Η τελευταία φράση στο προηγούμενο τεύχος ήταν η εξής: «Στη διαίρεση κλασμάτων θέλει προσοχή.  Αυτό το: αντιστρέφουμε το δεύτερο κλάσμα και αντί για διαίρεση κάνουμε πολλαπλασιασμό, μας «χορηγήθηκε» στο σχολείο έτσι, σαν χαπάκι». Εμείς λοιπόν που αποφεύγουμε τα χάπια θα προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε αυτή την… ανατροπή.

Επιτέλους, μια εξήγηση!

Ας ξεκινήσουμε παίρνοντας ένα αριθμητικό παράδειγμα: (1/2) / (2/3). Πολλαπλασιάζουμε το σύνθετο αυτό κλάσμα με το κλάσμα (3/3) που είναι βέβαια ίσο με 1, άρα δεν αλλάζει κάτι. Επιλέχθηκε το (3/3) διότι ο παρονομαστής του κλάσματος που ενεργεί τη διαίρεση είναι το 3. Ετσι όμως θα έχουμε: (1/2) Χ 3 / (2/3) Χ 3 = ((1/2) Χ 3)/ 2  που είναι προφανώς ίσο με (1/2) Χ (3/2), δηλαδή αντί διαίρεσης έχουμε καταφέρει να έχουμε έναν πολλαπλασιασμό κλασμάτων. Κάτι πολύ απλούστερο ως διαδικασία από ό,τι μια διαίρεση κλασμάτων.

Αφού λοιπόν φωτίστηκαν, έστω και πρόχειρα, κάποια σκοτεινά σημεία από την εποχή του σχολείου ακόμη, και σε πείσμα αυτών που επιμένουν ότι τα κλάσματα πρέπει να καταργηθούν κατά το μεγαλόστομο «με έναν νόμο και ένα άρθρο», εμείς θα συνεχίσουμε να… συγχρωτιζόμαστε μαζί τους. Και αρκετά απροσδόκητα μάλιστα, αφού θα πάμε μερικές χιλιάδες χρόνια πίσω και χιλιόμετρα μακριά. Για να δούμε στην Αίγυπτο των Φαραώ πώς διαχειρίζονταν τα κλάσματα. Με τη διαβεβαίωση πως αν και η διαχείριση εκεί ήταν σχετικά πολύ διαφορετική, αυτό βοηθάει αρκετά όποιον ασχοληθεί να αποκτήσει μεγαλύτερη εξοικείωση και με τα δικά μας.

Φαραωνικά μαθηματικά

Το πρώτο και βασικό είναι πως τα κλάσματά τους είχαν στον αριθμητή πάντοτε τη μονάδα. Δεν δούλευαν δηλαδή με κλάσματα του τύπου (2/3) ή (3/4). Αλλά προσοχή, ας μη σκεφθεί κάποιος το πολύ αφελές, ότι το (2/5) σε αυτή την περίπτωση μπορεί απλά να το έγραφαν ως (1/5) + (1/5). Για λόγους που θα εξηγηθούν στη συνέχεια (και όποιος θέλει μπορεί να αρχίσει από τώρα να σκέπτεται το γιατί), προτιμούσαν να το γραφούν ως (1/3) + (1/15). Η πρώτη ερώτηση που ίσως προκύπτει αυθόρμητα από τα προηγούμενα είναι: Μπορούν όλα τα κλάσματα με αριθμητή μεγαλύτερο του 1 να εκφράζονται ως άθροισμα κλασμάτων που θα έχουν πάντα τη μονάδα στον αριθμητή τους και θα είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους; Η απάντηση είναι ναι, οπότε μπορούμε να προχωρήσουμε στην αναζήτηση του τρόπου μετατροπής οποιουδήποτε κλάσματος μας δώσουν, σε μια τέτοια μορφή. Αν μάλιστα μας δίνουν οποιοδήποτε κλάσμα του τύπου (μ/ν), με το μ μεγαλύτερο του 1, όχι μόνον αυτό εκφράζεται ως άθροισμα άλλων με μονάδα στον αριθμητή τους, αλλά και δεν χρειάζονται για την πλήρη προσέγγιση της τιμής τους περισσότερα (λιγότερα μπορεί) από μ το πλήθος κλάσματα!

Ενας από τους λόγους που πήραν τα πράγματα (=τα κλάσματα) αυτόν τον δρόμο ήταν πως πολύ συχνά κάποιος γραμματικός-λογιστής έπρεπε να μοιράσει σε κάποιους, για την εργασία που προσέφεραν, την ανταμοιβή τους. Είτε ήταν σπόροι δημητριακών είτε φραντζόλες ψωμί (που λέει ο λόγος).

Αν για τη δουλειά που έκαναν 7 εργάτες έπρεπε να ανταμειφθούν με 4 φραντζόλες ψωμί, πώς θα τις μοιράσει ο γραμματικός; Αν τις κόψει όλες στη μέση θα δώσει από μισή στον καθένα και θα του περισσέψει και μισή. Είναι ευσυνείδητος και θέλει να τη μοιράσει και αυτήν. Προφανώς θα κόψει αυτό το μισό σε 7 κομμάτια και θα πάρουν από ένα. Αυτό το κάθε ένα είναι το (1/7) του (1/2) και όπως το έχουμε αναλύσει πιο πριν θα είναι το (1/14) του όλου (αφού 2 Χ 7 = 14). Χωρίς να το καταλάβουμε ακολουθώντας τον αιγύπτιο γραμματικό αναλύσαμε το κλάσμα (4/7) στα κλάσματα (1/2) και (1/14)!

Πνευματική Γυμναστική

• Ενα εύκολο πρόβλημα που το αναφέρουμε διότι στο Διαδίκτυο αναφέρεται ως «πρόβλημα του Ευκλείδη» από την Παλατινή Ανθολογία του Κ. Κεφαλά: Ενας γάιδαρος και ένα μουλάρι μεταφέρουν σάκους με μήλα. Επειδή στον δρόμο ο γάιδαρος γκρίνιαζε, του λέει ο συνοδοιπόρος του: «Μην παραπονιέσαι. Αν μου δώσεις ένα σακί θα κουβαλάω τα διπλάσια από εσένα. Αν σου δώσω εγώ ένα, τότε θα κουβαλάμε τα ίδια». Πόσα κουβαλούσε ο καθένας τους;
• Και κάτι λίγο πιο δύσκολο: Ενα αεροπλάνο κινείται από το σημείο Α έως το σημείο Β με τη φορά του ανέμου και με σταθερή ταχύτητα. Επιστρέφει στο Α χωρίς να προσγειωθεί, αυτή τη φορά έχοντας κόντρα τον άνεμο. Το ταξίδι του αυτό παίρνει περισσότερο χρόνο, λιγότερο ή μήπως ίσο με τον χρόνο που θα έκανε αν δεν φυσούσε;

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Ζητούσαμε τον μικρότερο αριθμό που όταν διαιρείται διαδοχικά από το 3 οι διαιρέσεις αυτές αφήνουν κάθε φορά υπόλοιπο 2, όταν διαιρείται από το 5 αφήνουν πάντα υπόλοιπο 3 και όταν διαιρείται από το 7 υπόλοιπο 2. Ξεκινούμε από τους αριθμούς που αφήνουν υπόλοιπο 2 στη διαίρεσή τους με το 3: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26 κ.λπ. Από αυτούς εκείνοι που αφήνουν υπόλοιπο 3 στη διαίρεση με το 3 είναι οι 8, 23, 38,… Από αυτούς οι 23, 128, 233,… αφήνουν και υπόλοιπο 2 όταν διαιρούνται με το 7. Αρα ο ζητούμενος είναι και ο μικρότερος από αυτούς, δηλαδή ο 23.

2. Λέγεται ότι κάποιοι βοσκοί στην Αιθιοπία(!) για να βρουν το γινόμενο 25 Χ 31 διαιρούν τον πρώτο αριθμό συνεχώς διά 2 και πολλαπλασιάζουν τον άλλον αντίστοιχα επί 2 (αγνοώντας το υπόλοιπο 1 όταν είναι περιττός ο αριθμός). Αυτό μέχρι να φθάσουμε με τις διαιρέσεις στο 1: Ετσι παίρνουμε τα ζευγάρια (25, 31), (12, 62), (6, 124), (3, 248), (1, 496). Αγνοούμε τα ζευγάρια με άρτιο το πρώτο μέλος και αθροίζουμε τα δεύτερα μέλη όσων μένουν – στο παράδειγμά μας θα έχουμε 31 + 248 + 496 = 775. Ζητούσαμε την εξήγηση του παράξενου αυτού πολλαπλασιασμού που δίνει σωστό αποτέλεσμα. Οταν οι αριθμοί βγαίνουν όλοι ζυγοί το πράγμα είναι απλό. Πολλαπλασιάζουμε στην ουσία διαδοχικά επί (2/2) που μετά σπάει σε (1/2) και 2, και βγαίνει. Αν όμως ο ένας από τους δυο αριθμούς είναι περιττός; Ας πούμε στο γινόμενο α Χ β, ο α είναι περιττός. Τότε, κάνοντας χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας θα γραφτεί ως α = γ + 1, οπότε α Χ β = (γ + 1) Χ β = γ Χ β + β. Συνεχίζουμε διαιρώντας τον γ που είναι άρτιος και διπλασιάζοντας τον β. Στο αριθμητικό παράδειγμά μας θα είναι αντίστοιχα: 25 Χ 31 = (24 + 1) Χ 31 = 24 Χ 31 + 31= 12 Χ 62 +31 = 6 Χ 124 +31 = 3 Χ 248 + 31 = (2 + 1) Χ 248 + 31 = 2 Χ 248 + 248 +31 = 1 Χ 496 + 248 + 31 = 775.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα