Στo προηγούμενo φύλλο, την πρώτη αναφορά μας στην αποκαλούμενη και «χρυσή τομή», την είχαμε συνοδεύσει με την προτροπή να πάρουμε ένα κλαδάκι όσο γίνεται πιο ευθύγραμμο και να το σπάσουμε σε δύο άνισα κομμάτια. Αν το σπάσιμο αυτό δεν γίνει τυχαία (για παράδειγμα, αν είχε μήκος 13 εκατοστά θα πρέπει να προκύψουν από αυτό δύο άλλα, με μήκη 8 και 5 εκατοστά αντίστοιχα), διαιρώντας τα μήκη των δύο κομματιών θα πάρουμε έναν αριθμό πολύ κοντά στον: 1,6180339887498948482…

Τότε μπορούμε να πούμε ότι χωρίσαμε «αρμονικά» το αρχικό εκείνο κλαδάκι σε δύο άλλα τμήματα (στο παράδειγμά μας 8/5 = 1,6 και 13/8 = 1,625, δηλαδή ακόμη πιο κοντά στο σωστό). Και αυτό υπήρχε από το 300 π.Χ. περίπου στο πόνημα του Ευκλείδη «Στοιχεία», Βιβλίο 6, όμως εξαιρετικά απλά, ως πρόταση με τον αριθμό 30.

Ας λάβει ο αναγνώστης υπόψη του και το γεγονός ότι η βυζαντινή αγιογραφία δεν φαίνεται να επηρεάστηκε από αυτή την πρόταση.

Θρησκεία, τέχνη και μυστικισμός

Αντίθετα στη Δύση, ήδη από το 1509, χάρη στην έκδοση του βιβλίου του Divina Proportione, ο μοναχός Λούκα Πατσιόλι πέρασε την ιδέα ότι ο αρμονικός λόγος του Ευκλείδη με το να μην είναι ένας συνηθισμένος ρητός αριθμός, να εκφράζεται δηλαδή ως κλάσμα δύο ακεραίων και τέλος, σίγουρα συμβολίζει το υπερβατικό και ακατανόητο Θείο. Ταυτόχρονα διακήρυξε πως το δωδεκάεδρο (πλατωνικό) στερεό με τις έδρες του να είναι κανονικά πεντάγωνα και σχετικά με τη χρυσή τομή, συμβολίζει τον παράδεισο!

Μόλις στα μέσα του 19ου αιώνα ξεκίνησε η λατρεία της χρυσής τομής και από τους αρχιτέκτονες, με σημείο εκκίνησης τη Γερμανία. Ο μαθηματικός Μάρτιν Ομ χρησιμοποίησε πρώτος την ονομασία «Goldene Schnitt» (ακριβώς «χρυσή τομή»), το 1835 στη δεύτερη έκδοση του βιβλίου του «Die reine Elementar-Matematik».

Εναν ολόκληρο αιώνα τουλάχιστον κράτησε η λατρεία της, κυρίως από την πλευρά των αρχιτεκτόνων, με κύριο εκπρόσωπο τον Γερμανό Βάλτερ Γκρόπιους (1883-1969), αρχικό πρωταγωνιστή του κινήματος, του γνωστού ως Μπάουχαους.

Διά χειρός Σαλβαντόρ Νταλί

Στην κορυφή όλων αυτών βρίσκεται ο πίνακας του Σαλβαντόρ Νταλί «Η θεία μετάληψη του Μυστικού Δείπνου», από το 1955. Εκεί έχουμε έντονη τη χρήση της σχέσης της χρυσής τομής με το Θείο, αρχίζοντας από το τεράστιο δωδεκάεδρο επάνω από το κεφάλι του Ιησού, να δεσπόζει στο κάδρο, επαναφέροντας τις θεωρίες του μοναχού Λούκα Πατσιόλι, ενώ ο ίδιος ο Νταλί αποκαλεί την τεχνοτροπία του «πυρηνικό μυστικισμό».

Ενας ακόμη ζηλωτής της χρυσής τομής και του ρόλου της στη ζωή των ανθρώπων υπήρξε και ο διάσημος γαλλοελβετός αρχιτέκτονας Λε Κορμπιζιέ (1887-1965). Είναι και ο πλέον γνωστός σχεδιαστής που προσπάθησε να περάσει στην καθημερινή ζωή των ανθρώπων τη σχέση μεταξύ των αριθμών Fibonacci και της χρυσής τομής, και αυτή τη σχέση θα τη δούμε αναλυτικά στο επόμενο.

Πνευματική Γυμναστική

• Ψάχνουμε εκείνον τον πενταψήφιο αριθμό που όταν του… κολλήσεις και το 1 στα αριστερά να είναι τρεις φορές μικρότερος από τον αριθμό που του έχεις προσθέσει το 1 στα δεξιά του. Δηλαδή αν ΑΒΓΔΕ είναι ο αριθμός θέλουμε να είναι τέτοιος ώστε να ισχύει:
  3 Χ (1ΑΒΓΔΕ) = ΑΒΓΔΕ1
  Ζητούνται τα ΑΒΓΔΕ.
• Σε ένα παιχνίδι για δύο υπάρχει μια στοίβα από πίτες για σουβλάκι, άψητες, που είναι η μία επάνω στην άλλη. Κάτω από αυτές υπάρχει μία ακόμη πίτα αλλά αυτή είναι ψημένη, με τον κιμά της επάνω, έτοιμη να φαγωθεί. Θα την κερδίσει όποιος σηκώσει και την εκατοστή από τις άψητες πίτες. Το παιχνίδι παίζεται ως εξής: Ο καθένας από τους δύο όταν είναι η σειρά του μπορεί να αφαιρέσει από τον σωρό από 1 ή 2 ή 3 ή 4 ή και 5 πίτες μαζί. Αν υποθέσουμε πως ο Α δίνει τη δυνατότητα στον «αντίπαλό» του τον Β να διαλέξει αν θα αρχίσει εκείνος πρώτος, πώς θα πρέπει να σκεφθεί ο Β για να νικήσει σίγουρα και τι θα αποφασίσει;

Οι λύσεις του προηγουμένου κουίζ

• Εδώ ζητούσαμε το πώς πρέπει να περάσουν, ανά δύο, στον λιγότερο δυνατό χρόνο τέσσερις άνθρωποι, οι Α, Β, Γ, Δ, νύχτα, μια ετοιμόρροπη γέφυρα αναγκαστικά με τη χρήση ενός και μοναδικού αλλά απαραίτητου φακού. Ο χρόνος που χρειάζεται ο καθένας τους είναι: Α: 1 λεπτό, Β: 2 λεπτά, Γ: 7 λεπτά, Δ: 10 λεπτά. Η ιδανική σειρά διέλευσης λοιπόν πρέπει να είναι: Πρώτα οι δύο πιο ταχείς, ο Α και ο Β. Επιστρέφει ο Α και έχουν περάσει 2+1 = 3 λεπτά. Περνούν στη συνέχεια οι πιο αργοί, Γ και Δ. Δίνουν τον φακό στον Β που επιστρέφει. Εχουν περάσει 10+2 λεπτά άρα συνολικά 15 λεπτά από την αρχή. Τέλος, περνούν μαζί ο Α και ο Β, μέσα σε 2 λεπτά, άρα συνολικά χρειάζονται 17 λεπτά.
• Στο δεύτερο πρόβλημα ζητήθηκε να προσεγγιστεί η τιμή του Φ = 1,6180339887498948482 που αντιπροσωπεύει τη χρυσή τομή, χρησιμοποιώντας μόνον 4άρια, κάποιες από τις κλασικές τέσσερις πράξεις +, -, Χ, ÷, τις τετραγωνικές ρίζες και ίσως το παραγοντικό !. Μία από τις καλύτερες προσεγγίσεις στην τιμή του φ είναι η εξής:
  Φ = (√4 + √(4! -4)) / 4 όπου 4! = 1 Χ 2 Χ 3 Χ 4 = 24 οπότε 24 – 4 = 20 = 4 Χ 5
  και √(4 Χ 5) = 2 ü5 οπότε παίρνουμε ακριβώς τη ρίζα που δίνει το Φ: (1 + √5) / 2 .

Διορθώσεις ημαρτημένων: Στο φύλλο της 9ης Αυγούστου, στη λύση του προβλήματος με τη ζύγιση στις αχυρένιες μπάλες, από λάθος γράφτηκε ότι Β2 = 52 κιλά, ενώ φαίνεται εύκολα ότι πρέπει να είναι Β2 = 56 κιλά.
Μετά οι ζυγίσεις ανά δύο βγαίνουν σωστές.