Ο Ολλανδός Πίιτ Μοντριάν (1872-1944) αφού πήρε μαθήματα ζωγραφικής από τον πατέρα του και τον θείο του, φοίτησε και στη Σχολή Καλών Τεχνών του Αμστερνταμ. Στα τέλη του 19ου αιώνα άρχισαν να έχουν μεγάλη επιρροή σε αρκετούς διανοουμένους οι θεωρίες του θεοσοφιστή Ρούντολφ Στάινερ. Στο βιβλίο του «Θεοσοφία», το 1909, ο Στάινερ βεβαίωνε τον αναγνώστη ότι το να κάνει σκέψεις κάποιος σε σχέση με τις μαθηματικές δομές τον ανεβάζει στην κλίμακα της αναζήτησης. Οπως έγραφε, «τα Μαθηματικά με τους αυστηρούς τους νόμους που δεν υποχωρούν μπροστά στα καθημερινά ερεθίσματα των αισθήσεων είναι μια καλή προετοιμασία για όποιον ψάχνει το Μονοπάτι». Το 1914 ο Μοντριάν γράφει: «Η τέχνη είναι ψηλότερα από την πραγματικότητα και για να φθάσεις το πνευματικό στην τέχνη θα πρέπει να κάνεις χρήση της πραγματικότητας όσο γίνεται λιγότερο, αφού η πραγματικότητα αντιπαρατίθεται με το πνευματικό».

Οι αναζητήσεις του Μοντριάν

Δεν ήταν έκπληξη λοιπόν το ότι ο Μοντριάν προχωρούσε όλο και περισσότερο στην αφαίρεση των εικονικών στοιχείων από τους πίνακές του καταλήγοντας σε οριζόντιες και κάθετες γραμμές χρωματίζοντας τις ενδιάμεσες επιφάνειες μόνον με βασικά, καθαρά χρώματα. Οπου πλέον στο δικό του λεξιλόγιο η γεωμετρία δημιουργεί την ενότητα. Το αφηρημένο και το καθαρό ταυτίζεται με το αρσενικό, την ανωτερότητα, το απαραίτητο και την αλήθεια. Σε αντίθεση με το εικονιστικό, το υλιστικό, το θηλυκό, συνολικά με το κατώτερο.

Υπάρχουν αναλυτές που συνδέουν τα παραπάνω με τη δυσκολία στις σχέσεις του με το άλλο φύλο. Αλλά ίσως ο παραπάνω διαχωρισμός να πηγαίνει πιο βαθιά. Να είναι η αντίληψή του για την αντίθεση μεταξύ του γήινου και του υψιπετούς. Κάποτε καλεσμένος του ζεύγους Καντίνσκι, η καρέκλα του για το γεύμα είχε τοποθετηθεί έτσι ώστε να έχει πολύ καλή θέα από παράθυρο του κήπου. Εκείνος όμως επίτηδες πήρε θέση με την πλάτη προς το παράθυρο. Και αυτό έκτοτε ερμηνεύεται ως μια μικρή έστω ένδειξη της άρνησής του προς τη «μητέρα Φύση» και τις κλασικές αναπαραστάσεις. Από το γυμνό μέχρι την προσωπογραφία.

Το 1938 από το Παρίσι πηγαίνει στο Λονδίνο και γρήγορα περνάει τον Ατλαντικό για να βρει στη Νέα Υόρκη τα καλύτερά του χρόνια, την αναγνώριση επιτέλους, αλλά σύντομα και τον θάνατο από πνευμονία το 1944.

(Συν)εκπαίδευση

Διδάξτε μαθηματικά με τη βοήθεια της τέχνης είναι η γραμμή κάποιων φωτισμένων εκπαιδευτικών στο εξωτερικό. Και πρώτα από όλα με τη βοήθεια των ζωγράφων. Να φτιάξουν μόμπιλο αφού δουν αυτά του Αλεξάντερ Κάλντερ, πολύγωνα αφού δουν πίνακες όπως ο «Κάστρο και Ηλιος» του Πολ Κλέε, κλάσματα αφού δουν τον πίνακα «Τετράγωνα με ομόκεντρους κύκλους» ή άλλους του Τζάκσον Πόλοκ. Και πολλά άλλα ακόμη.

Πνευματική γυμναστική

Για να μη μείνουμε όμως και εμείς μόνον στα λόγια, σήμερα προτείνουμε ως «πνευματική γυμναστική», κατάλληλη και για μεγάλους αλλά και για μικρούς, ασκήσεις που έχουν τη ρίζα της έμπνευσής τους στο έργο του Μοντριάν.

Δίδεται ένα τετράγωνο χωρισμένο σε μικρότερα όπως στα παλιά «τετράδια αριθμητικής». Ας πούμε πως μας δόθηκε ένα με δέκα επί δέκα τετραγωνάκια. Ζητείται να το καλύψουμε με ορθογώνια που το καθένα θα περιέχει διαφορετικό συνδυασμό από τετραγωνάκια. Δηλαδή ένα ορθογώνιο με εμβαδόν 4 Χ 3 = 12 τετραγωνάκια θεωρείται ίδιο με ένα 3 Χ 4. Οχι όμως ίδιο με ένα 2 Χ 6 = 12.
Εύκολο και καθόλου διασκεδαστικό ή έστω ανταγωνιστικό; Οχι, διότι υπάρχει ένας ακόμη περιορισμός. Ως καλύτερη κάλυψη θεωρείται αυτή που κάνει την αφαίρεση του εμβαδού του μικρότερου από το εμβαδόν του μεγαλύτερου ορθογωνίου να είναι η μικρότερη δυνατή. Οπως στο παράδειγμα 4 Χ 4 παρακάτω.
Στη μια περίπτωση είναι (3Χ4)-(1Χ4)=8 και στην άλλη (3Χ3)-(1Χ3)=6.
Ζητούμε για την επόμενη Κυριακή την καλύτερη επίδοση για 4Χ4, 10Χ10 και 11Χ11.

Οι λύσεις των πρηγούμενων κουίζ

1. 1. Στο παιχνίδι «Μυστικός Αγιος Βασίλης» (Secret Santa) μπαίνουν τα ονόματα όσων συμμετέχουν σε κληρωτίδα και τραβάει ο καθένας έναν κλήρο. Κάνει δώρο (συνήθως ανώνυμα) σε αυτόν που το όνομά του είναι γραμμένο στον κλήρο. Αν τραβήξει το δικό του όνομα θα το ρίξει πάλι πίσω αφού τραβήξει άλλον κλήρο. Εκτός και αν είναι ο τελευταίος, οπότε ακυρώνεται η κλήρωση και επαναλαμβάνεται. Αν ο Αργύρης, ο Βασίλης και η Γεωργία παίζουν το παιχνίδι αυτό και τραβούν κλήρο με αλφαβητική σειρά ζητούσαμε να υπολογιστεί η πιθανότητα ο Αργύρης να αγοράσει δώρο για τη Γεωργία. Τραβάει κλήρο πρώτος ο Αργύρης. Εχει 50% πιθανότητα, ή αλλιώς (1/2) να βρει σε αυτόν γραμμένο το όνομα της Γεωργίας. Δεν τελειώσαμε όμως. Αφαιρείται αυτός ο κλήρος και μένουν δύο κλήροι με τα ονόματα Βασίλης και Αργύρης. Τραβάει ο Βασίλης, αν βρει τον κλήρο με το δικό του τον ρίχνει πίσω μέχρι να πετύχει τον κλήρο με το όνομα του Αργύρη. Αρα εδώ η πιθανότητα να βρει το όνομα του Αργύρη είναι 1 (μόνον αυτόν) και για τη Γεωργία δεν μένει άλλο(ς) από το να τραβήξει τον κλήρο με το όνομα του Βασίλη. Συνολικά λοιπόν η πιθανότητα για αυτά όλα είναι (1/2) Χ 1 Χ 1 = (1/2) που είναι και η απάντηση. Οποιος θέλει εξετάζει ανάλογα τις άλλες περιπτώσεις. Ας πούμε ότι ο Αργύρης τραβάει τον κλήρο με το όνομα του Βασίλη με πιθανότητα, όπως και πριν (1/2). Στην κληρωτίδα μένουν Αργύρης και Γεωργία. Τραβάει ο Βασίλης. Πιθανότητα για τον καθένα τους (1/2). Ας πούμε ότι τράβηξε το όνομα του Αργύρη. Τότε η Γεωργία θα τραβήξει κλήρο με το δικό της όνομα και ακυρώνεται ο γύρος, επιστρέφουν οι κλήροι στην κληρωτίδα. Αυτό είχε πιθανότητα συνολικά (1/2) Χ (1/2) Χ 1 = (1/4). Το ίδιο δίνει και η τρίτη περίπτωση: Αργύρης->Βασίλης, Βασίλης->Γεωργία, Γεωργία->Αργύρης.
2. Τρεις ναοί και μπροστά από τον καθένα μια μικρή κρήνη με (θαυματουργό;) νερό. Κάποιος προσκυνητής καταφθάνει κρατώντας ένα μπουκέτο με λουλούδια. Πριν εισέλθει στον πρώτο ναό τα ραντίζει με λίγο από το νερό της πρώτης πηγής και αυτά… διπλασιάζονται. Μπαίνει μέσα, αφήνει κάποια και βγαίνοντας ραντίζει τα υπόλοιπα με νερό από τη δεύτερη πηγή, πάλι διπλασιάζονται, αφήνει και στον δεύτερο ίδιο αριθμό λουλουδιών με τον πρώτο, βγαίνει, πάλι νερό στην τρίτη πηγή (αφού έμαθε ότι αυτό ωφελεί), μέσα στον τρίτο ναό, αφήνει τον ίδιο αριθμό λουλουδιών και βγαίνει χωρίς να κρατάει πλέον έστω ένα λουλούδι στο χέρι. Ζητούσαμε ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός λουλουδιών που είχε στο ξεκίνημα και πόσα άφηνε σε κάθε ναό. Εστω Χ τα λουλούδια που είχε στην αρχή και Υ αυτά που άφηνε σε κάθε ναό. Πριν μπει στον πρώτο έγιναν 2Χ. Βγαίνοντας από τον πρώτο είχε 2Χ – Υ. Πριν μπει στον δεύτερο έγιναν 2(2Χ – Υ) = 4Χ – 2Υ. Βγαίνοντας έγιναν 4Χ – 2Υ – Υ = 4Χ – 3Υ. Πριν τον τρίτο γίνονται 2(4Χ – 3Υ) και αυτά όλα τα αφήνει μέσα στον τρίτο ναό, πάλι ως Υ. άρα 2(4Χ – 3Υ) = Υ και αυτό δίνει 8Χ = 7Υ ή (Χ/Υ) = (7/8). Αρα έφθασε με 7 λουλούδια και άφηνε 8 σε κάθε ναό.