Av είναι κάτι που πρέπει να μας μείνει από τα αμέσως προηγούμενα είναι το ότι οφείλουμε χάρη στην παλιά καλή μέθοδο της (μακράς) διαίρεσης με το χέρι. Διότι έτσι καταλάβαμε πως οι ρητοί αριθμοί, όσοι δηλαδή παριστάνονται ως κλάσματα, με αριθμητή και παρονομαστή ακεραίους, μετατρέπονται σίγουρα σε δεκαδικούς τέτοιας μορφής ώστε κάποια στιγμή να επικρατεί μια περιοδικότητα στα δεκαδικά τους ψηφία. Για παράδειγμα, ο (1/7) = 0,142857142857… Επίσης είδαμε πως υπάρχει τρόπος από τη δεκαδική μορφή ενός τέτοιου αριθμού που παρουσιάζει περιοδικότητα να περνάμε στην κλασματική σχεδόν με κλειστά τα μάτια. Πολλαπλασιάζοντας με μια δύναμη του 10, με τόσα μηδενικά όσα και τα ψηφία της ομάδας που επαναλαμβάνεται. Π.χ. για τον δ = 0,636363… ο πολλαπλασιασμός με το 100  δίνει: 100 Χ δ = 63,63… οπότε 100 Χ δ – δ = 63, άρα 99 Χ δ = 63 και δ = (63/99) = (7/11).

Δεκαδικά άπειρα ή πεπερασμένα

Υπάρχουν όμως και κλάσματα, άρα ρητοί αριθμοί, που δεν δίνουν δεκαδικούς με επαναλαμβανόμενο και απροσδιόριστο αριθμό δεκαδικών ψηφίων. Τέτοιοι είναι για παράδειγμα ο (1/5) = 0,2 ή ο (1/8) = 0,125. Αυτοί δηλαδή στη δεκαδική τους μορφή έχουν συγκεκριμένο και πεπερασμένο αριθμό δεκαδικών ψηφίων. Και μπορούμε να τους ξεχωρίζουμε αμέσως από ένα χαρακτηριστικό τους (που εγώ τουλάχιστον δεν το άκουσα να μου το λένε στο σχολείο): Από το αν ο παρονομαστής τους αναλύεται σε γινόμενο του 2 και του 5!  Δηλαδή αν είναι της μορφής 2^α Χ 5^β με τους α και β να παίρνουν τιμές 0, 1, 2, 3… Θα κρατήσουμε πάντως το ότι οι ρητοί αριθμοί δίνουν δεκαδικούς με περιοδικότητα στα ψηφία τους και, αντίθετα, οι δεκαδικοί αυτής της μορφής μπορούν να γράφονται ως κλάσματα δύο ακεραίων [με τη διευκρίνιση ότι για κλάσματα όπως τα (1/5) ή (1/8) που αναφέραμε πριν, όπου ο παρονομαστής τους αναλύεται σε γινόμενο του 2 και του 5, έχουν περιοδικότητα και αυτά, για την ακρίβεια την αποκαλούμε μηδενική, με το να θεωρούμε πως το μηδέν επαναλαμβάνεται π.χ. (1/8) = 0,1250000…].

Στη σειρά!

Ενα ακόμα που δεν μας είπαν στο σχολείο, αλλά αυτό με το δίκιο τους έως ένα σημείο (αν και το να πέφτει ο σπόρος νωρίς δεν κάνει και τόσο κακό), είναι η σχέση των κλασμάτων με περιοδικότητα με τις σειρές! Δηλαδή, κάθε ρητός άρα κάθε κλάσμα δύο ακεραίων που είναι και δεκαδικός με περιοδικότητα είναι μια (μεταμφιεσμένη ή αλλιώς εν δυνάμει) σειρά. Για παράδειγμα, ο δεκαδικός 0,363636… αναλύεται και ως (36/100) + (36/10.000) + (36/1.000.000)… Που σημαίνει ότι μπορούμε να τη δούμε και ως μια γεωμετρική σειρά με λόγο (1/100), δηλαδή ο ένας όρος να προκύπτει από τον προηγούμενο αν πολλαπλασιάζεται πάντα με τον ίδιο αριθμό, που εδώ είναι βέβαια το (1/100).

Αξίζει τον κόπο κάποιος να δοκιμάσει τα όσα αναφέρθηκαν πριν για το πώς προκύπτει, από περιοδικό δεκαδικό, το κλάσμα, οπότε θα βρει ότι ο 0,363636… αντιστοιχεί στο κλάσμα (36/99) που είναι ίσο και με (4/11). Και όταν εφαρμόσει τον τύπο για το άθροισμα μιας γεωμετρικής προόδου (εδώ θα είναι Σ = [(36/100)/1 – (1/100)] = (36/99) = (4/11).

Και έτσι μάλλον απροσδόκητα όλη αυτή η ενασχόληση εκτός από την εξοικείωση με τα κλάσματα κάνει να διαγράφεται στον ορίζοντα και η έννοια του ορίου! Κάτι προφανώς ευπρόσδεκτο…

Πνευματική γυμναστική

1. Μία ξύλινη πλάκα μεταφέρεται ακουμπισμένη επάνω σε τρεις ξύλινους συμπαγείς κυλίνδρους που ο καθένας έχει μήκος περιφέρειας 1 μέτρο. Σε μια πλήρη περιστροφή των τριών κυλίνδρων κατά πόσο μετακινείται οριζόντια η πλάκα;
2. Μια μητέρα είναι κατά 21 χρόνια μεγαλύτερη από την κόρη της. Σε ακριβώς 6 χρόνια από σήμερα η μητέρα θα έχει ακριβώς 5 φορές την ηλικία της κόρης της. Πού υπάρχει ο πατέρας σε αυτό το σκηνικό; 

Οι λύσεις του προηγούμενου κουίζ

1. Είχαμε κάποιον να μπαίνει σε κατάστημα λιανικής και να κλέβει από το ταμείο ένα χαρτονόμισμα των 100 ευρώ. Δεν φεύγει αλλά παίρνει ένα σερβίτσιο που κόστιζε 70 ευρώ, πληρώνει με το κλεμμένο χαρτονόμισμα, βγαίνει με το σερβίτσιο και με τα 30 ευρώ ρέστα από το εκατοστάρικο, οπότε τίθεται το ερώτημα: πόση ήταν η ζημιά του καταστηματάρχη; Μέρος Α: Από την κλοπή του χαρτονομίσματος ο ιδιοκτήτης χάνει 100 ευρώ, δηλαδή -100. Μέρος Β: Ο κλέφτης αγοράζει με 70 ευρώ κάτι από το κατάστημα που υποθέτουμε πως είχε αγοραστεί από τον ιδιοκτήτη έναντι Π ευρώ, όπου Π < 70. Δίνει το χαρτονόμισμα των 100 ευρώ και για την επιχείρηση ισχύει ότι: 100 – 30 – Π μπαίνουν στο ταμείο. Αρα η συνολική απώλεια θα είναι το άθροισμα: -100 + (100 – 30 – Π) = -(30 + Π), δηλαδή ανάλογα με το πόσο αγοράστηκε στη χονδρική το σερβίτσιο η απώλεια θα είναι κοντά στα 100 ευρώ. Βέβαια ανάμεσα στα πολλά που λέγονται (απώλειες από 130 έως και 200 ευρώ) αξίζει να αναφερθεί πως η απώλεια μπορεί να θεωρηθεί και ακριβώς 100 ευρώ, διότι η επιχείρηση είχε υπολογίσει πως το σερβίτσιο θα της αποφέρει κάποια στιγμή ακριβώς 70 ευρώ.
2. Πολύ σχετικό με τα όσα συμβαίνουν αυτόν τον καιρό με τον κορωνοϊό ήταν το πρόβλημα όπου ένα από τα τεστ για αυτόν παρουσιάζει 90% πιθανότητα να εντοπίσει τον ιό σε έναν άνθρωπο, αν αυτός έχει κολλήσει πραγματικά. Αλλά και αν κάποιος δεν έχει κολλήσει η πιθανότητα για σωστή διάγνωση είναι 93%. Ας υποθέσουμε πως από τις μελέτες βγαίνει μέχρι στιγμής ότι 0,008% είναι (περίπου) το ποσοστό του πληθυσμού που σίγουρα τη συγκεκριμένη στιγμή έχει προσβληθεί από τον ιό. Αν λοιπόν από αυτά τα τεστ του φαρμακείου τώρα κάνουμε κάποιο και βγει θετικό, ζητείται η πιθανότητα να έχουμε πραγματικά κολλήσει. Ξεκινούμε από το τέλος, δηλαδή από το ποσοστό 0,008%, που δηλώνει ότι σε κάθε 1.000 ανθρώπους οι 8 έχουν προσβληθεί σίγουρα. Από αυτούς τους 8, με βάση το ότι το τεστ έχει 90% πιθανότητα να εντοπίσει το ότι έχουν προσβληθεί, έπεται ότι θα βρει τους 7 και για 1 θα βγάλει πως δεν έχει προσβληθεί. Είναι η λεγόμενη περίπτωση «ψευδώς αρνητική»(false negative). Για τους υπόλοιπους (1.000 – 8) = 992 που είναι υγιείς, το τεστ, επειδή έχει μόνο 93% πιθανότητα για σωστό αποτέλεσμα, θα βγάλει κατά λάθος ότι έχει προσβληθεί το 7% των 992, δηλαδή 70 άτομα περίπου. Είναι το λεγόμενο «ψευδώς θετικό» (false positive). Συνολικά από το τεστ και τα άλλα δεδομένα βγαίνουν 7 + 70 = 77 άτομα να έχουν προσβληθεί. Επομένως για κάποιον που παίρνει απάντηση ότι έχει προσβληθεί η πιθανότητα αυτό να συμβαίνει στην πραγματικότητα είναι (7/77), δηλαδή κάτι λιγότερο από 10%.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα