Εχω διαβάσει το πολύ ενδιαφέρον βιβλίο του ολλανδού μαθηματικού Πιερ φαν Χίλε (1909-2010) «Δομή και Διορατικότητα» (είναι μεταφρασμένο και στα ελληνικά από τις εκδόσεις Liberal Books) και ξέρω πως εκεί, εκτός από την ένθερμη συνηγορία του για μια εξαιρετικά ολοκληρωμένη διδασκαλία της Γεωμετρίας στα σχολεία, σε ιδιαίτερο κεφάλαιο, εισηγείται την πλήρη κατάργηση της διδασκαλίας των κλασμάτων. Γράφει μάλιστα ότι «η ικανότητα να κάνουμε υπολογισμούς με κλάσματα δεν έχει καμία χρησιμότητα» (αλήθεια, αν εισακουστεί, όλες εκείνες τις Σειρές-Φάρεϋ, χρήσιμες στα Μαθηματικά και τη Φυσική και τα αθροίσματα κλασμάτων στις διάφορες σειρές ποιος θα τα φροντίζει πλέον;). Τέλος πάντων.

Επειδή όμως από το 1986 που γράφτηκε το βιβλίο ακόμη δεν έχει γίνει κάτι προς αυτή την κατεύθυνση και τα κλάσματα συνεχίζουν να διδάσκονται σε Δημοτικό και Γυμνάσιο, θα ήθελα να γράψω και εγώ κάτι για τα κλάσματα. Παρατηρήσεις άλλων που θα ήμουν όμως ευτυχής ως μαθητής να είχα ακούσει να γίνονται στην ώρα τους.

Και κλάσμα και ανάγωγο!

Το (1/2) και τα (2/4) της πίτας αντιστοιχούν στο ίδιο κομμάτι αλλά είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Είναι ίσα διότι αντιπροσωπεύουν την ίδια ποσότητα αλλά δεν είναι (ακριβώς) ίδια. Το πρώτο έχει και την ιδιότητα ότι δεν απλοποιείται άλλο (ο νονός του έχει δώσει και το όνομα «ανάγωγο». Και κλάσμα και ανάγωγο όμως είναι κάτι που μάλλον δυσκολεύει ακόμη περισσότερο τους μικρούς μαθητές και τις μαθήτριες να συμφιλιωθούν μαζί του).

Οι δυσκολίες αρχίζουν ήδη με την πρόσθεση και την αφαίρεση κλασμάτων. Επιβάλλονται τελετουργίες που φαντάζουν αρκετά ακατανόητες και εκτελούνται με μηχανικό τρόπο. Κάτι που ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ή ΕΚΠ) πρέπει να χρησιμοποιηθεί πρώιμα ως εργαλείο και κάποια «κυπελλάκια» ή «καπελάκια» φυτρώνουν επάνω από τα κλάσματα και πρέπει να… γεμίσουν χωρίς και πολλές εξηγήσεις.

Σχολικά «χαπάκια»

Για την πρόσθεση (το ίδιο και με την αφαίρεση) δύο κλασμάτων [(α/β) + (γ/δ)] ίσως θα ήταν αρκετά κατανοητό αντί για σταυρωτούς πολλαπλασιασμούς, ΕΚΠ ή κυπελλάκια να λέγαμε ότι πολλαπλασιάζουμε το πρώτο κλάσμα με το (δ/δ)= 1 και το δεύτερο με το (β/β)=1, οπότε προκύπτει το άθροισμα: (αδ/βδ) + (γβ/βδ). Αυτό, αν έχουμε πρώτα εξασκηθεί σε αθροίσεις κλασμάτων με ίδιο παρονομαστή όπως: (1/5) + (3/5) = (1/5) + [ (1/5) + (1/5) + (1/5)] = 4 (1/5)= (4/5), θα γίνει κατανοητό ότι δίνει: [(αδ +γβ)/ βδ]. Αμέσως μετά θα προκύψει το ερώτημα τι θα κάνουμε όταν τα κλάσματα που θέλουμε να προσθέσουμε δεν είναι μόνον δύο. Πριν καταφύγουμε και πάλι στο ΕΚΠ (κάποτε εξοικειώνεσαι και με αυτό αλλά όχι από τα πρώτα βήματα), μπορούμε πολύ απλά να προσθέσουμε τα δύο πρώτα κλάσματα και στη συνέχεια το τρίτο με τον ίδιο τρόπο.

Στη συνέχεια έρχονται ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση. Πώς δίνεις νόημα στον πολλαπλασιασμό κλασμάτων; Να πεις ίσως ότι κόβω μια πίτα σε α ίσα κομμάτια και το καθένα σε β πάλι ίσα κομμάτια και άρα συνολικά σε (α ∙ β) κομμάτια και το καθένα από αυτά είναι το (1/α) (1/β) = (1/ α ∙ β); Αλλά και στη διαίρεση κλασμάτων θέλει προσοχή.  Αυτό το αντιστρέφουμε το δεύτερο κλάσμα και αντί για διαίρεση κάνουμε πολλαπλασιασμό, μας «χορηγήθηκε» στο σχολείο έτσι, σαν χαπάκι.

Πνευματική Γυμναστική

1. Ψάχνουμε τον μικρότερο αριθμό που όταν διαιρείται διαδοχικά από το 3 οι διαιρέσεις αυτές αφήνουν κάθε φορά υπόλοιπο 2, όταν διαιρείται από το 5 αφήνουν πάντα υπόλοιπο 3 και όταν διαιρείται από το 7 υπόλοιπο 2.
2. Υπάρχει και ο εξής τρόπος να βρει κάποιος το γινόμενο δύο αριθμών (λέγεται ότι κάποιοι βοσκοί στην Αιθιοπία τον χρησιμοποιούν ακόμη!): Π.χ. για να βρεθεί το γινόμενο 25 Χ 31 διαιρούμε τον πρώτο αριθμό συνεχώς διά 2 και πολλαπλασιάζουμε τον άλλον αντίστοιχα επί 2 (αγνοώντας το υπόλοιπο 1 όταν είναι περιττός ο αριθμός). Αυτό μέχρι να φθάσουμε με τις διαιρέσεις στο 1: Ετσι παίρνουμε τα ζευγάρια (25, 31), (12, 62), (6, 124), (3, 248), (1, 496). Αγνοούμε τα ζευγάρια με άρτιο το πρώτο μέλος και αθροίζουμε τα δεύτερα μέλη όσων μένουν: 31 + 248 + 496 = 775. Πώς εξηγείται αυτό;

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Ζητούσαμε να βρεθεί ποιος είναι ο ακέραιος θετικός αριθμός που διαιρείται από οκτώ άλλους θετικούς ακεραίους συμπεριλαμβανομένων του 1 και του εαυτού του δίνοντας την επιπλέον πληροφορία ότι δύο άλλοι αριθμοί που τον διαιρούν ακριβώς είναι ο 35 και ο 21. Για να εντοπίσουμε τον αριθμό αυτόν είναι λογικό να ξεκινήσουμε από το ότι και οι αριθμοί που διαιρούν (ακριβώς χωρίς να αφήνουν υπόλοιπο) τους 35 και 21 διαιρούν και αυτόν. Και εδώ πρόκειται για τους 3, 5 και 7. Επομένως θα διαιρείται και με τον 3 Χ 5 = 15 και ήδη έχουμε τους εξής διαιρέτες του ζητούμενου αριθμού: 1, 3, 5, 7, 15, 35, 21. Μας λείπει άρα μόνον ο ίδιος. Το γινόμενο 3 Χ 5 Χ 7 = 105 μας τον δίνει.

2. Εδώ είχαμε τους δρομείς Α, Β, Γ στον δρόμο των 100 μέτρων. Ο Α κερδίζει τον Β με διαφορά 20 μέτρων και ο Β τον Γ με διαφορά 20 μέτρων. Με βάση τα παραπάνω, με πόσα μέτρα θεωρητικά (χωρίς να τρέξουν δηλαδή) κερδίζει ο Α τον Γ; Εννοείται πως θεωρούμε ότι τρέχουν όλοι τα 100 μέτρα με σταθερή ταχύτητα. Για όποιον έχει πολύ καθαρά στο μυαλό του τι γίνεται στο θέμα των ποσοστών, η λύση έρχεται άμεσα: Ο Β όταν τερματίζει ο Α έχει διανύσει το 80% της απόστασης και ο Γ το 80% της απόστασης του Β, άρα: (80/100) Χ (80/100) Χ100 = 64 μέτρα. Αρα ο Α κερδίζει τον Γ με διαφορά 36 μέτρων. Υπάρχει βέβαια και η λύση με τις ταχύτητες V1, V2, V3 των Α, Β, Γ αντίστοιχα. Ο τύπος είναι V = (S/T), όπου S το διάστημα που έχει διανύσει ο καθένας. Επομένως στον ίδιο χρόνο Τ που τρέχουν ο Α με τον Β ισχύει:
Τ = (100/V1) = (80 /V2). Αντίστοιχα θα ισχύει (100/V2) = (80 /V3). Λύνουμε την πρώτη ως προς V1 και με αντικατάσταση στη δεύτερη προκύπτει ότι V3 = (16/25) V1.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα