Τα μαθηματικά μοντέλα, οι εξισώσεις, οι προβλέψεις και η… θεωρία του xάους πίσω από την πανδημία

Μια εξίσωση, σαν αυτή που έφτιαξε ο Νεύτωνας στις αρχές του 18ου αιώνα που μας λέει ότι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας είναι ανάλογος της δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα, βρίσκεται πίσω από τα μαθηματικά μοντέλα με βάση τα οποία οι ειδικοί κάνουν προβλέψεις για την πορεία της πανδημίας. Μεταβλητές όπως το πλήθος των νοσούντων από Covid-19, των ευπαθών, των θεραπευμένων σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή, εισάγονται στις διαφορικές εξισώσεις και οι προβλέψεις γίνονται με το πάτημα ενός κουμπιού στον υπολογιστή.

Παρότι τα μοντέλα αυτά προσφέρουν μια πρώτη εικόνα της δυναμικής της επιδημίας, χωρίζοντας τον πληθυσμό σε ομάδες μολυσματικών, ευπαθών, θεραπευμένων, δεν λαμβάνουν, υπόψη, το βασικότερο ζητούμενο, σύμφωνα με τον καθηγητή Μαθηματικών στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης και επί σειρά ετών συνεργάτη του Νομπελίστα φυσικοχημικού Ιλία Προγκοζίν, Γιάννη Αντωνίου. «Αυτό είναι οι επαφές που έχει κάθε άτομο, οι οποίες καθορίζουν την μετάδοση της νόσου στην κοινωνία. Εκεί παίζεται το παιχνίδι. Ένα άτομο με πολλές διασυνδέσεις δεν επηρεάζει τη μετάδοση του ιού όπως ένα άτομο με λίγες επαφές. Η διάδοση ενός ιού καθορίζεται από την γεωμετρία των επαφών των ατόμων» εξηγεί ο ίδιος στο ΑΠΕ – ΜΠΕ.

H Θεωρία Δικτύων στην πανδημία

Η γεωμετρία των επαφών των ατόμων αναλύεται με τα εργαλεία της Θεωρίας Δικτύων, μέσω της οποίας μπορούν να ξεπεραστούν οι περιορισμοί των μαθηματικών μοντέλων που εφαρμόζονται μέχρι στιγμής. Οι περιορισμοί οφείλονται στο ότι δεν λαμβάνεται υπόψη η τοπική πληροφορία. «Στο δίκτυο οι κόμβοι είναι οι άνθρωποι. Ένας κόμβος που βλέπει πολλούς άλλους κόμβους λέγεται ομφαλός. Ο ομφαλός έχει πάρα πολλές άμεσες διασυνδέσεις. Εάν μολυνθεί ο ομφαλός θα μολύνει πολύ περισσότερους. Αν, για παράδειγμα, ένα άτομο πάει σε ένα γαμήλιο γλέντι και μιλήσει με εκατό άλλα άτομα, σύμφωνα με τα ποσοστά μετάδοσης του ιού, θα μολύνει σίγουρα τριάντα με σαράντα ανθρώπους. Η παρουσία πολλών ομφαλών αυξάνει τον βασικό ρυθμό αναπαραγωγής, το πολυσυζητημένο R_0 (δηλαδή πόσους μολύνει ένας μολυσμένος κατά μέσο όρο)» υπογραμμίζει χαρακτηριστικά ο κ. Αντωνίου.

Επιπλέον σημειώνει ότι ένας δείκτης που περιγράφει την κρισιμότητα της κατάστασης είναι το πόσο διασυνδεδεμένοι είναι οι ομφαλοί μεταξύ τους. Αν τα δεδομένα αυτά υπάρχουν, μπορεί κανείς να εξετάσει – με ένα κλικ – πόσο συνδέονται μεταξύ τους οι ομφαλοί. Αυτός ο δείκτης ονομάζεται assortativity (συνταίριασμα) και αν είναι υψηλός, τότε η κατάσταση είναι πολύ κρίσιμη. Αν είναι χαμηλός, τότε υπάρχουν δυνατότητες παρέμβασης και απομόνωσης των «ομφαλών» ώστε να περιοριστεί η μετάδοση του ιού.

Αυτό σημαίνει, σύμφωνα με τον καθηγητή, ότι αν υπάρχει η πληροφορία που αφορά το δίκτυο επαφών των ανθρώπων, είναι εφικτή η μοντελοποίηση της διάδοσης του ιού, γεγονός που μπορεί να παρέχει νέους δείκτες. Οι δείκτες αυτοί μπορούν να εκτιμήσουν ακριβέστερα τους χρόνους διάδοσης και το αποτέλεσμα των έγκαιρων παρεμβάσεων για την αποφυγή εξάπλωσης της πανδημίας.

«Ένα μέρος των δεδομένων αυτών για τα δίκτυα των επαφών υπάρχει, ωστόσο απαραίτητη προϋπόθεση για να γίνει η μοντελοποίηση της διάδοσης του κορονοϊού μέσω της Θεωρίας Δικτύων είναι η απόκτηση των δεδομένων αυτών από ιατρούς και η συνεργασία τους, στη συνέχεια, με μαθηματικούς, για την διαρκή αναπροσαρμογή των μοντέλων όσο παράγονται νέα δεδομένα» προσθέτει.

Τα ανοιχτά προβλήματα των διαφορικών εξισώσεων

Σε κάθε περίπτωση, ο καθηγητής Μαθηματικών του ΑΠΘ επισημαίνει ότι είναι απαραίτητο τα μαθηματικά μοντέλα που βασίζονται στις διαφορικές εξισώσεις και χρησιμοποιούνται κατά κόρον, να λαμβάνουν υπόψη δύο συγκεκριμένες προϋποθέσεις. Η πρώτη είναι ότι οι παράμετροι που εισάγονται στην εξίσωση μεταβάλλονται διαρκώς, συνεπώς είναι απαραίτητος ο υπολογισμός τους εκ νέου, όταν το εκτιμούν οι λοιμωξιολόγοι, ώστε να διορθώνεται η εξίσωση και τα αποτελέσματά της να ανταποκρίνονται στην διαρκώς μεταβαλλόμενη πραγματικότητα. Επίσης η εξίσωση μπορεί να βελτιώνεται, με την προσθήκη και άλλων παραμέτρων που διαπιστώνουν οι γιατροί.

Η δεύτερη προϋπόθεση είναι η αδυναμία ακριβούς προσδιορισμού, ανά πάσα στιγμή, των ατόμων που μπορεί να φτάσουν στη χώρα από οποιοδήποτε σημείο και μπορεί να είναι φορείς του ιού, ώστε τελικώς να μην γίνεται καταγραφή και καταχώρησή τους. Το στοιχείο αυτό δεν εισάγεται στην εξίσωση, ωστόσο μέχρις ενός σημείου, αντιμετωπίζεται μέσω του υπολογισμού των επιπτώσεων των σφάλματων στην εξίσωση και συνακόλουθα στην ακρίβεια των προβλέψεων.

Κορονοϊός και θεωρία του Χάους

Στο ερώτημα αν η έννοια του χάους βρίσκει εφαρμογή στην κατάσταση που διαμορφώνεται με τον κορονοϊό στη χώρα μας, ο κ. Αντωνίου αναφέρει: «χάος σημαίνει υψηλή ευαισθησία σε μικρές διαταραχές – αβεβαιότητες. Αν εμφανιστεί ευαισθησία και μικρές αλλαγές μπορούν να ανατρέψουν την πορεία της πανδημίας, τότε εκδηλώνεται χάος που καθιστά ανέφικτη την μεσο-μακροπρόθεσμη πρόβλεψη. Αν πάλι οι μικρές αλλαγές που μπορεί να υπάρχουν, δεν ανατρέπουν σημαντικά την πορεία της πανδημίας τότε εχουμε ομαλότητα, δεν υπάρχει χάος». Διευκρινίζει, πάντως, ότι μέχρι στιγμής δεν έχει γίνει συστηματική ανάλυση ευαισθησίας στα συγκεκριμένα μαθηματικά μοντέλα και με τις συγκεκριμένες τιμές, συνεπώς δεν μπορεί να εξαχθεί κάποιο καθολικό συμπέρασμα σχετικά με το αν το χάος εκδηλώνεται στην περίπτωση της πανδημίας. Γενικά πάντως, σχολιάζει ότι οι διαφορικές εξισώσεις που έχουν ενσωματωθεί στη φαρέτρα των επιδημιολόγων παρουσιάζουν χάος σε πολύ ακραίες περιπτώσεις.

Καλά νέα από τη συμμετοχή των φοιτητών στα μαθήματα

Πέραν, όμως, των αποτελεσμάτων των μαθηματικών μοντέλων, το σίγουρο είναι, κατά τον κ. Αντωνίου, ότι εν μέσω πανδημίας, το ποσοστό των φοιτητών που παρακολουθεί τα μαθήματα στο πανεπιστήμιο μέσω τηλεδιάσκεψης έχει διπλασιαστεί σε σχέση με την προ κορονοϊού εποχή και τη δια ζώσης διδασκαλία. «Παλαιότερα η συμμετοχή ήταν μισή από ό,τι σήμερα που διαμορφώνεται κοντά στο 100%. Οι φοιτητές έχουν, επίσης, κερδίσει χρόνο από τις μετακινήσεις τους ενώ και η επιστημονική συνεργασία μεταξύ καθηγητών και φοιτητών έχει διευκολυνθεί, γίνεται αμεσότερα και πιο γρήγορα, τηλεφωνικά ή μέσω τηλεδιάσκεψης» υπογραμμίζει.

Υπάρχει τελικά ελπίδα χωρίς τα μαθηματικά;

«Όχι, δεν υπάρχει» απαντά αφοπλιστικά ο κ. Αντωνίου και τονίζει ότι τα μαθηματικά μοντέλα και οι προσομοιώσεις που γίνονται μέσω αυτών, με τη βοήθεια της τεχνολογίας, διευκολύνουν πολύ τους επιστήμονες στην πρόβλεψη και την αντιμετώπιση των προβλημάτων που δημιουργούνται. «Το να θεωρεί κανείς ότι υπάρχει ελπίδα στην πανδημία χωρίς μαθηματικά είναι σαν να πιστεύει ότι ο άνθρωπος να πάει στη σελήνη χωρίς μαθηματικά» λέει χαριτολογώντας.

Προβλέπει, μάλιστα, τέτοια πρόοδο στα μαθηματικά και στην τεχνολογία τα επόμενα δέκα χρόνια, που οι προσομοιώσεις θα αγγίζουν τεράστια ποσοστά ακρίβειας και οι άνθρωποι θα έρθουν αντιμέτωποι με ένα μεγάλο δίλημμα: την εξομοίωσή τους με τις μηχανές ή την αποδέσμευση του νου από μηχανικές διεργασίες, για την ανάπτυξη της σκέψης, την εμβάθυνση του στοχασμού και την καλλιέργεια της καλλιτεχνικής δημιουργικής έκφρασης…

Πηγή: ΑΠΕ-ΜΠΕ