Έχουμε αρχίσει να μπαίνουμε προσεκτικά στον χώρο των πιθανοτήτων που σχετίζονται με στιγμές της ζωής μας. Από το προηγούμενο τεύχος αρκεί να έχουμε κρατήσει το εξής: «Στην περίπτωση του σύνθετου γεγονότος Γγ1 Γγ2, όπου μπορεί να συμβεί ή το ένα ή το άλλο από τα Γγ1, Γγ2, το πόσες φορές θα έλθει αυτό, έστω Ν, θα ισχύει ότι: Ν(Γγ1-Γγ2) = Ν (Γγ1) + Ν(Γγ2). Δηλαδή σε αυτή την περίπτωση προσθέτουμε. Αν όμως, αντίθετα, τα δύο γεγονότα ήταν αλληλένδετα και έπρεπε να συμβούν και τα δύο, τότε αντί για πρόσθεση θα είχαμε πολλαπλασιασμό: Ν(Γγ1 Γγ2) = Ν (Γγ1) Χ Ν(Γγ2)».

Ας δουλέψουμε λίγο περισσότερο με ένα χρήσιμο παράδειγμα αυτό το σημαντικό για τη συνέχεια σημείο. Από τους αριθμούς 1 έως 22:

α) Πόσες επιλογές έχουμε ώστε ο αριθμός που θα διαλέξουμε να είναι πολλαπλάσιο του 3 ή του 8;

Ο Δειγματικός μας χώρος είναι: . Για τα πολλαπλάσια του 3 επειδή είναι Σ1 = οι δυνατές περιπτώσεις είναι: 7. Για τα πολλαπλάσια του 8 επειδή Σ2 = και μεταξύ τους τα σύνολα Σ1, Σ2 είναι ανεξάρτητα, χωρίς κοινά μέλη, αθροίζουμε τις πιθανές επιλογές αριθμού και έχουμε 7 + 2 = 9.

β) Πόσες επιλογές έχουμε ώστε ο αριθμός που θα διαλέξουμε να είναι πολλαπλάσιο του 2 ή του 3;

Εδώ υπάρχει μια ιδιαιτερότητα. Σ1 = και Σ2 = . Δηλαδή υπάρχουν κοινά μέλη και έτσι δεν μπορούμε να κάνουμε απλά την πρόσθεση του αριθμού των μελών όπως πριν και να πούμε 11 + 7 =18 πιθανές επιλογές. Διότι αν έχουμε διαλέξει τον 6 αυτός υπάρχει και στα δύο σύνολα. Αρα πρέπει να αφαιρέσουμε τις διπλές εμφανίσεις που είναι οι αριθμοί . Οπότε ο αριθμός που θα διαλέξουμε θα είναι μια από τις 11 + 7 – 3 = 15 περιπτώσεις. Με πιο αυστηρό τρόπο θα το γράφαμε και έτσι: Ν= Ν(Σ1) + Ν(Σ2) – Ν(Σ1 ∩ Σ2).

Ας πάρουμε τώρα το ότι ρίχνουμε δύο νομίσματα ταυτόχρονα στον αέρα. Οταν προσγειωθούν τα νομίσματα τα πιθανά «γεγονότα» μπορεί να είναι 4: . Σε αυτόν τον αριθμό θα καταλήγαμε και αν είχαμε σκεφθεί πως η έκβαση για το κάθε νόμισμα είναι ανεξάρτητη από την έκβαση του άλλου, ότι αν συμβαίνει το ένα, π.χ. κορόνα, δεν μπορεί να συμβαίνει στο ίδιο νόμισμα να έχουμε και γράμματα, αλλά και ότι για το κάθε γεγονός χρειαζόμαστε την έκβαση ΚΑΙ του ενός ΚΑΙ του άλλου. Αρα θα κάνουμε πολλαπλασιασμό. Επειδή είναι 2 εκβάσεις για το καθένα (Κ ή Γ) προκύπτει ότι 2 Χ 2 = 4 πιθανά γεγονότα.

Ας εφαρμόσουμε λοιπόν την «απαρίθμηση», όπως λέγεται, στο να βρούμε πόσους διαφορετικούς αριθμούς κυκλοφορίας μπορεί να υποστηρίξει, θεωρητικά (γιατί υπάρχουν και διάφοροι περιορισμοί), το σύστημα που έχουμε. Με τη χρήση 14 γραμμάτων, μόνον όσων συμβαίνει να υπάρχουν και στο λατινικό αλφάβητο (Α, Β, Ε, Ζ, Η, Ι, Κ, Μ, Ν, Ο, Ρ, Τ, Υ, Χ) και τετραψήφιων αριθμών, με τον περιορισμό ο πρώτος να μην είναι το 0.

Στις θέσεις των γραμμάτων οι επιλογές μπορεί να είναι (όσα τα γράμματα, άρα) 14 στη θέση Α1 ΚΑΙ 14 στην Α2 ΚΑΙ 14 στην Α3 άρα: 14 Χ 14 Χ 14. Στη θέση Α4 τα ψηφία ΚΑΙ στην Α5  10, τα {0,1,…,9), το ίδιο ΚΑΙ στις υπόλοιπες, Α6 ΚΑΙ Α7. Με βάση λοιπόν όσα ήδη έχουμε πει έχουμε πολλαπλασιασμό: 14 ⋅ 14 ⋅ 14 ⋅ 9 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 24.696.000 διαφορετικοί «αριθμοί κυκλοφορίας».

Πνευματική Γυμναστική

1. Πέντε κορίτσια (Αλεξάνδρα, Βάσω, Κατερίνα, Ντίνα, Ελένη) ταξιδεύουν μαζί με έναν συμμαθητή τους, τον Φοίβο, για να λάβουν μέρος σε μια Ολυμπιάδα Μαθηματικών. Εχουν κλειστεί τέσσερα δωμάτια στο ξενοδοχείο της πόλης που θα γίνουν οι αγώνες. Στο κάθε δωμάτιο που είναι αριθμημένα 1, 2, 3, 4, υπάρχουν δύο κρεβάτια. Ο Φοίβος θα μείνει μόνος στο ένα από τα δωμάτια. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να μείνουν τα παιδιά στα τέσσερα αυτά δωμάτια;
2. Θέλουμε στα γενέθλιά μας να κεράσουμε τέσσερις συναδέλφους στη δουλειά διαθέτοντας 10 πορτοκαλάδες, 1 λεμονάδα, 1 χυμό μήλου. Η μοιρασιά όμως πρέπει να γίνει έτσι ώστε ο κάθε συνάδελφος να πιει τουλάχιστον έναν χυμό και η λεμονάδα και ο χυμός μήλου να μην πάνε στον ίδιο συνάδελφο.

Οι απαντήσεις στα προηγούμενα κουίζ

• Για μια παρτίδα 200 κιλών με φρέσκα αγγούρια όπου το 99% ως γνωστόν είναι νερό στην αρχή της ημέρας, στο τέλος της ημέρας η περιεκτικότητα σε νερό ήταν πλέον 98%. Ζητούσαμε να βρεθεί πόσα κιλά ήταν η παρτίδα στο τέλος της ημέρας. Με την περιεκτικότητα να είναι 99% σε νερό, για τα 200 κιλά προκύπτει ότι το στερεό, εκτός νερού τμήμα έχει μάζα 2 κιλά. Στο τέλος της ημέρας, με 98% νερό έπεται ότι τα 2 κιλά είναι το 2% διότι αυτό δεν εξατμίζεται. Με το 2% να αντιστοιχεί σε 2 κιλά σημαίνει ότι το 100% είναι 100 κιλά. Αυτή είναι η απάντηση.
• Ζητούμε τον μικρότερο θετικό ακέραιο αριθμό που όταν πάρουμε το τελευταίο δεξιά ψηφίο του και το βάλουμε πρώτο αριστερά ο αριθμός που προκύπτει να είναι ο διπλάσιος. Δηλαδή αν ήταν ο «αβγ», ο «γαβ» να είναι = 2«αβγ». Θα πρέπει να διευκρινιστεί ότι ο ζητούμενος μικρότερος (και αυτό παίζει ρόλο για τη λύση) τέτοιος αριθμός έχει 18 ψηφία. Ας πούμε λοιπόν πως ο ζητούμενος αριθμός είναι: α-β-γ-δ-ε-ζ-η-θ-ι-κ-λ-μ-ν-ξ-ο-π-ρ-σ. Αυτό που ζητούμε να συμβαίνει είναι:
  α-β-γ-δ-ε-ζ-η-θ-ι-κ-λ-μ-ν-ξ-ο-π-ρ-σ
  +
  α-β-γ-δ-ε-ζ-η-θ-ι-κ-λ-μ-ν-ξ-ο-π-ρ-σ
  σ- α-β-γ-δ-ε-ζ-η-θ-ι-κ-λ-μ-ν-ξ-ο-π-ρ
  Επειδή ζητούμε τον μικρότερο θετικό ξεκινούμε δοκιμάζοντας την τιμή α = 1. Τότε α + α = σ, άρα σ = 2. Πηγαίνουμε δεξιά όπου βλέπουμε ότι σ + σ = ρ, άρα ρ = 4. Αυτό δίνει ρ + ρ = π, οπότε π = 8. Αρα ο = 6 και 1 το κρατούμενο. Προχωρώντας έχουμε 1 + 6 + 6 = ξ = 3 και 1 το κρατούμενο. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο φθάνουμε τελικά στον αριθμό: 105263157894736842. Το γιατί ο μικρότερος τέτοιος αριθμός θα έχει 18 ψηφία είναι ένα άλλο πρόβλημα και θα ασχοληθούμε και με αυτό όταν έλθει η ώρα του.