Έχουμε ξεκινήσει ένα μικρό ταξίδι στη γεμάτη κινδύνους χώρα της Στατιστικής. Με πρώτη επισήμανση ότι ο μέσος όρος δεν είναι άλλο από τη χαρά του πολιτικού. Και ψάχνουμε για άλλες, πιο αξιόπιστες επινοήσεις του ανθρώπινου μυαλού, διότι η Στατιστική δεν είναι άλλο από μια δική μας επέμβαση στον κόσμο των δεδομένων.

Είμαστε λοιπόν, ύστερα από όσα έχουν αναφερθεί για το πώς μπορούμε να απεικονίζουμε παραστατικά ομάδες δεδομένων με τις λεγόμενες «κατανομές» τους, στο κατάλληλο σημείο να κάνει την είσοδό της και η «πιθανότητα να συμβαίνει κάτι».

Το αν θα έλθει ένα νόμισμα κορόνα ή γράμματα είναι κάτι τυχαίο. Γι’ αυτό και ό,τι βάλουμε να συμβολίζει την έκβαση στο στρίψιμο θα λέγεται «τυχαία μεταβλητή». Και μας ενδιαφέρει πολύ να γνωρίζουμε την πιθανότητα μια τυχαία μεταβλητή να παίρνει συγκεκριμένη τιμή ή να βρίσκεται ανάμεσα σε κάποια όρια. Αφού όμως εμφανίστηκε η λέξη «πιθανότητα» στο λεξιλόγιό μας, θα πρέπει να κάνουμε μια στάση για να δούμε πώς θα την εννοούμε από εδώ και πέρα. Επιπλέον θα παίξει ρόλο και σε πολλές από τις… «πνευματικές γυμναστικές» που θα ακολουθήσουν, ενώ μαζί θα φθάσουμε να υπολογίσουμε ακόμα και τις πιθανότητες για παιχνίδια του τύπου Λόττο.

Δεν θα πλήξουμε αραδιάζοντας ορισμούς αλλά θα αποκτήσουμε εξοικείωση με κάποιους απαραίτητους όρους κατευθείαν μέσα από την πράξη.

Ρίχνουμε ένα νόμισμα δύο φορές. Σημειώνουμε τα αποτελέσματα ως Κορόνα (Κ) ή Γράμματα (Γ). Οι πιθανές περιπτώσεις είναι γνωστές από πριν, Ω: . Το σύνολο των πιθανών περιπτώσεων, που εδώ το συμβολίσαμε με το Ω, είναι ο λεγόμενος «δειγματικός χώρος». Ολο αυτό που κάνουμε, όσες φορές δηλαδή στρίβουμε το νόμισμα, είναι ένα «πείραμα», και η καθεμία έκβαση, π.χ. , ένα (πιθανό) γεγονός. Ρίχνοντας ένα συνηθισμένο ζάρι μπορεί κάθε φορά να έλθει ένας από τους ακέραιους αριθμούς 1 έως 6. Γεγονότα που μπορούμε να εκτιμήσουμε την πιθανότητα να συμβούν είναι για παράδειγμα: , , ρίχνοντας 2 ζάρια μαζί (και αποδεικνύεται πως έχουν την ίδια πιθανότητα με τα ντόρτια και τις διπλές).

Το πρώτο που θα πρέπει να μάθουμε είναι να μπορούμε να απαριθμούμε τις πιθανές περιπτώσεις. Εχουμε για παράδειγμα δύο πιθανά γεγονότα Γγ1 και Γγ2, όπου δεν συνδέεται όμως η έκβαση του ενός με την έκβαση του άλλου. Στην περίπτωση του σύνθετου γεγονότος Γγ1 Γγ2, όπου μπορεί να συμβεί ή το ένα ή το άλλο από τα Γγ1, Γγ2, τότε το πόσες φορές, έστω Ν, θα έλθει αυτό ισχύει: Ν(Γγ1 Γγ2) = Ν (Γγ1) + (ΝΓγ2). Αν όμως, αντίθετα, τα δύο γεγονότα ήταν αλληλένδετα και έπρεπε να συμβούν και τα δύο, τότε αντί για πρόσθεση θα είχαμε πολλαπλασιασμό. Αμέσως δύο παραδείγματα και θα διαλυθεί η όποια ομίχλη.

Από ένα σύνολο αριθμών Σ = πόσες είναι οι επιλογές να διαλέξουμε έναν αρνητικό ή έναν ζυγό αριθμό; Επειδή τα δύο γεγονότα είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, οι επιλογές θα είναι: 3 + 3 = 6.

Μια ασφαλιστική εταιρεία κατηγοριοποιεί τους πελάτες της ανάλογα με την ηλικία τους (<25 ετών, μεταξύ 25 και 50, άνω των 50), ανάλογα με το φύλο, και τέλος με την οικογενειακή κατάσταση (παντρεμένοι ή όχι). Πόσες κατηγορίες ασφαλισμένων έχει φτιάξει; Εδώ, επειδή τα γεγονότα συνδέονται μεταξύ τους για την κάθε κατηγορία (π.χ. άνδρας – παντρεμένος – άνω των 50), θα έχουμε πολλαπλασιασμό: 3 Χ 2 Χ 2 = 12 διαφορετικές κατηγορίες

Πνευματική γυμναστική

• Μια ηλιόλουστη ημέρα στη λαϊκή αγορά ο πωλητής απλώνει 200 κιλά φρεσκοκομμένα αγγούρια στον πάγκο του, όπου το 99% ως γνωστόν στα αγγούρια είναι νερό. Στο τέλος της ημέρας δεν είχε πουλήσει ούτε ένα και τώρα η περιεκτικότητα σε νερό έφθανε το 98%. Με πόσα κιλά αγγούρια γύρισε ο άτυχος αυτός παραγωγός;
• Ζητούμε τον μικρότερο θετικό ακέραιο αριθμό που όταν πάρουμε το τελευταίο δεξιά ψηφίο του και το βάλουμε πρώτο αριστερά ο αριθμός που προκύπτει να είναι ο διπλάσιος. Δηλαδή αν ήταν ο «αβγ», ο «γαβ» να είναι = 2 «αβγ». Θα πρέπει να διευκρινιστεί ότι ο ζητούμενος μικρότερος (και αυτό παίζει ρόλο για τη λύση) τέτοιος αριθμός έχει 18 ψηφία.

Η λύση του προηγούμενου κουίζ

Eίχαμε τρία ζευγάρια ξύλινες μπάλες με τρία διαφορετικά χρώματα: λευκό, κόκκινο και μπλε. Στο κάθε χρώμα υπήρχε μια μπάλα πιο βαριά από την άλλη, ας πούμε κατά 5 γραμμάρια, με την εξής ιδιότητα: όλες οι ελαφριές μπάλες έχουν το ίδιο βάρος και όλες οι βαριές επίσης. Με τη βοήθεια ενός ζυγού ακριβείας, ο οποίος έχει από έναν δίσκο αριστερά και δεξιά, θέλουμε να ξεχωρίσουμε τις ελαφριές από τις βαριές. Ζητήθηκε λοιπόν το με πόσες το λιγότερο ζυγίσεις θα το καταφέρουμε. Πρόκειται για πρόβλημα που έχει τεθεί στις εξετάσεις για πρόσληψη σε πολλές μεγάλες εταιρείες. Κυκλοφορούν λύσεις στο Διαδίκτυο που δεν είναι πλήρεις ή είναι και λανθασμένες, όλες όμως συμφωνούν πως αρκούν 2 ζυγίσεις.

Τα χρώματα δεν παίζουν ρόλο, οπότε για ευκολία οι μπάλες στη συνέχεια θα είναι: Α1, Α2, Β1, Β2, Γ1, Γ2. Βάζουμε αριστερά το ζευγάρι Α1+Β1 και δεξιά το Α2+Γ1. Αν έχουμε ισορροπία, τότε: Περίπτωση 1: Α1 ελαφρύτερη – Β1 βαρύτερη, Β2 βαρύτερη – Γ1 ελαφρύτερη ή Περίπτωση 2: Α1 βαρύτερη – Β1 ελαφρύτερη – Α2 ελαφρύτερη – Γ1 βαρύτερη. Η δεύτερη ζύγιση θα είναι οι δύο μπάλες Α1 και Α2 μια αριστερά, μια δεξιά, που θα δείξει και ποια από τις δύο περιπτώσεις ισχύει.
Αν όμως Α1+Β1 είναι βαρύτερες από τις Α2+Γ1, έχουμε τις εξής περιπτώσεις:

• Περίπτωση 1: Οι Α1, Β1 είναι και οι δύο οι βαριές, με την Α2 ελαφριά, Γ1 βαριά.
• Περίπτωση 2: Οι Α1, Β1 είναι και οι δύο οι βαριές, με την Α2 ελαφριά, Γ1 ελαφριά.
• Περίπτωση 3: Η Α1 είναι βαριά και η Β1 ελαφριά, οπότε αναγκαστικά Α2 ελαφριά και Γ1 ελαφριά.

Για να βρεθεί ποια από τις τρεις περιπτώσεις ισχύει, μπαίνουν τώρα αριστερά Β1+Γ1 και δεξιά Β2+Γ2. Αν προκύψει ισορροπία, τότε Β1 βαριά και Γ1 ελαφριά, Α1 βαριά (Περίπτωση 2). Αν οι Β1+Γ1 πιο βαριές, τότε Β1, Γ1 είναι οι βαριές (Περίπτωση 1). Αν οι Β1+Γ1 πιο ελαφριές, τότε Β1, Γ1 οι ελαφριές και έχουμε την Περίπτωση 3.

Αν Α1+Β1 είναι ελαφρύτερες από τις Α2+Γ1, τότε:

• Περίπτωση 1: Α1, Β1 είναι οι ελαφριές, Α2, Γ1 βαριές.
• Περίπτωση 2: Α1, Β1 είναι οι ελαφριές, Α2 βαριά, Γ1 ελαφριά.
• Περίπτωση 3: Α1 ελαφριά, Β1 βαριά, Α2, Γ1 βαριές.

Στο δεύτερο ζύγισμα μπαίνουν πάλι αριστερά Β1+Γ1 και δεξιά Β2+Γ2. Αν προκύψει ισορροπία, τότε Β1 ελαφριά και Γ1 βαριά, Α2 βαριά (Περίπτωση 1). Αν Β1+Γ1 βαρύτερες, τότε Β1, Γ1, Α2 βαριές (Περίπτωση 3). Αν Β1+Γ1 ελαφρύτερες, τότε είναι η Περίπτωση 2.