Ο Θίοντορ Μέι μπήκε το 2005 στο νοσοκομείο για πέντε ημέρες εξαιτίας ενός πυρετού που του παρουσιάστηκε. Οι γιατροί δεν ήταν σίγουροι για την αιτία αυτού του πυρετού και τον τοποθέτησαν σε ένα δωμάτιο μόνο του. Στο δωμάτιο υπήρχε μόνο μία τηλεοπτική συσκευή που έκανε έναν φοβερά ενοχλητικό θόρυβο όταν της ζητούσες να δουλέψει και απέναντι ακριβώς από το κρεβάτι, στον τοίχο, υπήρχε μόνο ένα μεγάλο ρολόι με δείκτες.

Ετσι ο Θίοντορ Μέι άρχισε να παρακολουθεί στο μεγαλύτερο διάστημα της ημέρας την κίνηση των δεικτών και τα… παιχνίδια που έκαναν μεταξύ τους. Πότε ο ένας πολύ «στοργικά» σκέπαζε εντελώς τον άλλον, όταν απομακρυνόταν όσο γίνεται πιο πολύ, λες και είχαν μαλώσει, σχημάτιζαν γωνία 180 μοιρών και πότε έρχονταν εντελώς κάθετα ο ένας με τον άλλον. Οι πέντε αυτές ημέρες στάθηκαν πολύ γόνιμες και για τον Μέι και για το θέμα των δεικτών του ρολογιού, που έχει απασχολήσει και άλλους ανθρώπους με ενδιαφέρον για τα Μαθηματικά.

Εμείς εδώ θα ξεκινήσουμε με τους πιο απλούς μαθηματικούς συλλογισμούς που γίνεται και μετά θα επιδοθούμε σε διάφορες ακροβασίες με τους δείκτες του ρολογιού, θυμίζοντας λίγο και τον Χάρολντ Λόιντ στη γνωστή ταινία από το 1923, που κρέμεται στο κενό κρατώντας σφιχτά τους δείκτες ενός ρολογιού.

Πότε συμπίπτουν;

Δύο είναι τα βασικά βήματα που πρέπει να γίνουν ώστε να εξοικειωθούμε με τη σχετική κίνηση των δύο δεικτών. Αυτός που δείχνει τα λεπτά κινείται με μια (γωνιακή) ταχύτητα που μπορεί να εκφραστεί ως Λ = 360 μοίρες/ώρα. Επειδή στην πλάκα του ρολογιού έχουμε τα σημάδια από 12 ώρες χαραγμένα σε αυτήν, οπότε είναι σαν να έχουμε διαιρέσει τον κύκλο σε τόξα των 360/12 = 30 μοιρών, ο ωροδείκτης μέσα σε μία ώρα θα διανύει τόξα με άνοιγμα 30 μοιρών ή αλλιώς Ω = 30 μοίρες/ώρα.

Οι αναφορές μας ως προς τον χρόνο θα γίνονται με βάση τη γωνιακή απόσταση από το σημάδι για την ώρα 12. Αν λοιπόν από τις 12 έχουν περάσει Τ ώρες θα ισχύει για την θέση των δεικτών επάνω στην πλάκα: Ω = 30 Χ Τ και Λ = 360 Χ Τ. Η γωνία μεταξύ των δύο δεικτών θα είναι: Λ – Ω = 360Τ – 30Τ άρα Λ – Ω = 330Τ.

Πρώτη αναζήτηση δική μας θα είναι τώρα το ποια ακριβώς στιγμή μετά τις 12 οι δύο δείκτες θα συμπέσουν ακριβώς. Γενικά, θα είναι Λ – Ω = 0. Κάτι που θα συμβαίνει είτε γιατί συναντήθηκαν οι δείκτες για πρώτη φορά είτε γιατί προηγήθηκαν μία ή και περισσότερες ολόκληρες περιστροφές του λεπτοδείκτη. Αυτό το συμβολίζουμε ως εξής: 330Τ = 360Κ, με το Κ να παίρνει τιμές: 0, 1, 2, 3, …, 10. Και αυτό δίνει το πολύτιμο για τη συνέχεια αποτέλεσμα Τ = (12/11)Κ.

Ηδη οι αναγνώστες μπορούν με πολύ λίγη προσπάθεια να βρουν ποια ακριβώς χρονική στιγμή οι δύο δείκτες ξεκινώντας από τις 12 θα συμπέσουν ακριβώς για πρώτη φορά, καλύπτοντας ο ένας τον άλλον. Κάτι που αναφέρεται στα αγγλικά ως swap time διότι σχηματικά μπορείς να τους αλλάξεις θέση χωρίς να πάψουν να δείχνουν την ίδια ώρα.

Πνευματική Γυμναστική

1 .Μία κότα και μισή μπορεί να γεννάει ένα αβγό και μισό μέσα σε μιάμιση ημέρα. Πόσο χρόνο χρειάζονται δύο κότες για να έχουν γεννήσει τριάντα δύο αβγά;

2. Εχουμε ένα τετράγωνο ΑΒΓΔ και διαλέγουμε στην τύχη σημείο Σ στο εσωτερικό του. Πόση είναι η πιθανότητα η γωνία ΑΣΔ να είναι οξεία (δηλαδή με άνοιγμα μικρότερο των 90 μοιρών);

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Υποθέσαμε πως έχουμε 17 ομάδες που παίρνουν μέρος σε ένα πρωτάθλημα αλλά η κάθε ομάδα παίζει με τις υπόλοιπες μόνο μία φορά. Οταν θα έχουν διεξαχθεί όλοι οι αγώνες έπρεπε να δειχθεί ότι τουλάχιστον δύο ομάδες θα έχουν επιτύχει τον ίδιο αριθμό ισοπαλιών. Υπάρχει η μέθοδος της εις άτοπον απαγωγής που βοηθάει σε τέτοιες περιπτώσεις. Υποθέτουμε δηλαδή εδώ ότι δεν μπορεί σε καμία περίπτωση να υπάρχουν δύο ομάδες με τον ίδιο αριθμό ισοπαλιών. Αρα αναγκαστικά και επειδή παίζουν μία μόνο φορά, στην καθεμία από τις 17 ομάδες θα αντιστοιχεί ένας από τους δεκαεπτά επόμενους αριθμούς: 0, 1, 2, 3, …, 15, 16, που θα δείχνει το πόσες ισοπαλίες έφερε παίζοντας με τις άλλες. Ας υποθέσουμε λοιπόν πως μια από αυτές τις ομάδες, η ομάδα Α, ήλθε ισοπαλία και στους 16 αγώνες που έδωσε ενώ μία άλλη, η Β, ήταν αυτή που τις αντιστοιχεί ο αριθμός 0, δηλαδή δεν έκανε καμία ισοπαλία. Αυτό όμως είναι άτοπο αφού στη συνάντηση μεταξύ Α και Β είχαμε ισοπαλία, μία από τις 16 που έκανε η Α, άρα θα έπρεπε να χρεώνεται μία ισοπαλία και στους δύο, οπότε και στη Β. Που όμως υποθέσαμε πως είχε μηδέν ισοπαλίες. Η υπόθεσή μας ήταν άτοπη και άρα θα ισχύει το αντίθετο.

2. Στο δεύτερο αυτό κουίζ είχαμε 100 λάμπες αριθμημένες από το 1 έως το 100, συνδεδεμένες η καθεμία με έναν δικό της διακόπτη του τύπου on-off. Στην αρχή είναι όλες σβηστές. Αρχίζουμε και ανεβάζουμε όσους διακόπτες η αρίθμηση της αντίστοιχης λάμπας είναι πολλαπλάσιο του 1. Στη συνέχεια κατεβάζουμε όσους διακόπτες η αρίθμηση της λάμπας είναι πολλαπλάσιο του 2. Μετά ανεβάζουμε όσους η αρίθμηση της λάμπας τους είναι πολλαπλάσιο του 3, μετά του 4, του 5 κ.λπ. Συνεχίζουμε έτσι να ανεβάζουμε και να κατεβάζουμε φθάνοντας έως το 100, εκείνων των διακοπτών που η αρίθμηση της λάμπας είναι πολλαπλάσιο του εκάστοτε αριθμού. Ρωτούσαμε λοιπόν, στο 100 ποιες λάμπες θα ανάβουν και αν ακολουθείται κάποιος κανόνας. Μια πρώτη πρόταση προς τους αναγνώστες είναι να δοκιμάσουν το τι γίνεται για δέκα λάμπες. Γιατί εκεί θα διαπιστώσουν πως από τις 10 λάμπες μένουν αναμμένες οι υπ’ αριθμόν 1, 4 και 9. Που αυτό υποδεικνύει πως ανάβουν στο τέλος όσες ο αριθμός τους είναι τέλειο τετράγωνο. Αρα μέχρι το 100 θα είναι αναμμένες οι 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 και 100. Και αυτό συμβαίνει διότι οι αριθμοί που είναι τέλεια τετράγωνα αναλύονται σε περιττό αριθμό παραγόντων και είναι αυτό που θα αφήσει τελικά τις λάμπες αναμμένες.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα