Πόσο δύσκολο είναι να πιάσεις το Τζόκερ;

Επειδή είμαστε στην επικράτεια των μαθηματικών υπολογισμών δεν επιτρέπεται να απαντήσουμε απλά με ένα «απίθανα δύσκολο» ή ένα «όχι και τόσο». Πρέπει να μιλήσουν οι αριθμοί με τη δική τους πειστική γλώσσα. Για όποιον όμως έχει λύσει και τις σημερινές ασκήσεις ή έστω έχει δει και καταλάβει τις λύσεις που δίνουμε, τα επόμενα θα είναι παιχνιδάκι.

Για να σχηματιστεί η νικητήρια εξάδα στο Τζόκερ, κάθε φορά κληρώνονται 5 αριθμοί από ένα σύνολο 45 που είναι από το 1 έως το 45. Από μια άλλη εικοσάδα αριθμών, που είναι από το 1 έως το 20, κληρώνεται ένας ακόμη, ο λεγόμενος και τζόκερ. Αυτοί οι 5+1 σχηματίζουν τη νικητήρια εξάδα. Η σειρά που βγαίνουν οι αριθμοί στην κλήρωση δεν παίζει ρόλο και ο αριθμός που κληρώνεται δεν μπαίνει ξανά στην κλήρωση. Επομένως υπάρχουν 45 επιλογές για τον πρώτο αριθμό που θα βγει, και μετά 44 για τον επόμενο, και 43, 42, 41 για τους υπόλοιπους. Αρα οι πιθανές πεντάδες θα είναι ως προς το πλήθος τους: 45 Χ 44 Χ 43 Χ 42 Χ 41 = 146.611.080;

Συνδυασμοί και διατάξεις

Οχι ακριβώς. Διότι δεν λάβαμε ακόμη υπόψη μας κάτι σημαντικό. Πως δεν παίζει ρόλο η σειρά που θα βγουν οι αριθμοί από την κλήρωση. Δηλαδή η πεντάδα 38, 2, 45, 16, 9, θεωρείται ισοδύναμη με τη 2, 9, 16, 38, 45. Με άλλα λόγια, όπως τα είχαμε εξηγήσει και την προηγούμενη εβδομάδα, εδώ ενδιαφερόμαστε για το πλήθος των συνδυασμών 45 αριθμών ανά 5 και όχι για τις διατάξεις των 45 ανά 5 που είναι πολύ περισσότερες. Πόσες; Τις υπολογίσαμε πριν. Οι συνδυασμοί, που είναι προφανώς λιγότεροι, θα βρεθούν αν σκεφθούμε ότι: πέντε αριθμοί πόσες διαφορετικές διατάξεις μπορούν να κάνουν; Και αυτό το έχουμε δει, στην άσκηση 1 της προηγούμενης Κυριακής που σήμερα δίνουμε πιο κάτω τη λύση της.

Η απάντηση είναι το γινόμενο του πολλαπλασιασμού: 5 Χ 4 Χ 3 Χ 2 Χ 1 = 120. Αρα κάθε ένας συνδυασμός αντιστοιχεί σε 120 διατάξεις. Διαιρούμε λοιπόν 146.611.080 (διατάξεις)/ 120 και έχουμε 1.221.759. Επειδή όμως έχουμε και 20 διαφορετικές επιλογές για τον αριθμό-τζόκερ, το σύνολο των πιθανών συνδυασμών είναι: 20 Χ 1.221.759 = 24.435.180 εξάδες.

Αρα η πιθανότητα να πιάσουμε το Τζόκερ με μια στήλη είναι μία στα 24 εκατομμύρια περίπου ή με περισσότερη ακρίβεια: 1 / 24.435.180 = 0,0000000409. Αυτή είναι η πραγματικότητα που τη φέρνουν στο φως τα μαθηματικά και οι αριθμοί. Επίσης, με 0,50 κόστος ανά στήλη, προκύπτει ότι χρειαζόμαστε περίπου 12.200.000 ευρώ για να καλύψουμε όλους τους συνδυασμούς.

Πνευματική Γυμναστική

1. Για να βεβαιωθούμε ότι έγινε κτήμα μας η όλη συλλογιστική από το Τζόκερ και τα σχετικά με αυτό, ζητούμε την πιθανότητα να επιτύχουμε στην πρόβλεψη 4+1, δηλαδή έστω των τεσσάρων από τους πέντε αριθμούς και εκείνου στην κατηγορία τζόκερ, δηλαδή από την κατηγορία των 20 αριθμών.

2. Σε ένα παιχνίδι ρωσικής ρουλέτας για δύο, με σφαίρα στη μία θαλάμη του όπλου από τις έξι, ποιες είναι οι πιθανότητες… «επιτυχίας»; Δηλαδή πατώντας τη σκανδάλη να φάει τη σφαίρα αυτός που κρατούσε εκείνη την στιγμή το όπλο. Οι πιθανότητες είναι ακριβώς οι ίδιες και για τους δυο; Αν όχι, γιατί;

Οι λύσεις των προηγουμένων κουίζ

1. Ζητούσαμε να βρεθεί πόσοι αριθμοί μεγαλύτεροι από το 1000 υπάρχουν που να περιέχουν τα ψηφία 3, 4, 6, 8, 9 αν το κάθε ψηφίο θα πρέπει να εμφανίζεται μόνο μία φορά σε κάθε αριθμό. Το πρώτο που θα σκεφτούμε είναι ότι στην πρώτη θέση αριστερά μπορεί να βρίσκεται οποιοδήποτε από τα ψηφία 3, 4, 6, 8, 9 αφού ζητούνται αριθμοί μεγαλύτεροι από το 1000. Αρα εκεί υπάρχουν 5 επιλογές. Αφού τοποθετηθεί ένα από αυτά, για την επόμενη θέση έχουμε 4 επιλογές αφού τόσα ψηφία έμειναν. Τοποθετούμε λοιπόν άλλο ένα εκεί και μας μένουν 3, για την επόμενη θέση 2 και 1 για το πέμπτο ψηφίο. Οπότε τελικά οι δυνατές επιλογές είναι: 5 Χ 4 Χ 3 Χ 2 Χ 1 = 120 πενταψήφιοι αριθμοί. Ο μικρότερος θα είναι ο 34689 και ο μεγαλύτερος ο 98643. Τελειώσαμε; Οχι. Διότι υπάρχουν και τετραψήφιοι! Με τον ίδιο όμως συλλογισμό έχουμε άλλους 120: 5 Χ 4 Χ 3 Χ 2 = 120. Με πρώτο τον 3468 και τελευταίο τον 9864.
2. Mε τα έξι ψηφία 1, 2, 3, 4, 5, 6 μπορούν να φτιαχτούν 720 διαφορετικοί αριθμοί. Αν τοποθετηθούν κατά μέγεθος, ζητούσαμε να υπολογιστεί σε ποια σειρά βρίσκεται σε αυτή την τοποθέτηση ένας από αυτούς, και συγκεκριμένα ο αριθμός 321546 (δηλαδή είναι τριακοστός, εκατοστός ή κάτι άλλο;). Ο πρώτος στη σειρά, δηλαδή ο μικρότερος, θα είναι ο 123456, ο επόμενος θα είναι ο 123465 κ.λπ., ενώ ο μεγαλύτερος είναι ο 654321 και προτελευταίος ο 654312. Για τον 321546 τώρα: Οταν είμαστε σε αριθμό με πρώτο ψηφίο το 3 έχουν προηγηθεί, ως μικρότεροι, αριθμοί με πρώτα ψηφία τα 1 και 2. Εκεί λοιπόν έχουμε δύο περιπτώσεις, να αρχίζουν από 1 ή από 2. Μας μένουν άλλα 5 ψηφία να μπουν σε διάφορες διατάξεις. Πόσες είναι αυτές; Το μάθαμε την προηγούμενη φορά: 5!: 1 Χ 2 Χ 3 Χ 4 Χ 5 = 120. Αρα έχουμε ανακαλύψει προς το παρόν ότι έως εδώ ήδη προηγούνται 120 αριθμοί αλλά δεν είναι μόνον αυτοί, απλά τέλος με το πρώτο ψηφίο. Και πάμε στο δεύτερο ψηφίο του 321546: Είναι το 2. Πριν από αυτό μόνον αριθμοί με δεύτερο ψηφίο το 1 θα μπορούσαν να προηγηθούν. Για τα υπόλοιπα τέσσερα ψηφία οι πιθανές διατάξεις θα είναι 4! = 1 Χ 2 Χ 3 Χ 4 = 24. Αρα άλλοι 24 αριθμοί βρέθηκε ότι ήταν πριν το 321546. Στο επόμενο ψηφίο που είναι το 1 δεν έχουμε κάτι να είναι πιο μικρό. Πάμε στο επόμενο που είναι το 5. Πριν το 5 είναι τα 1, 2, 3, 4. Αλλά μια στιγμή, τα 1, 2, 3 βρίσκονται ήδη στον αριθμό, άρα μόνο το 4 θα μπορούσε να προηγηθεί. Και στις δύο τελευταίες θέσεις θα είναι ή το 56 ή το 65, άρα δύο ακόμη αριθμοί πριν τον 321546. Το πέμπτο ψηφίο είναι το 4 αλλά επειδή έχουν προηγηθεί τα 1, 2, 3, δεν θα υπάρχει μικρότερος αριθμός αφού έχει μείνει μόνον το ψηφίο 6. Το ίδιο ισχύει και όταν πάμε στο έκτο ψηφίο που είναι το 6. Αρα μένει να αθροίσουμε τις περιπτώσεις αριθμών πριν τον 321546: 2 Χ 2120 + 24 + 0 + 2 + 0 + 0 = 266. Επομένως ο 321546 είναι ο 267ος στη σειρά.