Στην εποχή του κορωνοϊού η στατιστική παίζει μεγάλο ρόλο. Οι επιστήμονες, σε ένα πρόβλημα με δύο υποθέσεις σχετικές μεταξύ τους, που όμως δεν μπορεί να είναι σωστές και οι δύο, κάνουν το εξής: Τη μια υπόθεση τη θεωρούν ως «μηδενική υπόθεση» Η0 (null hypothesis) και είναι αυτή που αμφισβητείται περισσότερο (και άρα συμβολικά θέλουμε να εκμηδενίσουμε την όποια πιθανότητα έχει να ισχύει). Ισως μάλιστα θα ήταν πιο ακριβές να αποκαλούσαμε την Η0 «την προς μηδενισμό» υπόθεση. Η άλλη, που συμβολίζεται και με ΗΑ ή και Η1, είναι η λεγόμενη «εναλλακτική». Αυτή που συνήθως πιστεύουμε πως είναι και η πιο λογική.

Εδώ τώρα θέλει μεγάλη προσοχή η κάθε λέξη για να βγούμε πραγματικά στο φως. Το κριτήριο για το ποια από τις δύο, ΗΑ ή Η0, αληθεύει θα μας το δώσει ένα εργαλείο που οι στατιστικολόγοι κυρίως χρησιμοποιούν και το ονομάζουν τιμή σημαντικότητας (p-value).

Αν το p-value είναι πάρα πολύ μικρό (π.χ. 0,0001) τότε απορρίπτουν την Η0 χωρίς δεύτερη σκέψη ενώ αν το p-value είναι σχετικά μικρό (π.χ. «κοντά» στο 0,05) τότε μπορεί μεν να απορρίψουν την Η0 αλλά με επιφυλάξεις. Κοντά στο 0,005 υπάρχουν αμφιβολίες. Και σε επιστήμες όπως όπως οικονομία, βιολογία, ποινική δικαιοσύνη, εγκληματολογία δεν μπορείς να παίζεις με αυτά. Οι επαγγελματίες βρίσκουν την p-value μέσα από πίνακες αλλά εμείς για να την κατανοήσουμε καλύτερα θα κάνουμε κάτι που σπάνια γίνεται. Θα την υπολογίσουμε «χειρωνακτικά» μέσα από ένα πολύ απλό παράδειγμα: Και πάλι στρίβοντας ένα νόμισμα δύο φορές.

Ηλθε δύο φορές κορόνα (Κ, Κ). Τείνουμε να σκεφθούμε πως ίσως κάτι τρέχει με αυτό το νόμισμα. Οπως έχουμε μάθει όμως και ό,τι μάθαμε το χρησιμοποιούμε, κάνουμε μια ερώτηση: Είναι μήπως ελαττωματικό το νόμισμα; Η απάντηση που μπορεί να είναι: «Αν και είχαμε δύο φορές κορόνα αυτό δεν σημαίνει κάτι για το νόμισμα» είναι η Η0. Ενώ η ΗΑ θα λέει: «Κάτι τρέχει με το νόμισμα αυτό».

Εμείς, βήμα προς βήμα, θα υπολογίσουμε την p-value, που είναι όπως θα δούμε ένα άθροισμα πιθανοτήτων και από εκεί θα καταλάβουμε ποια από τις δύο πρέπει να δεχθούμε. Υπομονή μέχρι την επόμενη φορά, αξίζει τον κόπο.

Πνευματική Γυμναστική

• Για να φύγουμε λίγο από τα όσα συμβαίνουν τώρα ας θυμηθούμε κάποιες κανονικές χριστουγεννιάτικες διακοπές. Μια οικογένεια τότε, την πρώτη εβδομάδα ξόδεψε 200 ευρώ περισσότερα από τα τρία πέμπτα του όλου ποσού που είχε αποφασίσει να διαθέσει. Ετσι για τη δεύτερη εβδομάδα αυτό που της είχε μείνει ήταν ένα ποσό μεγαλύτερο από 400 ευρώ μείον το μισό του όλου προς διάθεση ποσού. Αν υποθέσουμε πως ξεκίνησε με ακέραιο ποσό ευρώ (χωρίς ψιλά δηλαδή), ποιο μπορεί να ήταν το μεγαλύτερο ποσό που είχε αποφασίσει να ξοδέψει;
• Σε ένα τετράγωνο χωρισμένο σε εννέα μικρότερα τετράγωνα θέλουμε να βάλουμε τους αριθμούς από το 1 έως το 9 έτσι ώστε το άθροισμα (ανά τρία)σε κάθε σειρά, σε κάθε στήλη και σε κάθε διαγώνιο να είναι ο ίδιος αριθμός. Αυτό βγαίνει βέβαια δοκιμάζοντας τυχαίους συνδυασμούς των αριθμών από το 1 έως το 9. Υπάρχει όμως κάποια στρατηγική ώστε να προχωρήσουμε πιο συστηματικά και ακόμη να προβλέψουμε πόσοι το πολύ συνδυασμοί μπορούν να προκύψουν;

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

• Ζητούσαμε να υπολογιστεί η πιθανότητα ένας δεκαψήφιος αριθμός (δηλαδή κάποιος μεταξύ 1 000 000 000 και 9 999 999 999) να αποτελείται από δέκα εντελώς διαφορετικά ψηφία. Εξαιτίας των ορίων που θέσαμε ο ζητούμενος αριθμός δεν μπορεί να έχει 10 ψηφία αλλά να αρχίζει από το 0. Μας ενδιαφέρουν λοιπόν οι διατάξεις και όχι οι συνδυασμοί των ψηφίων μέσα σε έναν δεκαψήφιο αριθμό. Και να θυμίσουμε με ένα παράδειγμα ότι τα 2351 1253 είναι δύο διαφορετικές διατάξεις των ίδιων ψηφίων αλλά ένας μόνον συνδυασμός. Οι διατάξεις 10 διαφορετικών ψηφίων δίδονται, όπως έχουμε μάθει, από το 1Χ2Χ3…Χ10 που συμβολίζεται με το 10!. Ενας αριθμός που θα αρχίζει πάντα από το 0 και τα υπόλοιπα θα είναι 9 διαφορετικά σημεία δεν μας κάνει και όλες αυτές τις πιθανές διατάξεις που είναι 9! Τις αφαιρούμε από το 10!. Οι πιθανοί λοιπόν αριθμοί θα είναι 10! – 9! = 10 Χ 9! -9! = 9!(10 – 1) = 9! Χ 9. Συνολικά οι αριθμοί μεταξύ 9 999 999 999 και 1 000 000 000 είναι: 1010 – 1 -(10 9 – 1) = 10 Χ 10 9 – 10 9 = 10 9 (10 – 1) = 9 Χ 10 9. Οπότε η πιθανότητα είναι: 9! Χ 9 / 9 Χ 10 9 = 9! / 10 9 = 0,00036288.
• Είχαμε ζητήσει από τους αναγνώστες να σκεφθούν λίγο το γνωστό «παράδοξο της σύμπτωσης των γενεθλίων»: Πόσα άτομα (όχι δίδυμα αδέλφια μέσα σε αυτό το σύνολο) σε μια γιορτή στο σπίτι(σε άλλες εποχές βέβαια) θα πρέπει να βρεθούν μαζί ώστε η πιθανότητα δύο να έχουν γεννηθεί την ίδια ημέρα του χρόνου να είναι μεγαλύτερη από 50%; Αυτό που απλοποιεί τη λύση είναι να ψάξουμε να βρούμε την πιθανότητα δύο άτομα να μην έχουν την ίδια ημερομηνία γέννησης μέσα στο δωμάτιο και αυτό να το επεκτείνουμε για τρία και περισσότερα. Μέχρι το αποτέλεσμα να μας δίνει κάποιον αριθμό κοντά στο 49% οπότε αφαιρώντας το από το 100 να βγαίνει μια πιθανότητα έστω και ελάχιστα επάνω από το 50%. Ας υποθέσουμε πως αριθμούμε τους καλεσμένους: Κ1, Κ2, Κ3 κ.λπ. Ξεκινούμε από την ημέρα που ο Κ1 έχει γενέθλια και εξετάζουμε τα γενέθλια του Κ2. Υπάρχουν 364 ημέρες από τις 365 που αν είναι τα γενέθλιά του δεν θα συμπέσουν με του Κ1. Αρα εδώ η πιθανότητα είναι 364/365. Για τον Κ3 μένουν 363 ημέρες να έχει γενέθλια ημερομηνία που να μη συμπίπτει με των άλλων δύο. Συνδυάζοντας λοιπόν γι’ αυτούς τους τρεις έχουμε: (365/365) * (364/365) * (363/365) = 132 132/133 225 = 0,9918, δηλαδή 99,18% και άρα η πιθανότητα να συμπίπτουν οι ημερομηνίες τους είναι 1 – 0,9918 = 0,0082, άρα 0,82%. Συνεχίζουμε έτσι μέχρι να βρούμε πιθανότητα μεγαλύτερη από 50%. Αυτό γίνεται με τον 23ο καλεσμένο με πιθανότητα 50,73%.