Από τα όσα έχουν αναφερθεί στα προηγούμενα γνωρίζουμε πλέον, και μάλιστα με δύο τρόπους, πώς να βρίσκουμε όλες τις περιπτώσεις που οι δείκτες του ρολογιού συμπίπτουν αλλά κυρίως έχουμε στις αποσκευές μας και τα εξής βασικά:

i) O λεπτοδείκτης «τρέχει» 12 φορές πιο γρήγορα από τον ωροδείκτη.

ii) Η γωνία που διατρέχει από τη μια ώρα στην άλλη ένας δείκτης είναι (360/12) = 30 μοίρες και από το ένα λεπτό στο επόμενο (360/60) = 6 μοίρες.

Σήμερα, με τη βοήθεια των προηγουμένων θα αναζητήσουμε έναν τρόπο να βρίσκουμε εύκολα τη γωνία που σχηματίζουν οι δύο δείκτες όταν μας πουν τι ώρα είναι. Για παράδειγμα, ζητείται η γωνία που σχηματίζουν οι δείκτες μεταξύ τους όταν η ώρα είναι 12:40. Δεχόμαστε ως προφανές πως όποιο είναι το κλάσμα ή το ποσοστό από μια ολόκληρη ώρα που δείχνει εκείνη τη στιγμή ο λεπτοδείκτης τόσο είναι το ποσοστό της ώρας που δείχνει και ο ωροδείκτης στο διάστημα μεταξύ δύο ωρών. Δηλαδή τα 40 λεπτά αντιστοιχούν στα 2/3 μιας ολόκληρης ώρας και σε μοίρες (2/3)360 = 240 μοίρες. Αρα και η θέση του ωροδείκτη στο διάστημα μεταξύ 12 και 1 στην πλάκα του ρολογιού βρίσκεται στα 2/3 αυτού του διαστήματος. Επομένως, με βάση το ii) παραπάνω, η γωνία από τις 12 έως τη θέση του ωροδείκτη είναι (2/3)30 μοίρες = 20 μοίρες. Και η θέση του λεπτοδείκτη μέχρι το 12 σχηματίζει γωνία 360 – 240 = 120 μοίρες. Συνολικά λοιπόν η μεταξύ τους γωνία θα είναι 120 + 20 = 140 μοίρες.

Στην ερώτηση πόσο θα αλλάξει η μεταξύ τους γωνία στις 12:41, δηλαδή μέσα σε ένα λεπτό, η απάντηση προκύπτει σχεδόν άμεσα με τη βοήθεια των i) και ii): Ο λεπτοδείκτης μέσα σε ένα λεπτό θα διαγράψει γωνία 6 μοιρών και ο ωροδείκτης που «πηγαίνει» κατά 1/12 πιο αργά θα έχει διαγράψει μέσα σε αυτό το λεπτό (1/12)6 = 0,5 μοίρα. Αρα η μεταξύ τους γωνία θα έχει μικρύνει κατά 6 – 0,5 = 5,5 μοίρες και θα είναι πλέον 140 – 5,5 = 134,5 μοίρες.

Το θεώρημα του Μέι

Και τελικά μπορούμε να κρατήσουμε ως θεώρημα το εξής: Η μεταβολή της ώρας κατά ένα λεπτό μεταβάλλει τη γωνία μεταξύ των δύο δεικτών κατά 5,5 μοίρες.

Και αυτό δεν ήταν το μόνο θεώρημα που κατάφερε να διατυπώσει ο Μέι, ο οποίος υπήρξε επίσης και καλός μουσικός (συνέθετε, έπαιζε εκκλησιαστικό όργανο και πιάνο). Από τη στιγμή που ο άγγλος αυτός μαθηματικός κατάφερε να βγει από το νοσοκομείο έχοντας εκεί ασχοληθεί αναγκαστικά τόσο πολύ με τους δείκτες του ρολογιού απέναντι από το κρεβάτι του, έκανε με τους συνεργάτες του πολύ συστηματική δουλειά στο θέμα των ρολογιών. Για την ακρίβεια, ετοίμασε όσο νοσηλευόταν τους υπολογισμούς στο μυαλό του και μόνον, γιατί δεν ήταν πια σε θέση ούτε το μολύβι να κρατήσει για να γράψει καθώς υπέφερε από πολλαπλή σκλήρυνση. Μπήκε όπως είπαμε στο νοσοκομείο το 2005 λόγω του πυρετού που του παρουσιάστηκε, επιβίωσε και βγαίνοντας, αν και εισήχθη πλέον σε ειδική μονάδα για άτομα με την πάθηση αυτήν, κατάφερε να μας αφήσει ένα ολόκληρο σώμα θεωρημάτων και μεθόδων γύρω από τα «παιχνίδια» των δεικτών.

Δυστυχώς όμως τον Ιανουάριο του 2010, φθάνοντας στην ηλικία των 66 χρόνων, ο οργανισμός του δεν άντεξε άλλο. Βρήκε όμως και πάλι τη δύναμη εκτός από τις μαθηματικές του αναζητήσεις, το 2009, έξι μήνες πριν το τέλος, να εκδώσει και ένα χιουμοριστικό(!) βιβλίο με τον τίτλο «Amusings»…

Πνευματική Γυμναστική

1 Τρία μυρμήγκια τώρα με τις ζέστες έχουν βγει και έχουν σταθεί το καθένα σε μια από τις τρεις κορυφές ενός τυχόντος τριγώνου και περιμένουν! Μόλις δίδεται το σύνθημα αρχίζουν να τρέχουν (είναι τόσο όμοια που τρέχουν πάντα με την ίδια ταχύτητα) επάνω στις πλευρές του τριγώνου σε όποια διεύθυνση θέλουν εκείνα. Ποια είναι η πιθανότητα δύο από αυτά να τρακάρουν;

2 Εκατό σαμουράι είναι παρατεταγμένοι σε κύκλο και στην πλάτη τους έχουν από έναν αριθμό σε αύξουσα σειρά, από το 1 έως το 100, πηγαίνοντας αντίθετα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Ο Νο 1 έχει ένα κοφτερό σπαθί. Με αυτό σκοτώνει τον διπλανό του, τον Νο 2 και παραδίδει το σπαθί στον μεθεπόμενο, στον Νο 3. Αυτός κάνει το ίδιο με τον διπλανό του και δίνει το σπαθί στον Νο 4. Συνεχίζοντας αυτό το φονικό… παιχνίδι, μένει στο τέλος ένας ζωντανός. Ποιον αριθμό έχει στην πλάτη του;

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Κάποιος είχε αγοράσει ψωμί και αυτό είναι ήδη κομμένο σε φέτες. Ομως το τηγάνι που διαθέτει χωράει κάθε φορά μόνον δύο από τις φέτες του ψωμιού αυτού. Για να ψήσει τρεις φέτες, την καθεμία και από τις δύο πλευρές, αφού το τηγάνισμα της κάθε πλευράς παίρνει 20 δευτερόλεπτα χρειάζεται 80 δευτερόλεπτα για να τις ψήσει όλες. Ή μήπως αυτό μπορεί να γίνει και σε λιγότερο χρόνο; Εστω πως οι φέτες είναι η Α, η Β και η Γ. Τηγανίζουμε ταυτόχρονα την Α και τη Β από τη μια πλευρά. Εχουν περάσει 20 δευτερόλεπτα. Βγάζουμε τη Β, ψημένη πλέον από τη μια πλευρά και βάζουμε τη Γ ενώ γυρίζουμε ταυτόχρονα και την Α από την άλλη πλευρά. Μετά από 20 ακόμη δευτερόλεπτα βγάζουμε την Α που είναι έτοιμη, γυρίζουμε τη Γ από την άλλη πλευρά και βάζουμε και τη μισοψημένη Β για να ψηθεί και η άψητή πλευρά της. Περνούν ακόμη 20 δευτερόλεπτα και όλες είναι έτοιμες σε μόλις 60 δευτερόλεπτα.

2. Είχαμε έναν σάκο με μια γυάλινη σφαίρα μέσα που μπορεί να είναι μαύρη, μπορεί και άσπρη, δεν το ξέρουμε. Τοποθετήσαμε στον σάκο και μια μαύρη. Αν βγάζοντας στη συνέχεια μια σφαίρα από τον σάκο και αυτή είναι μαύρη, ζητείται η πιθανότητα η σφαίρα που έμεινε στον σάκο να είναι μαύρη. Η λύση λοιπόν μπορεί να διατυπωθεί και χωρίς κάποια ιδιαίτερη εξοικείωση με τη θεωρία των πιθανοτήτων. Αρκεί να ενεργήσουμε ως καλοί λογιστές. Καθορίζουμε ότι η μαύρη σφαίρα που βάλαμε είναι η Μαύρη Σφαίρα2 και τη σφαίρα που βρισκόταν αρχικά στον σάκο, αν ήταν μαύρη τη «βαφτίζουμε» Μαύρη Σφαίρα1. Οπότε ένα από τα τρία μπορεί να συμβαίνει:

i) Η σφαίρα που βγάλαμε ήταν η Μαύρη Σφαίρα1. Αρα στον σάκο μένει σίγουρα μια ακόμη μαύρη, η Μαύρη Σφαίρα2.

ii) Η σφαίρα που βγάλαμε είναι η Μαύρη Σφαίρα2 και στον σάκο αυτή που μένει είναι η Μαύρη Σφαίρα1.

iii) Αυτή που βγάλαμε είναι η Μαύρη Σφαίρα2 και μένει στον σάκο μια ακόμη αλλά είναι λευκή.

Αρα από τις 3 περιπτώσεις μόνον η μία δίνει λευκή σφαίρα στον σάκο και για τη μαύρη σφαίρα η πιθανότητα είναι (2/3). Το πρόβλημα αυτό παρουσιάστηκε από τον Λιούις Κάρολ ή Τσαρλς Ντότζσον (τον συγγραφέα της «Αλίκης στη Χώρα των Θαυμάτων»)στα τέλη του 19ου αιώνα.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα