Από την περασμένη φορά είχαμε κάνει λόγο για το πολυσυζητημένο πρόβλημα όπου σε ένα δοχείο έχουμε κόκκινο κρασί και σε ένα δεύτερο νερό. Ή και το αντίστροφο, δεν έχει σημασία. Γεμίζουμε ένα άδειο ποτήρι με κρασί από το πρώτο δοχείο και το ρίχνουμε στο δεύτερο με το νερό. Ανακατεύουμε καλά και παίρνουμε τώρα ένα ίδιο ποτήρι γεμάτο από το δεύτερο δοχείο όπου έχουν αναμειχθεί κρασί με νερό και το ρίχνουμε στο πρώτο. Υπάρχει τώρα περισσότερο νερό στο πρώτο δοχείο από ό,τι κρασί στο δεύτερο; Ή μήπως δεν μπορούμε να ξέρουμε; (Δεν χρειάζεται για την απάντηση να γνωρίζουμε ειδικά βάρη, πυκνότητες κ.λπ.)

Λογική σκέψη

Ενας τρόπος αντιμετώπισης του προβλήματος είναι χωρίς να χρησιμοποιήσουμε καν μαθηματικά. Στην αφετηρία κάθε συλλογισμού θα πρέπει να είναι πως η ποσότητα των υγρών παραμένει σταθερή. Στη συνέχεια αρκεί να παρακολουθήσουμε το ποτήρι κατά την επιστροφή του από το δεύτερο δοχείο. Εχει μέσα νερό και κρασί. Ας φανταστούμε πως τα δυο υγρά είναι εντελώς διαχωρισμένα μεταξύ τους. Πηγαίνοντας από το πρώτο δοχείο στο δεύτερο ήταν γεμάτο με κρασί. Στην επιστροφή του τώρα το νερό που έχει μέσα είναι ακριβώς όσο κρασί έμεινε στο δεύτερο δοχείο. Αρα όταν αδειάσουμε το ποτήρι στο πρώτο δοχείο θα υπάρχει τόσο νερό στο πρώτο δοχείο όσο κρασί στο δεύτερο δοχείο.

Από εκεί και πέρα μπορεί το πρόβλημα να γίνει όσο γενικό το θέλουμε. Δεν έχει δηλαδή σημασία αν τα δύο δοχεία έχουν την ίδια χωρητικότητα ή πόσο χωράει το ποτήρι, αρκεί να είναι μικρότερη από αυτή του μικρότερου δοχείου. Μπορείς μάλιστα να δώσεις διάφορα στοιχεία, που όμως θα δρουν παραπλανητικά. Είναι πάντως μια περίπτωση όπου η εντελώς απλή λογική όχι μόνο δίνει τη σωστή απάντηση, αλλά πηγαίνοντας με τα μαθηματικά μπορεί η λύση να είναι λίγο πιο περίπλοκη. Οποιος δεν το πιστεύει ας το επιχειρήσει πριν διαβάσει παρακάτω.

Λύση

Ας πούμε λοιπόν πως έχουμε όγκο κρασιού και όγκο νερού αντίστοιχα σε δύο δοχεία ίσο με V. Γεμίζουμε ένα ποτήρι που έχει όγκο V1 (V1 < V) από το δοχείο του κρασιού. Μεταγγίζουμε το κρασί αυτό στο δοχείο του νερού. Αρα στο ένα έχουμε κρασί (V – V1) και στο άλλο (V νερό + V1 κρασί). Ανακατεύουμε (όχι πως αυτό έχει καμιά ιδιαίτερη επίδραση, απλά για τη… σκηνοθεσία) και επιστρέφουμε στο δοχείο του κρασιού ένα ποτήρι επίσης γεμάτο, άρα ποσότητα V1 από ένα υγρό που περιέχει κρασί και νερό.

Ας υποθέσουμε ότι μέσα σε αυτό το ποτήρι της επιστροφής το κρασί είχε όγκο V2, οπότε το νερό στο ίδιο ποτήρι ήταν (V1 – V2). Αν κάνουμε τώρα τον λογαριασμό για το τι έχουμε πλέον στο κάθε δοχείο, θα βρούμε ότι στο δοχείο του κρασιού έχουμε (V – V1 + V2) κρασί και  (V1 – V2) νερό. Το δοχείο του νερού αντίστοιχα περιέχει V – (V1 – V2) νερό και (V1 – V2) κρασί.

Αν τώρα θελήσουμε να το προχωρήσουμε αυτό για να βρούμε την αναλογία κρασιού και νερού ως προς την αρχική κατάσταση στο κάθε δοχείο, προκύπτουν από τα παραπάνω αβίαστα ένα κλάσμα, όπου θα έχουμε στο δοχείο του κρασιού [V – (V1 – V2)] / V για το κρασί και στο δοχείο του νερού [V – (V1 – V2)] / V για το νερό. Αρα οι αναλογίες μετά την ανάμειξη βγαίνουν ίδιες.

Μια ακόμη προσέγγιση

Αν θέλουμε να το εξαντλήσουμε το θέμα, μπορούμε να παρατηρήσουμε και κάτι ακόμη. Παίρνουμε ένα δοχείο Α με 1 λίτρο κρασί και ένα δοχείο Β με 1 λίτρο νερό. Μεταφέρουμε (1/2) του λίτρου κρασί στο δοχείο Β του νερού. Εχουμε λοιπόν στο Α (1/2) λίτρο κρασί και στο Β 1/2 κρασί και (2/2) νερό. Στη συνέχεια παίρνουμε πίσω (1/2) του λίτρου από το υγρό του δοχείου Β. Εδώ θέλει προσοχή: Το να πάρουμε μετά την ανάμειξη αυτή την ποσότητα πίσω (1/2 του λίτρου) ισοδυναμεί με το να αφαιρέσουμε το (1/3) του υγρού που υπήρχε στο Β [διότι είχαμε στην ουσία τρεις φορές από μισό λίτρο: (1/2 κρασί + 2/2 νερό)]. Οπότε στην επιστροφή το δοχείο με το κρασί έχει τώρα [(1/2) κρασί (από πριν) + (1/3)(1/2) κρασί + (1/3)(2/2) νερό] και όλο αυτό δίνει [(2/3) κρασί και (1/3) νερό]. Στο άλλο δοχείο θα έχουμε ότι έμειναν τα (2/3) [(1/2) κρασί και (2/2) νερό (που ήταν από την αρχή)] και αυτό δίνει [(1/3) κρασί και (2/3) νερό]. Αλλη μια απόδειξη πως οι αναλογίες στις μεταγγιζόμενες ποσότητες μένουν ίδιες.

Γενίκευση

Και πηγαίνοντας στη γενίκευση πλέον, έχουμε πως αν αφαιρέσουμε από το ένα δοχείο ποσότητα (1/Ν), την πάμε στο άλλο και την επιστρέψουμε, η αναλογία θα είναι: 1/(Ν + 1) προς Ν/(Ν + 1). Οποιος ακόμη δεν πιστεύει, ας σκεφθεί πως ο τύπος αυτός λέει και ότι αν πάρεις ένα μπουκάλι κόκκινο κρασί και το αναμείξεις με ένα μπουκάλι λευκό και ό,τι προκύψει το βάλεις πίσω στα μπουκάλια, θα έχεις μισό από το ένα και μισό από το άλλο. Οπότε ακόμη και ο άγιος της σημερινής ημέρας θα πειθόταν…

Πνευματική Γυμναστική

1. Καθώς τελειώνει και αυτή η ποδοσφαιρική χρονιά, ας δούμε και κάτι από εκεί. Υποθέτουμε πως έχουμε 17 ομάδες που παίρνουν μέρος σε ένα πρωτάθλημα, όπου όμως η κάθε ομάδα παίζει με τις υπόλοιπες μόνο μία φορά (αυτό γίνεται, για παράδειγμα, σήμερα και στους αγώνες play out του ελληνικού πρωταθλήματος με οκτώ ομάδες). Οταν θα έχουν διεξαχθεί όλοι οι αγώνες, να δειχθεί ότι τουλάχιστον δύο ομάδες θα έχουν επιτύχει τον ίδιο αριθμό ισοπαλιών.

2. Εχουμε 100 λάμπες αριθμημένες από το 1 έως το 100 συνδεδεμένες η καθεμία με έναν δικό της διακόπτη του τύπου on-off. Στην αρχή είναι όλες σβηστές. Αρχίζουμε και ανεβάζουμε όλους όσους διακόπτες η αρίθμηση της αντίστοιχης λάμπας είναι πολλαπλάσιο του 1. Στη συνέχεια κατεβάζουμε όσους διακόπτες η αρίθμηση της λάμπας είναι πολλαπλάσιο του 2. Μετά ανεβάζουμε όσους η αρίθμηση της λάμπας τους είναι πολλαπλάσιο του 3, μετά κατεβάζουμε για τα πολλαπλάσια του 4, και έτσι προχωρούμε για όλους τους ακέραιους  αριθμούς μέχρι το 100. Συνεχίζουμε έτσι να ανεβάζουμε και να κατεβάζουμε φτάνοντας έως το 100 εκείνων των διακοπτών που η αρίθμηση της λάμπας είναι πολλαπλάσιο του εκάστοτε αριθμού. Στο 100 ποιες λάμπες θα ανάβουν; Ακολουθούν κάποιον κανόνα;

Η λύση των προηγούμενων κουίζ

1. Το πρόβλημά μας την περασμένη εβδομάδα ήταν ότι σε ένα χωριό στον Καναδά το 80% των κατοίκων μιλούν γαλλικά και το 60% μιλούν αγγλικά. Θέλουμε να βρούμε ποιο είναι το ποσοστό των κατοίκων που μιλούν και τις δυο γλώσσες. Πρόκειται για μια δομή προβλήματος που τη συναντάμε σε πολλές παραλλαγές και ο τρόπος σκέψης είναι ο ίδιος. Υποθέτουμε πως είναι Χ αυτό το ποσοστό των ανθρώπων που μιλούν και τις δυο γλώσσες. Θα υπάρχουν λοιπόν και κάποιοι που μιλούν μόνο γαλλικά και αυτοί θα είναι 80 – Χ. Και κάποιοι θα μιλούν μόνο αγγλικά. Αυτοί θα είναι 60 – Χ. Αρα όλοι μαζί οι κάτοικοι του χωριού σε ποσοστά θα είναι: Χ + (80 – Χ) + (60 – Χ) = 100 και από αυτό βγαίνει ότι είναι Χ = 40%.

2. Σε ένα ρολόι με καμπάνα για τις ώρες χρειάζονται πέντε δευτερόλεπτα ώστε να σημάνει την ώρα 6. Ζητούσαμε να υπολογιστεί πόσος χρόνος χρειάζεται για την ώρα 12. Αφού είναι 5 τα δευτερόλεπτα για να ακουστούν τα έξι διαδοχικά χτυπήματα, αυτό σημαίνει πως ανάμεσα σε κάθε χτύπημα μεσολαβεί χρόνος ενός δευτερολέπτου. Και για την ώρα 6 υπάρχουν 5 τέτοια, άρα για την ώρα 12 θα υπάρχουν 11 (μεσο)διαστήματα του ενός δευτερολέπτου και άρα ο χρόνος θα είναι 11 δευτερόλεπτα.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα