Μόλις πούμε ότι κάτι «είναι φίφτι-φίφτι να συμβεί», αγγίξαμε διαισθητικά και ίσως χωρίς να το έχουμε επιδιώξει το κεφάλαιο των Μαθηματικών, που ονομάζεται «πιθανότητες». Το αποτέλεσμα από ένα νόμισμα που το στριφογυρίζουμε στον αέρα και μάλιστα πολλές φορές, από ένα ή δύο ζάρια που ρίχνονται σε μια επιφάνεια, η συμπλήρωση του δελτίου με τους αριθμούς του Λόττο μάς περνούν σε… ένα κράτος με ιδιαίτερους νόμους.

Καθεμία από αυτές τις κινήσεις όταν γίνεται καθιερώνει έναν χώρο όπου εκεί θα είναι αποδεκτές όλες οι δυνατές εκβάσεις. Αν έχουμε Ν δυνατές εκβάσεις με ίδια δυνατότητα να συμβεί κάποια από όλες αυτές, τότε (και διαισθητικά) ταιριάζει να συνδέσουμε στην καθεμία το κλάσμα 1/Ν.

Το κλάσμα

Για «κάτι» που μπορεί να συμβεί στον χώρο αυτόν ορίζουμε ως πιθανότητα αυτού του κάτι ένα κλάσμα. Με αριθμητή το πλήθος των εκβάσεων που επιβεβαιώνουν αυτό το κάτι και παρονομαστή το πλήθος όλων των δυνατών εκβάσεων. Και δίνουμε αμέσως παραδείγματα για να καταλάβει η αναγνώστρια ή ο αναγνώστης τη σημασία του ορισμού.

Ποια είναι η πιθανότητα από μια τράπουλα των 52 φύλλων να τραβήξουμε έναν άσο; Εχουμε 4 άσους που μπορούν να επιβεβαιώσουν το τράβηγμα ενός από αυτούς. Και οι δυνατές εκβάσεις είναι 52, όσα και τα φύλλα της τράπουλας. Αρα ακολουθώντας κατά γράμμα τον ορισμό, η πιθανότητα είναι: 4/52.

Για το στρίψιμο ενός νομίσματος και τις εκβάσεις κορόνα ή γράμματα εύκολα βγαίνει πως η καθεμία έκβαση από τις δύο δυνατές θα έχει πιθανότητα 1/2. Και με τα ζάρια όταν ρίξουμε ένα μία φορά, αν περιμένουμε να έλθει κάποιος συγκεκριμένος αριθμός, έστω το 4, από τους έξι (1, 2, 3, 4, 5, 6), με βάση και πάλι τον ορισμό η πιθανότητα θα είναι 1/6.

Οι συνδυασμοί

Αν όμως έχουμε δύο ζάρια και θέλουμε την πιθανότητα να έλθουν εξάρες ή ντόρτια; Κατ’ αρχάς πρέπει από τα παραπάνω να γίνει κατανοητό πως και οι δύο συνδυασμοί έχουν ακριβώς τις ίδιες δυνατότητες να έλθουν. Για το κάθε ζάρι η πιθανότητα να έλθει π.χ. ο 6 είναι 1/6. Πώς όμως σκεφτόμαστε όταν πρέπει να έλθουν και τα δύο στην ίδια ζαριά; Επειδή πρόκειται για δύο μεταξύ τους ανεξάρτητα συμβάντα που θέλουμε να έλθει ταυτόχρονα 6 ΚΑΙ 6 (ή αλλιώς 6 AND 6) είχαμε εξηγήσει στα προηγούμενα ότι κάνουμε πολλαπλασιασμό. Αρα η (σύνθετη αυτή) πιθανότητα θα είναι (1/6) Χ (1/6) = 1/36. Αυτό επαληθεύεται αν πάρουμε δύο ζάρια και καταγράψουμε όλους τους δυνατούς συνδυασμούς που μπορεί να έλθουν, βγαίνει πως είναι 36 και μόνον ένας είναι το 6 και 6. Και είναι ένα από τα (πολλά) καλά με τη θεωρία των πιθανοτήτων: δίνει αμέσως το αποτέλεσμα και μας γλιτώνει από το να απαριθμούμε όλες τις περιπτώσεις.

Πάντα η μονάδα

Το άθροισμα των πιθανοτήτων για ομοειδή συμβάντα (π.χ. οι πιθανότητες για κορόνα και γράμματα ή για καθέναν από τους 6 αριθμούς του ζαριού) θα δίνει πάντοτε 1. Και από εδώ προκύπτει η πολύ βασική πρόταση: Η πιθανότητα να μη συμβεί κάτι προκύπτει αν από το 1 αφαιρέσουμε την πιθανότητα να συμβεί. Ετσι η πιθανότητα να μην έλθουν εξάρες ρίχνοντας δύο ζάρια μαζί  θα είναι 1-(1/36), άρα 35/36.

Και τώρα μια πρακτική ερώτηση: Μας λένε να ρίξουμε 4 φορές ένα ζάρι και αν έλθει έστω και μια φορά το έξι κερδίζουμε 50 ευρώ, αν όχι πληρώνουμε 50 ευρώ. Αξίζει να δοκιμάσουμε;

Πνευματική Γυμναστική

Βρίσκεστε σε ένα σκοτεινό δωμάτιο και στο τραπέζι είναι απλωμένα τα φύλλα μιας τράπουλας. Εστω Ν ο αριθμός των φύλλων που είναι γυρισμένα από την καλή (=δεν φαίνεται τι αντιπροσωπεύουν) και τα υπόλοιπα είναι φυσικά από την ανάποδη. Με ποιες ενέργειες (επιτρέπεται να γυρίσετε όσα φύλλα θέλετε χωρίς βέβαια να βλέπετε αν είναι από την καλή ή την ανάποδη) μπορείτε να δημιουργήσετε δύο ομάδες φύλλων (όχι απαραίτητα με ισάριθμα φύλλα) και να βρίσκεται σε καθεμία από αυτές ο ίδιος αριθμός φύλλων από την καλή;

Οι απαντήσεις στα προηγούμενα κουίζ

1. 1. Είχαμε πέντε κορίτσια, που ταξιδεύουν μαζί με έναν συμμαθητή τους για να λάβουν μέρος σε μια Ολυμπιάδα Μαθηματικών. Θα μείνουν σε 4 δωμάτια αριθμημένα: 1, 2, 3, 4, με δύο κρεβάτια στο καθένα. Ο μαθητής θα μείνει μόνος στο ένα από τα δωμάτια. Ζητούσαμε να βρεθεί με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να μείνουν τα παιδιά στα τέσσερα αυτά δωμάτια. Προφανώς το αγόρι μπορεί να μπει στο καθένα από τα 4 δωμάτια. Αρα έχουμε ήδη 4 διαφορετικές δυνατότητες. Μένουν στη συνέχεια τρία δωμάτια για 5 κορίτσια, οπότε εκεί η κατανομή θα είναι 2-2-1. Σε δωμάτιο που θα μείνει ένα κορίτσι μόνο του έχουμε 5 επιλογές (όσα είναι και τα κορίτσια). Αλλά αυτό μπορεί να γίνει σε ένα από τα 3 δωμάτια. Αρα οι συνδυασμοί γι’ αυτό είναι 5 Χ 3 = 15. Τα άλλα τέσσερα κορίτσια μπορούν να συνδυαστούν σε 3 διπλά ζευγάρια. Και να μπαίνει κάθε ζευγάρι σε ένα από τα δύο δωμάτια, άρα 2 επιλογές. Ετσι, όπως μάθαμε από τα προηγούμενα, για να υπολογίσουμε το σύνολο των δυνατών συνδυασμών πολλαπλασιάζουμε όλους αυτούς τους επιμέρους που υπολογίσαμε. Αρα: 4 Χ 15 Χ 3 Χ 2 = 360 διαφορετικοί τρόποι.
2. Θέλησε κάποιος στα γενέθλιά του να κεράσει 4 συναδέλφους στη δουλειά διαθέτοντας 10 πορτοκαλάδες, 1 λεμονάδα, 1 χυμό μήλου. Ετσι ώστε ο κάθε συνάδελφος να πιει τουλάχιστον έναν χυμό και η λεμονάδα και ο χυμός μήλου να μην πάνε στον ίδιο συνάδελφο. Εχουμε 4 συναδέλφους, άρα και 4 επιλογές για το ποιος θα πάρει τη λεμονάδα. Μετά μένουν 3 για τον χυμό μήλου και όταν δοθεί και αυτός θα πάρουν οι άλλοι δύο από μία πορτοκαλάδα. Μένουν πλέον 8 πορτοκαλάδες προς διάθεση. Εδώ θέλει προσοχή: δεν ζητήθηκε να μοιραστούν δίκαια οι 8 πορτοκαλάδες. Αρα μπορεί ένας να πάρει ακόμη και 8 και οι υπόλοιποι καμία. Χωρίς μαθηματικούς τύπους (για διατάξεις κ.λπ.) απαριθμούμε ως εξής: Αν δώσουμε μόνο σε έναν 8 και 0 στους άλλους το συμβολίζουμε ως 0008 αλλά έχουμε άλλες 3 εκδοχές: 0080, 0800,8000. Αν δώσουμε 5 σε έναν και από 1 στους άλλους θα είναι άλλες 4 εκδοχές: 1115, 1151, 1511, 5111. Γι’ αυτό η πρώτη σειρά στον πίνακα δίνει από αυτές τις δύο 4 + 4 = 8 στο σύνολο. Στην περίπτωση 0017 το 7 έχεις 4 διαφορετικές θέσεις να πάρει και στη συνέχεια το 1 άλλες 3, οπότε συνολικά είναι 12. Ανάλογα, όπως φαίνεται και στον πίνακα, προκύπτουν και οι άλλες, συνολικά 165, περιπτώσεις, άρα έχουμε: 4 Χ 3 Χ 165 = 1.980 τρόποι.

Πορτοκαλάδες ανά άτομο Διατάξεις Σύνολο
0008, 1115 2×4 8
0017, 0026, 0035, 0116, 0224, 0233, 1124, 1223 8×12 96
0125, 0134 2×24 48
0044, 1133 2×6 12
2222 1 1
Τελικός αριθμός 165