Πριν από τον Κέπλερ όμως, περίπου 400 χρόνια πίσω, είχε μεσολαβήσει μεταξύ Ευκλείδη, Αράβων και Ευρωπαίων, για να διαδοθεί η γνώση γύρω από αυτή τη «διαίρεση της γραμμής σε μέσο και άκρο λόγο», ο μαθηματικός Leonardo filius Bonacci (= γιος του καλόβολου) ή αλλιώς ο Λεονάρντο Φιμπονάτσι (1170-1250 περ.). Είναι διάσημος για αρκετά πράγματα αλλά εδώ μας ενδιαφέρει μια ιδιαίτερη ακολουθία αριθμών: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233… που εμφανίστηκε σε βιβλίο του το 1202. Ιδιαίτερη ως προς το ότι ο καθένας, πλην των δύο πρώτων (1, 1), προκύπτει ως άθροισμα των δύο προηγουμένων.

Η ιδιαιτερότητα

Αλλά γιατί ενώ ασχολούμαστε με τη Χρυσή Τομή εμφανίζεται ξαφνικά η ακολουθία του ιταλού μαθηματικού από την Πίζα; Ο λόγος γίνεται πολύ φανερός αν αρχίσουμε να διαιρούμε κάθε αριθμό της ακολουθίας διά του προηγουμένου του:

1/1 = 1

2/1 = 2

3/2 = 1,5

5/3 = 1.66…

8/5 = 1,6

13/8 = 1,625

21/13 = 1,61538461538462…

34/21 = 1,61904761904762…

55/34 = 1,61764705882353…

89/55 = 1,61818181818182…

144/89 = 1,61797752808989…

233/144 = 1,61805555555556…

Αν συνεχίσουμε ακόμη πιο βαθιά στην ακολουθία Φιμπονάτσι συναντάμε και το 14.930.352/9.227.465 = 1,61803398874989, δηλαδή η τιμή που είχαμε βρει στα προηγούμενα για τη Χρυσή Τομή Φ και μάλιστα με ακρίβεια 15 θέσεων!

Αλλά δεν μας αρκεί αυτό. Πηγαίνουμε σε ένα τυχαίο τμήμα της ακολουθίας Φιμπονάτσι και επειδή είναι τυχαίο συμβολίζουμε τα μέλη του γενικά με Χ_ν-2 , Χ_ν-1, Χ_ν,  Χ_ν+1… Και όπως έχουμε ορίσει ότι το κάθε μέλος είναι το άθροισμα των δύο προηγουμένων του θα ισχύει απλά ότι:   Χ_ν-2  +  Χ_ν-1  = Χ_ν  (1). Οπως είδαμε από τον πίνακα, όταν προσπεράσουμε τους πρώτους όρους, τότε η διαίρεση του ενός με τον προηγούμενό του δίνει την ίδια τιμή (με μεγάλη προσέγγιση) και  προς στιγμήν αδιαφορούμε για το ποια είναι ακριβώς η τιμή αυτή. Αρα θα ισχύει  Χ_ν  / Χ_ν-1  = Χ_ν-1  / Χ_ν-2  (2). Αν λοιπόν το Χ_ν   στην (2) αντικατασταθεί από το ίσον του, όπως δείχνει η (1), τότε προκύπτει 1 +  (Χ_ν-2  / Χ_ν-1 ) = (Χ_ν-1  / Χ_ν-2 ) (3) και φθάσαμε εκεί που θέλαμε. Διότι αν ονομάσουμε το κλάσμα  Χ_ν-1  / Χ_ν-2  = Κ, τότε από την (3) εμφανίζεται μια πολύ γνώριμή μας μορφή: 1 + 1/Κ = Κ, δηλαδή η εξίσωση που είχε προκύψει και για τον υπολογισμό του Φ! Αρα Χρυσή Τομή και Φιμπονάτσι σχετίζονται;

Η έκπληξη

Εδώ υπάρχει κάτι που μπορεί να εκπλήξει τον καθένα. Διαλέξτε όποιον αριθμό θέλετε. Για παράδειγμα τον 12.131. Και άλλον έναν, τον 16.122. Φτιάξτε μια ακολουθία στα πρότυπα της Φιμπονάτσι. Το άθροισμα των δύο προηγουμένων να δίνει τον επόμενο: 12.131, 16.122, 28.253, 44.375… Αφού θα έχουν προκύψει δέκα περίπου μέλη διαιρέστε τον επόμενο με τον προηγούμενο και σίγουρα θα εκπλαγείτε.

Πνευματική Γυμναστική

• Μας δίνουν 6 σπίρτα και μας ζητούν να επιτύχουμε να εμφανιστούν 4 τρίγωνα (χωρίς να σπάσουμε σπίρτο, να πρέπει να μειωθεί το μήκος του ή να επικαλύψουμε κάποιο με ένα άλλο).
• Μας δίδεται ένας διακόπτης που ανάβει μια λάμπα. Είναι σβηστή και μετά από μισό λεπτό πατάμε τον διακόπτη και την ανάβουμε. Μετά από ένα τέταρτο του λεπτού πατάμε πάλι τον διακόπτη. Μετά από ένα όγδοο του λεπτού πατάμε και πάλι. Συνεχίζουμε το ίδιο στον μισό χρόνο από τον προηγούμενο. Στο τέλος του λεπτού η λάμπα θα είναι σβηστή ή αναμμένη;

Οι λύσεις του προηγούμενου κουίζ

• Ζητούσαμε έναν πενταψήφιο αριθμό που όταν του… κολλήσεις και το 1 στα αριστερά να είναι τρεις φορές μικρότερος από τον αριθμό που του έχεις προσθέσει το 1 στα δεξιά του. Ζητούσαμε να προσδιοριστούν τα ΑΒΓΔΕ ώστε: 3 Χ (1ΑΒΓΔΕ) = ΑΒΓΔΕ1. Ξεκινούμε από τον πολλαπλασιασμό και βλέπουμε πως 3 Χ Ε πρέπει να δίνει έναν γινόμενο με το τελευταίο ψηφίο του να είναι το 1 (συν κάποιο κρατούμενο). Προφανώς το 7 ταιριάζει, άρα Ε = 7. Συνεχίζουμε έτσι. 3 Χ Δ + 2 (αφού 3 Χ 7 έδωσε 21) = πρέπει να λήγει σε 7. Aρα Δ = 5 διότι 3 Χ 5 + 2 = 17 . Και έχουμε 1 ως κρατούμενο. Με τον ίδιο τρόπο: 3 Χ Γ + 1 => 5 άρα Γ = 8 και 2 το κρατούμενο (3 Χ 8 = 24 +1 = 25). Επομένως 3 Χ Β + 2 => 8 άρα Β = 2. Και τέλος 3 Χ Α => 2 άρα το Α πρέπει να είναι ίσον με 4. Αν πολλαπλασιάσουμε λοιπόν τον 142857 επί 3 παίρνουμε τον 428571.
•  Σε ένα παιχνίδι για δύο υπάρχει μια στοίβα από 100 πίτες. Ο καθένας έχει δικαίωμα να παίρνει από 1 έως 5 κάθε φορά που είναι η σειρά του και ζητούμε αν μας δοθεί η δυνατότητα να διαλέξουμε αν θα αρχίσουμε εμείς το παιχνίδι ή ο αντίπαλος. Τι να διαλέξουμε για να είναι σίγουρο πως θα σηκώσουμε εμείς την τελευταία πίτα κάτω-κάτω; Σε ένα τέτοιο πρόβλημα πηγαίνουμε και αρχίζουμε από το… τέλος. Αν ο αντίπαλος φθάσει στον τελευταίο γύρο, όταν είναι να τραβήξει εκείνος και έχει μπροστά του 6 πίτες η νίκη μας είναι εξασφαλισμένη. Για να συμβεί αυτό πρέπει στην προηγούμενη φορά που ήταν η σειρά του να έχει μείνει με 12. Και πιο πριν με 18. Αρα τελικά όταν είναι να τραβήξει πρώτος πρέπει να έχει μπροστά του 96 (6 Χ 16 = 96). Αρα πρέπει να διαλέξουμε να τραβήξουμε εμείς πρώτα και παίρνοντας τις 4 πρώτες να τον αφήσουμε στις 96. Μετά στις 90, 84, 78…