Τα μηνύματα των αναγνωστών και οι παρατηρήσεις τους κάθε εβδομάδα σχετικά με τη σελίδα αυτήν γίνονται και πηγή έμπνευσης κάποιες φορές. Με αφορμή λοιπόν την πολύ σύντομη ανάλυση για το δυαδικό σύστημα που είχαμε την προηγούμενη φορά ένας αναγνώστης έγραψε: «Ναι, αλλά αυτό το 2 0  = 1 πώς προκύπτει;». Δίνοντας πολύ ωραία πάσα να αναλύσουμε κάποια θέματα για τα οποία κάποτε ίσως να μας είπαν ξερά: «Αυτό είναι έτσι» ή «θα δεις το γιατί όταν προχωρήσεις».

Είναι γνωστό πως όταν δεν υπάρχει πολύς χρόνος για την εμπέδωση κάποιου κεφαλαίου, κάποια στιγμή, μαθαίνεις ξαφνικά τα… νέα. Οπως το ότι «ένας οποιοσδήποτε αριθμός όταν υψώνεται στη μηδενική δύναμη θα είναι ίσος με τη μονάδα». Υπάρχει όμως και κάποιος πολύ απλός τρόπος να βεβαιωθείς πως έτσι θα έπρεπε να είναι (και όχι να σκεφθείς, όπως γίνεται σε άλλες περιπτώσεις, ότι το να υψώσεις έναν αριθμό στο τίποτα απλά δεν έχει νόημα).

Ας το δούμε λοιπόν:

2 0  Χ 2 1 = 2 0+1 = 2 1, οπότε αναγκαστικά θα πρέπει να ισχύει ότι: 2 0 = 1.

Στη συνέχεια μπορείς να βεβαιωθείς ότι: 2 -1 Χ 2 1 = 2 1 -1 = 2 0  = 1 και από εκεί ότι

2 -1 θα έπρεπε πραγματικά να θεωρείται ως ισοδύναμο με το κλάσμα ½. Και όντας στην ίδια «συχνότητα»: 2 ½ Χ 2 ½  = 2 ½ + ½ = 2 1  = (2 ½ ) 2 = 2 και από τον ορισμό για τις τετραγωνικές ρίζες, αφού πολλαπλασιάζοντας το 2 ½  με τον εαυτό του δίνει 2 έχουμε δικαίωμα να θεωρούμε ισοδύναμα τα 2 ½ και την τετραγωνική ρίζα του 2.

Και είναι πολύ φυσιολογικό μετά από όλα αυτά κάποιος ή κάποια να έχει την εξής (διαβολική) απορία: Πόσο να κάνει άραγε 0 0; Οπότε πρέπει να αρχίσουμε κάνοντας μια συστηματική καταγραφή τιμών, ξεκινώντας από το 0,9 0,9  που είναι ίσον με 0,909 και να κατεβαίνουμε. Τότε βρίσκουμε ότι το 0,6 0,6  = 0,736, το 0,4 0,4  = 0,693 και ξαφνικά 0,3 0,3  = 0,696 για να φθάσει το 0,001 0,001 = 0,993. Δηλαδή μια τάση τελικά, όσο πλησιάζουμε στο 0 να τείνει, όπως λέμε, η έκφραση 0 0 προς την τιμή 1.

Με το πρόβλημα αυτό ασχολήθηκε ακόμη και ο Οϊλερ, που το 1752 έγραψε ότι πράγματι πρέπει να κάνει 1 και το 1787 δόθηκε ως επιβεβαίωση η «ευριστική» απόδειξη:

0 0  = (α – α) n – n = (α – α) n / (α – α) n = 1, ενώ ο διάσημος Κοσί το 1821 θεωρούσε το  0 0 μαζί με το 0/0 ως απροσδιόριστα.

Πνευματική γυμναστική

1. Στο ζευγάρι της προηγούμενης εβδομάδας όταν τα βρήκαν(;) επιτέλους, μπορεί να σταμάτησαν τα ψεματάκια αλλά και πάλι κάτι δεν πήγαινε καλά. Ηταν το (καινούργιο;) ρολόι που ο Α θέλησε να κάνει δώρο στη Θ. Πηγαίνει μπροστά 6 λεπτά σε κάθε μία ώρα. Το ρολόι του Α λειτουργεί πολύ καλά (φυσικά) και ρύθμισε με τη βοήθειά του το ρολόι-δώρο ακριβώς τα μεσάνυχτα της προηγούμενης ημέρας. Οταν το παρουσίασε ως δώρο έδειχνε 8:26 το πρωί. Αλλά ήδη ήταν σταματημένο 30 λεπτά πριν (για να τον γελοιοποιήσει εντελώς). Τελικά τι ώρα ήταν όταν της το έδωσε;

2. Ενας πατέρας αποφασίζει να μοιράσει μαργαριτάρια στις κόρες του. Θέλει να δώσει στη μεγαλύτερη ένα μαργαριτάρι και ένα έβδομο από τα υπόλοιπα μαργαριτάρια. Στη δεύτερη δύο μαργαριτάρια και ένα έβδομο από τα υπόλοιπα. Στην τρίτη τρία και το ένα έβδομο των υπολοίπων. Συνεχίζοντας έτσι μέχρι την τελευταία κόρη. Αδίκησε κάποια από τις κόρες του; Πόσες κόρες είχε και πόσα μαργαριτάρια;

Η λύση του προηγούμενου κουίζ

1. Είχαμε έναν πωλητή μήλων στη λαϊκή αγορά με 1.000 μήλα προς πώληση και 10 άδεια καφάσια, που ζήτησε από τον γιο του να μοιράσει τα μήλα στα καφάσια, με τρόπο ώστε όποιον αριθμό μήλων και αν του ζητηθεί την ώρα της πώλησης, από το 1 έως το 1.000, να μπορεί να του τα δώσει αμέσως. Πώς έπρεπε να τα μοιράσει; Η απάντηση είναι, στα τρία πρώτα να βάλει 1, 2, 4 μήλα αντίστοιχα, οπότε μπορεί να καλύψει τη ζήτηση για 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 μήλα κάνοντας συνδυασμούς με ό,τι υπάρχει στα τρία καφάσια (εννοείται πως δεν πρόκειται για συνεχή πώληση σε ρεαλιστικές συνθήκες αλλά για μια φορά, και αν ήθελε να δίνει και για δεύτερη ή για τρίτη φορά, κάποιος θα έπρεπε να βάζει στα καφάσια που αδειάζουν την αντίστοιχη ποσότητα μήλων). Προχωρώντας και βάζοντας στα επόμενα 8, 16, 32, 64, 128, 256 καλύπτει όποιον αριθμό του ζητηθεί μέχρι και το 256. Κάποιοι ήδη θα έχουν καταλάβει πως βάζουμε μήλα με βάση το δυαδικό σύστημα. Με τη διαφορά πως στο επόμενο και τελευταίο καφάσι δεν έχουμε να βάλουμε 512 και έτσι βάζουμε ό,τι έχει μείνει, δηλαδή 489.

2.  Στην αρχή της γνωριμίας τους ο Α και η Θ δεν έλεγαν αλήθειες. Ο Α έλεγε ότι σίγουρα δεν είναι πάνω από 40 ετών. Η Θ ότι εκείνη είναι 38 ετών και ότι ο Α είναι τουλάχιστον 5 χρόνια μεγαλύτερός της. Και τότε ο Α της απάντησε ότι εκείνη είναι το λιγότερο 39 ετών. Εμείς που τυχαίνει να τους γνωρίζουμε ξέρουμε ότι όλα όσα είπαν ήταν ψέματα. Αλλά μπορούμε να βρούμε πόσων ετών είναι ο Α και η Θ στην πραγματικότητα. Και ένας καλός τρόπος να ξεκινάει κάποιος με τέτοια προβλήματα είναι να αντικαθιστά τις ψευδείς προτάσεις με τις αληθινές. Εδώ λοιπόν θα πρέπει να ισχύουν τα εξής:

• Ο Α είναι σίγουρα άνω των 40.

• Η Θ δεν είναι 38 ετών και ο Α είναι μεγαλύτερος από εκείνη το πολύ 4 χρόνια.

• Η Θ είναι το πολύ 38 ετών.

Από την πρώτη πρόταση συνάγουμε ότι ο Α είναι τουλάχιστον 41 ετών, ίσως και μεγαλύτερος. Στα δύο επόμενα όταν τα πάρουμε μαζί βρίσκεται και το πιο λεπτό σημείο: Η Θ δεν είναι 38 ετών και η Θ είναι το πολύ 38 ετών, άρα θα είναι το πολύ 37 ετών. Οπότε η μόνη διαφορά ηλικίας που είναι εφικτή από τα παραπάνω είναι τα 4 χρόνια. Με τον Α να είναι 41 ετών και τη Θ 37 ετών. (Τους ευχόμαστε καλή συνέχεια παρά τα πρώτα ψεματάκια.)