξεραν από πριν ποια ήταν τα φρούτα, να γράψουν σε ένα χαρτί ποιο βρίσκεται μέσα σε ποιο κουτί. Στο τέλος, από την καταμέτρηση βρέθηκε πως 40 άτομα δεν βρήκαν κανένα σωστά, 30 βρήκαν ένα φρούτο στο σωστό κουτί, 20 μπόρεσαν να βρουν δυο σωστά, 10 εντόπισαν τρία σωστά. Ζητείται να βρεθεί πόσοι βρήκαν 4 φρούτα σωστά και πόσοι εντόπισαν σωστά και τα 5. Η απάντηση είναι πως 7 άτομα τα βρήκαν όλα! Εδώ όλο το «κόλπο» είναι πως αν κάποιος είχε βρει σωστά 4 φρούτα σημαίνει πως έχει βρει στην πραγματικότητα σωστά και τα 5 φρούτα. Αρα δεν «παίζει» ως χωριστή κατηγορία αυτή των 4 φρούτων, ή αλλιώς είναι 0 άτομα που βρήκαν 4. Επομένως, βγάζοντας τα 40 που δεν βρήκαν έστω ένα
  107 – 40 = 67 και αφαιρώντας στη συνέχεια και τις υπόλοιπες κατηγορίες: 67 – (30 + 20 + 10) = 7.