Η απροσδόκητα σθεναρή στήριξη των αναγνωστών της σελίδας από τη γέννησή της είχε ως επιφαινόμενο και μια πολύ εντατική επικοινωνία μαζί τους. Αρχίζοντας από την Κυριακή το μεσημέρι και μέσα στην εβδομάδα, λύσεις, παρατηρήσεις, υποδείξεις για μελλοντικά θέματα βρίσκουν τον δρόμο τους προς εμάς μέσα από το ηλεκτρονικό ταχυδρομείο. Και τουλάχιστον μια απάντηση αναλογεί στον καθένα. Πρόκειται για επικοινωνία που ολοένα πυκνώνει. Γι’ αυτό, ως μικρό αντίδωρο για την αγάπη που μας δείχνετε, σήμερα την ύλη αφήνουμε να τη διαμορφώσουν ιδιοχείρως οι αναγνώστες. Σας ευχαριστούμε θερμά.

Το δημοφιλέστερο κουίζ

Πλέον δημοφιλές αποδείχθηκε έως τώρα το φερόμενο ως «πρόβλημα του Ευκλείδη» με τον παραπονούμενο για το φορτίο του όνο, όπου ο τετράποδος ημίονος συνοδοιπόρος του είπε: «Αν μου δώσεις ένα σακί, θα κουβαλάω τα διπλάσια από εσένα και αν σου δώσω εγώ ένα, τότε θα κουβαλάμε τα ίδια». Ζητήσαμε μια λύση χωρίς την προσφυγή σε εξισώσεις και πήραμε ουκ ολίγες απαντήσεις. Δίνουμε εδώ μερικές από τις πιο αντιπροσωπευτικές αυτών των προτάσεων για εξήγηση:

Ο κ. Μάνθος Βασαλάκης έγραψε το εξής: «Από την εκφώνηση και από το «σου δίνω ένα και έχουμε ίδια» προκύπτει ότι η διαφορά τους είναι 2. Από το «αν μου δώσεις ένα σακί, θα κουβαλάω διπλάσια από εσένα» προκύπτει ότι το φορτίο του ημίονου είναι αριθμός περιττός και ότι αφού έχουν διαφορά 2, έπεται και ότι το φορτίο του όνου είναι επίσης αριθμός περιττός. Το ζευγάρι (1,3) αποκλείεται γιατί μετά την αφαίρεση του 1 από το 1 τα εναπομένοντα στον έναν σακιά είναι 0. Με δοκιμή στο ζευγάρι (3,5) και αυτό αποκλείεται λόγω του διπλάσιου και επαληθεύεται η δοκιμή στο ζευγάρι (5,7)».

Στο ίδιο μήκος κύματος και ο κ. Κωνσταντίνος Παπαγεωργίου: «Το μουλάρι με την πρόσθεση ενός σακιού θα έχει διπλάσιο αριθμό σάκων από τον γάιδαρο, άρα έχει εξαρχής περιττό αριθμό σακιών. Αν δώσει ένα στον γάιδαρο, τότε θα έχουν τον ίδιο αριθμό σακιών, δηλαδή άρτιο και οι δύο. Συμπέρασμα: έχουν και οι δύο περιττό αριθμό σακιών. Από το δεύτερο επίταγμα του προβλήματος προκύπτει το συμπέρασμα ότι ο αριθμός των σακιών που κουβαλούν διαφέρει κατά 2. Με δοκιμές των ζευγαριών (3,1), (5,3) και (7,5) προκύπτει η λύση του ζεύγους (7,5)».

Ο συλλογισμός του κ. Λέανδρου Σλάβη είχε ως εξής: «Εφόσον, αν δώσει ο γάιδαρος στο μουλάρι ένα φορτίο, θα κουβαλάνε τον ίδιο αριθμό φορτίων, σημαίνει ότι το μουλάρι κουβαλάει δύο φορτία παραπάνω από τον γάιδαρο, αφού αφαιρώντας ένα από τον μεγαλύτερο αριθμό και προσθέτοντας ένα στον μικρότερο έχουμε δύο ίσους αριθμούς. Τώρα, αν ο γάιδαρος δώσει ένα φορτίο στο μουλάρι, η διαφορά των δύο φορτίων θα γίνει πρώτα τρία από το φορτίο που θα ξεφορτωθεί από τον γάιδαρο και, στη συνέχεια, τέσσερα από το φορτίο που θα φορτωθεί στο μουλάρι. Αλλά αυτή η διαφορά των τεσσάρων φορτίων είναι ο μισός αριθμός των φορτίων που κουβαλά τώρα το μουλάρι, αφού κουβαλά τα διπλάσια από τον γάιδαρο, και ίσος με τον αριθμό των φορτίων που κουβαλάει ο γάιδαρος. Αρα, αφού ο γάιδαρος κουβαλάει τέσσερα φορτία, αν του αφαιρέσουμε ένα, συνεπάγεται ότι αρχικά κουβαλούσε πέντε. Και, αφού το μουλάρι κουβαλούσε αρχικά δύο παραπάνω φορτία από τον γάιδαρο, θα κουβαλούσε εφτά».

Τελευταία θα παραθέσουμε τη λύση του ο κ. Γιώργου Ζυμβραγουδάκη, ο οποίος μας έστειλε τα εξής: «Από το δεδομένο πως με μεταφορά ενός σάκου από το μουλάρι στον γάιδαρο τα φορτία εξισώνονται, προκύπτει πως η διαφορά στα φορτία είναι 2 σάκοι υπέρ του μουλαριού. π.χ. (3, 5) ή (6, 8) ή (7, 9) κ.λπ. (συνθήκη 1).

Επίσης, από το γεγονός ότι με τη μεταφορά ενός σακιού από τον γάιδαρο στο μουλάρι το φορτίο του μουλαριού γίνεται διπλάσιο, προκύπτει ότι:

1) Το φορτίο του μουλαριού είναι μικρότερο από το διπλάσιο του γαϊδάρου (συνθήκη 2).

2) Το συνολικό φορτίο γαϊδάρου και μουλαριού (Γ+Μ) είναι πολλαπλάσιο του 3 ώστε (μετά την παραπάνω μεταφορά) να μπορεί να αναλογιστεί στο μουλάρι και στον γάιδαρο με αναλογία 2 προς 1 (συνθήκη 3).

Ετσι για τα πρώτα 5 πιθανά ζεύγη που ικανοποιούν τη συνθήκη 1 έχουμε:

Παρατηρούμε ότι και οι 3 συνθήκες ικανοποιούνται με το ζεύγος (5, 7) που αποτελεί τη – μοναδική – λύση του προβλήματος».

Αριθμομπερδέματα

Στο κουίζ για τον μικρότερο αριθμό που όταν διαιρείται διαδοχικά από το 3 οι διαιρέσεις αυτές αφήνουν κάθε φορά υπόλοιπο 2, όταν διαιρείται από το 5 αφήνουν πάντα υπόλοιπο 3 και όταν διαιρείται από το 7 αφήνουν υπόλοιπο 2, ξεκινούσαμε από τους αριθμούς που αφήνουν υπόλοιπο 2 στη διαίρεσή τους με το 3. Δηλαδή τους 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26 κ.λπ. Από αυτούς εκείνοι που αφήνουν υπόλοιπο 3 στη διαίρεση με το 5 (εδώ είχε γίνει ένα εύκολα κατανοητό τυπογραφικό λάθος: 5, όχι 3) είναι οι 8, 23, 38… Από αυτούς οι 23, 128, 233… αφήνουν και υπόλοιπο 2 όταν διαιρούνται με το 7. Αρα ο ζητούμενος και ο μικρότερος από αυτούς θα είναι ο 23.

Ο κ. Ν. Βαρουχάκης ορθά είχε παρατηρήσει ότι «η εμπειρική λύση που δίνετε στο φύλλο της 14ης Μαρτίου (με ένα τυπογραφικό λάθος στη διαίρεση με 5 και όχι 3) είναι απλή για τον μικρότερο ζητούμενο 23. Αλλά για άλλους αριθμούς με αυτή την ιδιότητα τα πράγματα δυσκολεύουν. Αποδεικνύεται ότι κάθε τέτοιος αριθμός Α δίνεται από τον τύπο: Α =23+105 Χ Κ  με Κ=0, 1, 2, 3, 4… Δηλαδή προκύπτει ότι αν στο 23 προσθέτουμε συνεχώς το 105, το Α θα είναι: 23, 128, 233, 338, 443 κ.λπ.».

Τη σχετική απόδειξη μπορεί να τη δημοσιεύσουμε αργότερα, όταν θα έχουμε προχωρήσει περισσότερο.

Μια εξήγηση για τα κουίζ

Με αφορμή εκείνο που αναφερόταν σε ένα αεροπλάνο και στο μετ’ επιστροφής ταξίδι του – πηγαίνοντας έχει τον άνεμο με το μέρος του και γυρίζοντας τον βρίσκει ακριβώς αντίθετο – ένας αναγνώστης μας έγραψε:

«1. Δεν γίνεται σαφές αν η κίνηση είναι γεωδεσική ή ευθεία.

2. Τα Α και Β είναι ακίνητα σε σχέση με τη Γη ή με τους απλανείς αστέρες;

3. Θα ληφθεί υπ’ όψιν το φαινόμενο Coriolis;

4. Γίνεται αυθαίρετα δεκτό ότι το ρεύμα του αέρα παρασύρει με την ίδια ταχύτητα και το αεροπλάνο.

5. Εντάξει, μιλάμε για μικρές ταχύτητες, αλλά πρέπει, για σχολαστική ακρίβεια, να λάβουμε υπ’ όψιν και σχετικιστικά φαινόμενα.

Η προτεινόμενη λύση θα ήταν ακριβής για βάρκα κινούμενη σε ποτάμι.

Ευχαριστώ για τον χρόνο σας.

Ενας τακτικός αναγνώστης».

Και ένας άλλος έγραψε για το ίδιο κουίζ:

«Δώσατε ένα πρόβλημα σχετικό με ταχύτητες αεροπλάνου. Αν δεν κάνω λάθος, συνήθως η ταχύτητα ενός οχήματος μετριέται αναφορικά με σταθερά σημεία και οι οδηγοί ξέρουν να την κρατούν σταθερή αυξομειώνοντας την ισχύ. Επομένως τι εννοείτε μιλώντας για σταθερή ταχύτητα, αφού αναφέρετε σημεία Α και Β; Με βάση τη λύση, θα καταλάβαινα το πρόβλημα αν αναφερόταν σε κίνηση με σταθερή ισχύ μάλλον».

Ευχαριστούμε και τους δύο αναγνώστες όχι μόνο για τον χρόνο τους και τις σε έναν βαθμό ορθές παρατηρήσεις τους, αλλά και για την αφορμή που μας δίνουν να διευκρινίσουμε πως για τα κουίζ, αν δεν δηλώνεται κάτι διαφορετικό, η προσπάθεια για τη λύση τους θα πρέπει να γίνεται χωρίς να λαμβάνουμε υπ’ όψιν μας τις ρεαλιστικές συνθήκες του χώρου όπου μπορεί αυτά να συμβαίνουν. Πρόκειται ως επί το πλείστον για καθαρά μαθηματικές επινοήσεις με σκοπό την εξάσκηση του μυαλού.

Και κάτι ακόμη, με αφορμή το παρακάτω μήνυμα:

«Νομίζω πως η απάντηση που δίνετε σήμερα στο κουίζ 1 της προηγούμενης Κυριακής (με την εταιρεία που είχαν φτιάξει δύο και ύστερα από έναν χρόνο μπήκε ένας τρίτος δίνοντας 60.000 ευρώ) είναι λανθασμένη. Εάν οι Α και Β είναι ισότιμα μέλη, θα πρέπει να μοιραστούν ισόποσα τις 60.000. Η διαφορά της επένδυσης στο αρχικό κεφάλαιο μπορεί να αντισταθμιζόταν με άλλους τρόπους, όπως τεχνογνωσία κ.λπ. και σε μελλοντικές εξαγορές μεριδίων εξαγοράζονται και αυτές. Ισως και να κάνω λάθος βέβαια, δεν είμαι ειδικός στο θέμα, αλλά αυτό μου υποδεικνύει η λογική. Ευχαριστώ πολύ».

Με πολλή ευγένεια λοιπόν ο αναγνώστης υποδεικνύει κάτι που θα μπορούσε, με τη λογική μιας εταιρείας, να ισχύει έτσι, αλλά για το χατίρι της μαθηματικής ίντριγκας δεν το λαμβάνουμε υπ’ όψιν. Οπότε θα βαδίζουμε σε τέτοιες περιπτώσεις με βάση τις προδιαγραφές του προβλήματος και όχι του συναισθήματος.

Και για να κλείσουμε μια εκκρεμότητα από το πρόσφατο παρελθόν σχετικά με το πόσα ψηφία έχει ο αριθμός 9 ^{387 420 488} όταν γίνουν όλοι οι πολλαπλασιασμοί, έχουμε ότι θα πρέπει να καταφύγουμε στον λογάριθμό του: log(9 ^{387 420 488} ) = 387 420 488 X log9 = 387 420 488 X 0, 9542425094 = 369 693 098,6. Αρα ο αριθμός των ψηφίων βγαίνει ότι πρέπει να βρίσκεται μεταξύ των αριθμών 10 ^{369 693 098} και 10 ^{369 693 099}, επομένως θα αποτελείται από 369 693 099 ψηφία. Κάτι που υπέδειξε με νεότερο μήνυμά του και ο αναγνώστης μας Ν. Κ.

Εξηγώντας τα ανεξήγητα

Ο κ. Νίκος Σάμιος, εκτός από μια διεξοδική λύση στο γνωστό «πρόβλημα του Ευκλείδη» και με αφορμή το κυρίως ζητούμενο, δηλαδή πώς να εξηγήσεις στις μικρότερες ηλικίες κάποια προβλήματα χωρίς να καταφύγεις σε εξισώσεις, μας έστειλε το παρακάτω πρόβλημα και τη δική του πρόταση για εξήγηση-λύση: «Στο Δημοτικό Σχολείο μπορεί να δοθεί το εξής πρόβλημα: «Το άθροισμα δυο αριθμών είναι 70 και η διαφορά τους είναι 10. Ποιοι είναι οι δυο αυτοί αριθμοί;

1) Ενας τρόπος, ακατανόητος για τους μικρούς μαθητές, οι οποίοι όταν δουν μια έτοιμη λύση (απλά) την επαναλαμβάνουν μηχανικά, είναι ο εξής:

α) 70-10=60 (βρίσκουμε τη διαφορά τους), αυτή είναι δύο φορές ο μικρότερος.

β) 60/2=30 (είναι ο μικρότερος)

γ) 70-30=40 (είναι ο μεγαλύτερος). Πράγματι η επαλήθευση το επιβεβαιώνει.

2) Οι μαθητές του Γυμνασίου μπορούν να λύσουν το άνω πρόβλημα κάνοντας χρήση ενός συστήματος, όπως: , που δίνει χ=40 και ψ=30.

3) Η γεωμετρική λύση που ακολουθεί μπορεί να γίνει κατανοητή και από μικρότερα σε ηλικία παιδιά: Θεωρούμε δυο ξύλινα ευθύγραμμα τμήματα με μήκη χ και ψ (αρχικά αγνώστου μήκους) τα οποία συνδέουμε με άρθρωση ώστε να γίνουν διαδοχικά και συνευθειακά. Τότε έχουμε το άθροισμά τους χ+ψ.

Αν προκαλέσουμε στροφή 180 μοιρών του μικρότερου γύρω από τη σύνδεσή τους ώστε να συμπέσουν, τότε εμφανίζεται ο μικρότερος ψ (στο κοινό μέρος) και η διαφορά τους χ-ψ είναι το μήκος που περισσεύει, άρα το διπλάσιο του μικρότερου με τα δεδομένα του προβλήματος είναι 70-10=60, δηλαδή ο μικρότερος είναι 60-30=30 και ο μεγαλύτερος 40».

Για όσα ονόματα αναφέρονται ολογράφως αυτό έχει γίνει με την άδεια των αναγνωστών.

Πνευματική γυμναστική

1. Αφού ασχοληθήκαμε στα προηγούμενα αρκετά με τα κλάσματα, ας δούμε κάτι σχετικό με αυτά: Εχουμε την (1/Χ) + (1/Υ) = (1/3). Ποιες τιμές μπορούν να έχουν τα Χ και Υ για να ισχύει;
2. Σε δέκα εντελώς όμοια μπουκάλια ένας φαρμακοποιός έχει φυλάξει από 100 χάπια στο κάθε ένα από αυτά. Από τα δέκα μπουκάλια, στα εννέα, τα 100 χάπια που είναι μέσα στο κάθε ένα είναι εντελώς όμοια και ζυγίζουν όλα μαζί 1 γραμμάριο. Στο δέκατο όμως τα 100 χάπια αν και έχουν φτιαχτεί έτσι ώστε να είναι εξωτερικά εντελώς όμοια με τα άλλα, αυτά ζυγίζουν συνολικά 1,1 γραμμάριο. Ο φαρμακοποιός διαθέτει μόνο μία ζυγαριά, από εκείνες τις γνωστές με τους δύο δίσκους που κρέμονται ένας στην κάθε άκρη του βραχίονα. Μπορεί με μία μόνο ζύγιση να βρει το μπουκάλι με το 1,1 γραμμάριο; Δεχόμαστε πως έχει τη δυνατότητα σε αυτή τη ζυγαριά να βάλει στους δίσκους αν θέλει και όπου θέλει είτε τα μπουκάλια ολόκληρα είτε να ζυγίσει με όση ακρίβεια επιθυμεί χρησιμοποιώντας σταθμά ακόμη και για εκατοστά του γραμμαρίου, ενώ μπορεί να βγάλει και χάπια από τα μπουκάλια.

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Είχαμε μία ξύλινη πλάκα που μεταφέρεται ακουμπισμένη επάνω σε τρεις ξύλινους συμπαγείς κυλίνδρους, με τον καθένα να έχει μήκος περιφέρειας 1 μέτρου. Και ζητήσαμε να υπολογιστεί κατά πόσο μετακινείται οριζόντια η πλάκα σε μια πλήρη περιστροφή των τριών κυλίνδρων. Αν σκεφθούμε πως λόγω της άμεσης επαφής άρα και της αντίστοιχης τριβής με τους κυλίνδρους η σανίδα μετακινείται ως προς τους κυλίνδρους μετά από μια πλήρη περιστροφή τους κατά 1 μέτρο ενώ και οι κύλινδροι επάνω στο έδαφος μετακινούνται κατά 1 μέτρο σε μια πλήρη περιστροφή, συνολικά η σανίδα μετακινείται κατά 2 μέτρα.
2. Ελπίζουμε να δουν τουλάχιστον με κατανόηση και με αίσθηση χιούμορ την απάντηση που δίνουμε όσοι καταπιάστηκαν με αυτό το εκτός αυστηρά μαθηματικών παραδοχών κουίζ. Για μια μητέρα που είναι κατά 21 χρόνια μεγαλύτερη από την κόρη της και σε ακριβώς 6 χρόνια από σήμερα θα έχει ακριβώς 5 φορές την ηλικία της. Ζητούσαμε το πού υπάρχει ο πατέρας σε αυτό το σκηνικό. Και αρχίζουμε συμβολίζοντας με Κ έτη την ηλικία της κόρης και Μ έτη την ηλικία της μητέρας. Θα ισχύει ότι:
   Μ-έτη = Κ-έτη+ 21-έτη (1).
   Από τα υπόλοιπα δεδομένα θα έχουμε ότι για μετά από έξι χρόνια:
   Μ-έτη + 6-έτη = 5(Κ-έτη + 6-έτη) (2).
   Από τις (1) και (2) λύνοντας το απλό αυτό σύστημα προκύπτει για την ηλικία της κόρης ότι Κ-έτη = -(3/4) έτη. Εδώ τώρα ερμηνεύουμε το – ως χρόνο πριν να έλθει στον κόσμο η μικρή και επειδή τα (3/4) του έτους αντιστοιχούν σε 9 μήνες βλέπουμε εκεί ακριβώς να υπάρχει και ένας (με οποιονδήποτε αποδεκτό τρόπο) πατέρας!

Έντυπη έκδοση Το Βήμα