Η σχέση του ανθρώπου με τα συστήματα αρίθμησης είναι στενή και αξιοπρόσεκτη. Εχει υποστηριχθεί από σοβαρούς συγγραφείς, όπως ο Τομπίας Ντάντζιγκ, ότι αν το ανθρώπινο σώμα δεν είχε διαμορφωμένα τα άκρα του σε αυτά τα 10+10 δάχτυλα, σε χέρια και πόδια, συλλογικά η διανοητική ανάπτυξη των ανθρώπων θα ήταν ακόμη σε πολύ χαμηλότερο επίπεδο από το σημερινό.

Ενα, δύο… δέκα!

Θεωρείται σχεδόν βέβαιο πως το δεκαδικό σύστημα που χρησιμοποιείται σήμερα σχετίζεται με την αρχέγονη χρήση των δαχτύλων, πρώτα των χεριών και παλαιότερα και των ποδιών. Υπάρχει μάλιστα και η θεωρία ότι ακόμη πιο πριν χρησιμοποιήθηκε το πενταδικό σύστημα για αρκετό χρονικό διάστημα διότι, απλά, οι άνδρες που είχαν «τότε» τον πρώτο λόγο στις συναλλαγές, στο ένα χέρι κρατούσαν κάποιο όπλο και τους έμεναν μόνον πέντε δάχτυλα στο άλλο χέρι για τους λογαριασμούς και τις συνεννοήσεις!

Εχει διασωθεί άλλωστε και στην αρχαία ελληνική γλώσσα το ρήμα πεμπάζω = μετρώ ανά πέντε (από την αιολική προφορά ως «πέμπε» του γνωστού μας «πέντε»). Αναφέρεται ότι στην Οβέρν, μια περιοχή της Κεντρικής Γαλλίας, οι χωρικοί αν έχουν να πολλαπλασιάσουν αριθμούς πάνω από το 5, π.χ. 9 Χ 8, διπλώνουν στο κάθε ένα χέρι τόσα δάχτυλα όσα είναι παραπάνω οι αριθμοί αυτοί από το 5. Αρα 4 στο ένα και 3 στο άλλο. Το άθροισμα τους δίνει τις δεκάδες (4 + 3 = 7) και το γινόμενο των δαχτύλων που δεν δίπλωσαν, εδώ 1 Χ 2 = 2, τις μονάδες, για να προκύψει το γινόμενο 9 Χ 8 = 72. Επίσης στη γαλλική γλώσσα διασώζονται ίχνη της χρήσης και των 20 δαχτύλων του ανθρώπινου σώματος αφού το 80 προσδιορίζεται ως «4 φορές το 20» και το 90 ως «4 φορές το 20 συν 10».

Πλήθος διαιρετών

Η μαθηματική σκέψη όμως αγνοεί τη σωματική σύνδεση θεωρώντας πως τα καλύτερα συστήματα αρίθμησης είναι αυτά που η βάση τους διαιρείται ακριβώς με όσο το δυνατόν περισσότερους ακέραιους αριθμούς.

Ετσι ένα σύστημα με βάση το 12 (διαιρείται ακριβώς από τα 2, 3, 4, 6) ή το 20 (διαιρείται ακριβώς από τα 2, 4, 5, 10) θεωρείται καλύτερο από το δεκαδικό (διαιρείται ακριβώς από τα 2, 5) ενώ από αυτή την άποψη όλων ανώτερο είναι των Βαβυλωνίων με βάση το 60 (με διαιρέτες τα 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30), που έχει απαθανατιστεί στη διαίρεση του χρόνου σε 60 λεπτά και δευτερόλεπτα.

Το δυαδικό σύστημα

Μια ιδιαίτερη περίπτωση που επίσης δεν σχετίζεται με το ανθρώπινο σώμα είναι το δυαδικό σύστημα. Που οι περισσότεροι μάλλον γνωρίζουν πως αποτελείται από δύο μόνον ψηφία, το 0 και το 1. Είναι το σύστημα που έκανε εφικτό να λειτουργήσουν οι ψηφιακοί ηλεκτρονικοί υπολογιστές και χάρη σε αυτό να φθάσουν στον τόσο αποτελεσματικό τρόπο λειτουργίας τους.

Ισως να μην είναι και τόσο γνωστό πως δεν πρόκειται για μια επινόηση του 20ού αιώνα. Ο πλέον διάσημος και φανατικός  οπαδός του, πολύ πριν από τους ανθρώπους της Silicon Valley, ήταν ο γερμανός πολυμαθής Γκότφριντ Λάιμπνιτζ (1646-1716), που θεωρούσε πως όλα έπρεπε να γίνονται με αυτό. Αρκεί να σκεφτούμε πως οι πίνακες με την προπαίδεια της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού θα είχαν όλοι μαζί μόνο δύο καταχωρίσεις: 1 + 1 = 10 και 1 Χ 1 = 1.

Από την άλλη οι αριθμοί που γνωρίζουμε στο δεκαδικό θα ήταν πιο μακρόσυρτοι σε εμφάνιση αφού για παράδειγμα το 4096 γράφεται ως 1 000 000 000 000.

Οι μετατροπές από το δεκαδικό στο δυαδικό και αντίστροφα προκύπτουν εύκολα από το ότι σε κάθε θέση αρχίζοντας από δεξιά με το 2⁰ = 1 όσο πηγαίνουμε πιο αριστερά έχουμε μια παραπάνω δύναμη του 2.

Για παράδειγμα, το 13 που αναλύεται σε 13 = 8 + 4 + 1 ή 13 = 2³ + 2² + 2⁰  γράφεται: 1101 και το 1000 θα είναι 1 111 101 000.

Πνευματική Γυμναστική

1. Ενας πωλητής μήλων στη λαϊκή αγορά έχει 1.000 μήλα προς πώληση και 10 άδεια καφάσια. Ζήτησε από τον γιο του να μοιράσει τα μήλα έτσι ώστε όποιον αριθμό μήλων και αν του ζητήσει την ώρα της πώλησης, από το 1 έως το 1.000, να μπορεί να του τα δώσει αμέσως. Πώς τα μοίρασε, με δεδομένο ότι μπορούσε να βάλει οποιονδήποτε αριθμό μήλων σε οποιοδήποτε κουτί;
2. Στην αρχή της γνωριμίας τους ο Α και η Θ λένε κάποια… ψεματάκια. Ο Α λέει ότι σίγουρα δεν είναι πάνω από 40 ετών. Η Θ λέει ότι εκείνη είναι 38 ετών και ότι ο Α είναι τουλάχιστον 5 χρόνια μεγαλύτερός της. Και τότε ο Α της απαντά ότι εκείνη είναι το λιγότερο 39 ετών. Εμείς που τυχαίνει να τους γνωρίζουμε ξέρουμε ότι όλα όσα είπαν ήταν ψέματα. Πόσων ετών λοιπόν είναι ο Α και η Θ στην πραγματικότητα;

Η λύση του προηγούμενου κουίζ

Ζητούσαμε την καλύτερη επίδοση για τα τετράγωνα 4Χ4, 10Χ10 και 11Χ11 στο παιχνίδι που ονομάζεται Mondrian Math. Σε αυτό, ένα τετράγωνο χωρισμένο σε μικρότερα όπως στα παλιά «τετράδια αριθμητικής» ζητείται να το καλύψουμε με ορθογώνια που το καθένα θα περιέχει διαφορετικό συνδυασμό από τετραγωνάκια. Με τον περιορισμό ότι ως καλύτερη κάλυψη θεωρείται αυτή που κάνει την αφαίρεση: [(εμβαδόν του μεγαλύτερου ορθογωνίου) – (το εμβαδόν του μικρότερου)] (δοσμένα και τα δύο σε πλήθος από τετραγωνάκια) να δίνει τη μικρότερη δυνατή διαφορά. Ακόμη πιο δύσκολο γίνεται το «παιχνίδι» όταν παίζεται ανταγωνιστικά από ομάδες, όταν παίρνει πόντους και το πώς αυτά τα ορθογώνια μπορούν να χρωματιστούν με τα κατά το δυνατόν λιγότερα χρώματα ώστε να μη βρίσκονται σε επαφή ορθογώνια με το ίδιο χρώμα (ούτε καν στις γωνίες). Και στις λύσεις που παρουσιάζουμε αυτό έχει τηρηθεί.