Ένα από τα κρατούμενα της προηγούμενης εβδομάδας πρέπει να είναι το ότι «Ολοι κατέχουμε (μέσα στο μυαλό μας) κάποιο είδος άξονα, με τους αριθμούς απλωμένους επάνω του». Και στον άξονα αυτόν οι άνθρωποι κατάφεραν να έχουν τακτοποιήσει όχι μόνο τους θετικούς αριθμούς δεξιά από το μηδέν αλλά και τους αρνητικούς αριστερά από το μηδέν. Ενα εξαιρετικό νοητικό επίτευγμα που όμως «επιβάλλεται» να προκαλέσει σε όποιον έρχεται σε επαφή ταυτόχρονα με αρνητικούς και θετικούς αριθμούς πολλές απορίες.

Αναφέρθηκε ήδη το πόσο μάς λύνει τα χέρια η μοναδική ιδιότητα (που συνδέει πρόσθεση και πολλαπλασιασμό): Α x (Β + Γ) = (Α x Β) + (Α x Γ). Οντας τόσο απλή και κατανοητή ώστε κάποιοι από εμάς μπορεί να μην εκτίμησαν την αξία της όσο πρέπει. Αμέσως τώρα όμως θα μας βοηθήσει να βεβαιωθούμε ότι το γινόμενο ενός θετικού αριθμού επί έναν αρνητικό «οφείλει» να δίνει αποτέλεσμα με πρόσημο αρνητικό: 2x [3 + (-3)] = (2 x 3) + [2 x (-3)], αλλά 3 + (-3) = 0, οπότε 2 x (-3) = -(2 x 3) άρα 2 x (-3) = -6, και έτσι προκύπτει πως το γινόμενο θετικού με αρνητικό πρέπει να έχει αρνητικό πρόσημο. Και αυτό θα είναι πολύτιμο εργαλείο για να επιβεβαιώσουμε κάτι που καταπίνεται στο σχολείο αμάσητο. Το ότι «πλην επί πλην κάνει συν».

Στοχασμοί και αποδείξεις

Είναι κάτι που εκτός σχολείου περιστοιχίζεται από ένα πυκνό νέφος στοχασμών και αποδείξεων. Από το ό,τι πιο παράδοξο έως το πλέον μαθηματικό. Ενας συλλογισμός που δεν θα έπρεπε (κατά τη γνώμη μου) να διδαχθεί ποτέ σε σχολείο είναι ο εξής: Θεωρήστε, λέει, ότι ένας φίλος αντιπροσωπεύει μια θετική ποσότητα, ένας εχθρός αρνητική ποσότητα. Ενα καλό συμβάν αντιστοιχεί σε θετικό πρόσημο, ένα κακό σε αρνητικό. Κάτι θετικό που συμβαίνει σε έναν φίλο είναι κάτι σαν το γινόμενο συν επί συν. Κάτι θετικό που συμβαίνει σε έναν εχθρό μπορεί να αντιστοιχηθεί με το πλην επί συν, που δημιουργεί τελικά αρνητικά συναισθήματα. Οταν μαθαίνουμε για ένα αρνητικό συμβάν σε φίλο, πάλι αυτό θα αφήσει αρνητική εντύπωση. Και, εδώ είναι η κορύφωση του συλλογισμού, το αρνητικό σε έναν εχθρό θα μας ευχαριστήσει (!!!;;;), οπότε του βάζουμε θετικό πρόσημο.

Ενας ακόμα φιλολογικός στοχασμός είναι ο εξής: Από έναν ανεξάντλητο φούρνο δίνω σε κάποιον 10 μπισκότα κάθε μήνα επί 6 μήνες. Αυτός παίρνει 10 x 6 = 60 (συμβολικά συν επί συν = συν). Εγώ χάνω 10 κάθε μήνα, άρα στο εξάμηνο είναι -10 x 6 = -60 (συμβολικά  πλην επί συν = πλην). Πριν από έξι μήνες, που θα συμβολιστεί με το -6, αυτός ο κάποιος είχε 60 λιγότερα και αυτό προκύπτει αν βάλουμε 10 x (-6) = -60 ή συν επί πλην θα δίνει πλην. Τέλος, πριν από έξι μήνες πόσα είχα; Χάνοντας κάθε μήνα -10 επί έξι μήνες στο παρελθόν ισχύει: -10 x (-6 ) = 60 μπισκότα, που είχα να τα διαθέσω όταν ξεκίνησα αυτό το (νοητικό) πείραμα.

Αν αυτά φαίνονται σοφιστείες, υπάρχει και η καθαρά αλγεβρική (αλλά σίγουρα «ευριστική») απόδειξη: Αρχίζουμε από την παράσταση

a x b + a x (-b) + (-a) x (-b).

Για το κομμάτι [a x (-b) + (-a) x (-b)] έχουμε ότι είναι ίσο με (-b) x [a + (-a)] = 0, οπότε αυτό το τριώνυμο δίνει ως τιμή a x b. Αν όμως στο ίδιο τριώνυμο ξεκινήσουμε από τους δύο πρώτους όρους, τότε έχουμε: a x [b + (-b)] που δίνει 0, οπότε προκύπτει ως τιμή του τριωνύμου το γινόμενο (-a) x (-b). Από την προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης όμως a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c), οπότε αναγκαστικά a x b = (-a) x (-b).

Πνευματική γυμναστική

1.      Ενας ακέραιος θετικός αριθμός διαιρείται από οκτώ άλλους θετικούς ακεραίους συμπεριλαμβανομένων του 1 και του εαυτού του. Δύο άλλοι αριθμοί που τον διαιρούν ακριβώς είναι οι 35 και 21. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός;

2.      Εχουμε τους δρομείς Α, Β, Γ στον δρόμο των 100 μέτρων. Ο Α κερδίζει τον Β με διαφορά 20 μέτρων και ο Β τον Γ με διαφορά 20 μέτρων. Με βάση τα παραπάνω, με πόσα μέτρα θεωρητικά (χωρίς να τρέξουν δηλαδή) κερδίζει ο Α τον Γ;

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

1.      Στο προηγούμενο είχαμε τον Α να βάφει ένα σπίτι μέσα σε 2 ημέρες ενώ το ίδιο σπίτι ο Β το βάφει σε 2,5 ημέρες. Προσλαμβάνουν έναν τρίτο άνθρωπο για να βαφτεί το σπίτι μέσα σε 1 ημέρα από τους τρεις μαζί. Αυτός ο τρίτος άνθρωπος λοιπόν σε πόσες ημέρες θα πρέπει να μπορεί να βάφει μόνος του το σπίτι για να επιτύχουν τον σκοπό τους; Για τα προβλήματα αυτού του τύπου το πρώτο βήμα είναι να βρίσκουμε την «ταχύτητα» του καθενός. Δηλαδή ο Α βάφει με «ταχύτητα» 1 σπίτι ανά δύο ημέρες, δηλαδή V A  = (1/2) = 0,5. Ο Β V B  = (1/2,5) = 0,4. Ο τρίτος που θα προσλάβουν θα έχει ταχύτητα (1/Χ). Αρα το 1 σπίτι βάφεται σε μία ημέρα με βάση τις αντίστοιχες ταχύτητες ως εξής: 1 = 0,5 Χ 1 + 0,4 Χ 1 + (1/Χ) Χ 1. Λύνουμε ως προς Χ και βρίσκουμε ότι Χ = 10. Αρα μας αρκεί να προσλάβουμε κάποιον που βάφει με ταχύτητα ένα σπίτι κάθε 10 ημέρες.

2.      Από μια τέλεια σφαιρική χιονόμπαλα με ακτίνα 6 δεκατόμετρα (1 δεκατόμετρο = 10 εκατοστά), θέλαμε να κάνουμε έναν χιονάνθρωπο από τρεις άλλες σφαίρες, με διαφορετικές φυσικά ακτίνες που θα είναι ακέραιοι αριθμοί (σε δεκατόμετρα). Θα φθάσει το χιόνι της αρχικής χιονόμπαλας αν ο όγκος σφαίρας με ακτίνα R είναι: (4/3) π R 3; Οι όγκοι των τριών σφαιρών θα πρέπει να είναι ίσοι με τον όγκο της αρχικής σφαίρας, οπότε αν x, y, z είναι οι ακτίνες τους εξισώνοντας με τον όγκο της αρχικής χιονόμπαλας που έχει ακτίνα 6 θα ισχύει (απλοποιώντας τα (4/3) π και από τα δύο μέλη): 6 3 = x 3 + y 3 + z 3. Οι ακτίνες x, y, z θα είναι ακέραιοι, όλοι μικρότεροι του 6 και διαφορετικοί μεταξύ τους, άρα μεταξύ του 1 και του 5. Δοκιμάζοντας να αθροίσουμε τους κύβους για ακτίνες 2, 3, 4 βρίσκουμε πως δεν είναι ίσες με το 6 εις τον κύβο της αρχικής χιονόσφαιρας, άρα η μία ακτίνα είναι 5 δεκατόμετρα και εύκολα μετά προκύπτει ότι οι άλλες δύο θα έχουν ακτίνες 4 και 3 δεκατόμετρα.