Από την προηγούμενη εβδομάδα είχε μείνει αναπάντητο το ερώτημα: Μας λένε να ρίξουμε 4 φορές ένα ζάρι (ή τέσσερα ζάρια ταυτόχρονα, το ίδιο κάνει) και αν έλθει έστω και μία φορά το έξι κερδίζουμε 50 ευρώ, αν όχι πληρώνουμε 50 ευρώ. Αξίζει να δοκιμάσουμε;

Αυτό είναι μια καλή ευκαιρία να θυμηθούμε ότι αν ένα συμβάν έχει την πιθανότητα p να συμβεί, η πιθανότητα να μη συμβεί θα είναι το αποτέλεσμα της αφαίρεσης: 1 – p. Και κάποιες φορές βρίσκουμε την απάντηση για ένα δίλημμα όπως το παραπάνω ξεκινώντας από την πιθανότητα να μη συμβεί κάτι. Δηλαδή εδώ σκεφτόμαστε ως εξής:

πιθανότητα σε ένα ρίξιμο του ζαριού να έλθει το 6 όπως και οποιοσδήποτε άλλος αριθμός από το 1 έως το 6 είναι 1/6. Αρα η πιθανότητα να μην έλθει στο πρώτο ρίξιμο είναι 1 – (1/6) = 5/6. Το ίδιο θα συμβαίνει και στις επόμενες τρεις ζαριές. Το αποτέλεσμα της καθεμιάς ζαριάς είναι ανεξάρτητο από τα άλλα, άρα η συνολική πιθανότητα να μην έλθει το 6 και τις τέσσερις φορές θα προκύψει από τον πολλαπλασιασμό (5/6) Χ (5/6) Χ (5/6) Χ (5/6)  = (625/1.296), δηλαδή 0,482. Αρα η πιθανότητα να έλθει μία φορά τουλάχιστον το 6 είναι: 1 – 0,482 = 0,518. Δηλαδή λίγο παραπάνω από το 50%, άρα συμφέρει να ρίξουμε 1.000 φορές τα τέσσερα ζάρια μαζί, αφού τις 518 φορές φαίνεται πως θα έλθει τουλάχιστον ένα εξάρι και τις 482 όχι, κερδίζοντας (θεωρητικά) 36 Χ 50 = 18.000 ευρώ.

Βέβαια κανένα καζίνο ή έστω και ένας ιδιώτης στον δρόμο δεν θα μας κάνει τέτοια προσφορά. Τι γίνεται όμως αν θελήσουμε να πάμε για μεγάλα «ψάρια» όπως το καζίνο ή το λόττο; Και εκεί υπολογίζονται οι πιθανότητες για τις διάφορες κατηγορίες και θα έπρεπε ο καθένας που παίζει να έχει υπόψη του με ποιον τα βάζει. Πριν φθάσουμε να αναλύσουμε τις πιθανότητες κέρδους ή όχι σε αυτά, είναι χρήσιμο να εξασκηθούμε στη χρήση δύο εργαλείων που δίνουν τη δυνατότητα γρήγορων υπολογισμών.

Συνδυασμοί και Διατάξεις

Εχουμε τους Συνδυασμούς και τις Διατάξεις. Ας δούμε ποια είναι η διαφορά τους. Αν έχουμε για παράδειγμα τους αριθμούς 1234, στις διατάξεις των τεσσάρων αυτών ψηφίων ανά τρία θεωρείται διαφορετικό το 1-2-3 από το 3-1-2 και από τα 2-3-1, 2-1-3, 3-2-1, 1-3-2. Ετσι συνολικά από τα τέσσερα ψηφία προκύπτουν 24 διαφορετικές διατάξεις ανά τρία, όπου παίζει ρόλο και η σειρά εμφάνισης των ψηφίων.

Αντίθετα στους συνδυασμούς δεν θεωρείται ο 1-2-3 διαφορετικός από τον 2-3-1, επομένως οι συνδυασμοί των 4 ψηφίων ανά 3  είναι μόλις 4: 123, 134, 234, 124. Αν είχαμε να αποφανθούμε πόσες είναι οι διατάξεις και οι συνδυασμοί 25 πραγμάτων ανά 16 δεν θα ήταν εύκολο να βρούμε την απάντηση με τον τρόπο που έγινε πριν. Ευτυχώς όμως από πολύ νωρίς κάποιοι μαθηματικοί βρήκαν τύπους, δηλαδή μια προκαθορισμένη κοπτο-ραπτική που δίνει πάντα τη σωστή απάντηση. Μη μας τρομάζουν. Δεν είναι δύσκολοι στη χρήση τους (υπάρχουν και αυτόματοι υπολογισμοί στο Διαδίκτυο) και βοηθούν πολύ σε πρακτικά θέματα όπως θα φανεί σε λίγο.

Για τον αριθμό Δ^Ν_κ , δηλαδή το πόσες είναι οι διατάξεις Ν πραγμάτων ανά κ, ισχύει: Δ^Ν_κ = Ν!/(Ν – κ)!

Και για τον αριθμό των συνδυασμών ΜΝκ = Ν!/ κ!(Ν – κ)!.

Οπου Ν! θυμίζουμε από προηγούμενη συνέχεια είναι η συντομογραφία για τους πολλαπλασιασμούς: Ν! = 1 Χ 2 Χ 3… Χ Ν, για παράδειγμα 3! = 1 Χ 2 Χ 3 = 6 και για το (Ν – κ)! για παράδειγμα (7 – 3)! = 4! = 1 Χ 2 Χ 3 Χ4 = 24.

Πρακτική εξάσκηση

Ας δούμε λοιπόν πρώτα κάτι απλό. Εξι αγόρια και δύο κορίτσια με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να παραταχθούν σε μια ευθεία; Εδώ, επειδή το κάθε άτομο είναι κάτι ξεχωριστό από τους άλλους θα έχουμε διατάξεις και όχι συνδυασμούς. Αρα θα γίνεται η παράταξή τους με 8! = 1 Χ 2 Χ… Χ 8 = 40.320 τρόπους. Και αν μας πουν ότι θέλουν στην παράταξη τα δύο κορίτσια να είναι πάντα δίπλα; Τότε θα θεωρήσουμε πως τα δύο κορίτσια είναι ένα και οι τρόποι παράταξης μειώνονται κάπως διότι τώρα είναι σαν να έχουμε 7 άτομα να παρατάξουμε. Οπότε πρώτα είναι 7! = 1 Χ… Χ 7 = 5.040 αλλά δεν τελειώσαμε διότι τα δύο κορίτσια μπορούν να μπαίνουν με δύο τρόπους στη δυάδα κάθε φορά(Α-Β ή Β-Α), άρα η σωστή απάντηση είναι 7! Χ 2! = 5.040 Χ 2 = 10.080. Και αν (επειδή φαίνεται να μην κολλάμε πουθενά) θελήσουν να μας δυσκολέψουν και ζητήσουν τα δύο κορίτσια να μην είναι ποτέ μαζί γιατί δεν μιλιούνται μεταξύ τους; Τότε το πιο απλό που μπορούμε να σκεφθούμε είναι να αφαιρέσουμε από το σύνολο των τρόπων παράταξης τους τρόπους όπου τα δύο κορίτσια θα ήταν το ένα δίπλα στο άλλο, άρα 40.320 – 10.080 = 30.240. Και κάτι που θα χρειαστεί για τη σημερινή πνευματική γυμναστική: Με τα ψηφία 1, 2, 3, 4, 5, 6 πόσους εξαψήφιους αριθμούς μπορούμε να φτιάξουμε (το κάθε ψηφίο να εμφανίζεται μία φορά); Προφανώς βρίσκουμε τις διατάξεις των 6: 1 Χ 2 Χ 3 Χ 4 Χ 5 Χ 6 = 720 διαφορετικοί αριθμοί.

Πνευματική Γυμναστική

• Πόσους αριθμούς μεγαλύτερους από το 1.000 μπορούμε να βρούμε που να περιέχουν τα ψηφία 3, 4, 6, 8, 9 αν το κάθε ψηφίο θα πρέπει να εμφανίζεται μόνο μία φορά σε κάθε αριθμό;
• Οπως βρήκαμε στη θεωρία παραπάνω με τα έξι ψηφία 1, 2, 3, 4, 5, 6 φτιάχνουμε 720 διαφορετικούς αριθμούς. Τους τοποθετούμε κατά σειρά μεγέθους. Ποιος είναι ο πρώτος, δηλαδή ο μικρότερος; Ποιος ο τελευταίος, δηλαδή ο μεγαλύτερος; Ο αριθμός 321546 σε ποια σειρά βρίσκεται σε αυτή την τοποθέτηση; (Δηλαδή είναι τριακοστός, εκατοστός ή κάτι άλλο;)

Η απάντηση στο προηγούμενο κουίζ

Το σκηνικό την προηγούμενη Κυριακή ήταν ένα σκοτεινό δωμάτιο και στο τραπέζι απλωμένα τα φύλλα μιας τράπουλας. Εστω Ν ο αριθμός των φύλλων που ήταν γυρισμένα από την καλή (=δεν φαίνεται τι αντιπροσωπεύουν) και τα υπόλοιπα είναι φυσικά από την ανάποδη. Με ποιες ενέργειες (επιτρέπεται να γυρίσετε όσα φύλλα θέλετε χωρίς βέβαια να βλέπετε αν είναι από την καλή ή την ανάποδη) μπορείτε να δημιουργήσετε δύο ομάδες φύλλων (όχι απαραίτητα με ισάριθμα φύλλα) και να βρίσκεται σε καθεμία από αυτές ο ίδιος αριθμός φύλλων από την καλή;

Οσα χαρτιά μας λένε ότι είναι γυρισμένα από την καλή, έστω Ν, τόσα παίρνουμε μέσα στο σκοτάδι από τα 52 για να φτιάξουμε τη δεύτερη ομάδα. Εστω ότι Κ από αυτά είναι γυρισμένα από την καλή. Στην αρχική ομάδα λοιπόν θα έχουμε πλέον Ν – Κ φύλλα γυρισμένα από την καλή. Στη δεύτερη ομάδα έχουμε Κ από την καλή. Γυρίζουμε όλα της δεύτερης ομάδας μια φορά. Τώρα τι έχουμε; Ν – Κ από την καλή, όσα και στην πρώτη ομάδα. Απίστευτο; Ας πάρουμε την περίπτωση πως μόνον ένα από τα 52 ήταν γυρισμένο από την καλή. Παίρνουμε λοιπόν ένα στην τύχη μέσα στο σκοτάδι. Αν δεν πήραμε εκείνο το μοναδικό γυρισμένο από την καλή, σημαίνει ότι πήραμε ένα που ήταν από την ανάποδη. Οταν το γυρίσουμε μια φορά τότε θα είναι και αυτό από την καλή, άρα έχουμε από 1 σε κάθε ομάδα. Αν ήταν το γυρισμένο από την καλή, μόλις το γυρίσουμε θα έχουμε από μηδέν σε κάθε ομάδα, που επίσης ισχύει.
Ερώτηση: Αν το Ν είναι μεγαλύτερο από 26 αλλάζει κάτι;