Κλείνουμε την ενότητα των ρολογιών παρουσιάζοντας μια περίεργη αλλά πολύ ενδιαφέρουσα περίπτωση. Πρόκειται για το πρόβλημα με τους δύο δείκτες, των ωρών και των λεπτών, να είναι εντελώς ίδιοι σε μήκος και εμφάνιση. Τότε, προβληματιζόμαστε αναγκαστικά για το πόσες φορές μέσα σε 12 ώρες είναι εντελώς αδύνατο να ξεχωρίσεις ποιος δείκτης δείχνει τις ώρες και ποιος τα λεπτά, οπότε πώς θα διαβάσεις την ώρα;

Παράδειγμα: Είναι 2.36 ή 7.13; Οταν λοιπόν συμβαίνει αυτό, πρέπει να παρατηρήσουμε ότι ο δείκτης των ωρών επάνω στην πλάκα θα βρίσκεται ανάμεσα σε ένα ζευγάρι αριθμών και ο δείκτης των λεπτών επίσης ανάμεσα σε ένα άλλο, διαφορετικό ζευγάρι. Οι στιγμές που ψάχνουμε έχουν το εξής χαρακτηριστικό: το κλάσμα του διαστήματος μεταξύ των δύο αριθμών, όπου μέσα σε αυτό έχει προχωρήσει ο δείκτης των ωρών, πρέπει να είναι ίσο με το κλάσμα του διαστήματος μεταξύ των δύο αριθμών που έχει διανύσει ο δείκτης των λεπτών. Θυμίζουμε ότι όλος ο κύκλος του ρολογιού αντιστοιχεί σε 360 μοίρες και το τόξο μεταξύ δύο διαδοχικών ωρών είναι ίσο με 30 μοίρες.

Λύση

Αν είναι ω συνολικά η γωνία που σχηματίζει μια τέτοια στιγμή ο ωροδείκτης με την ακτίνα που διέρχεται από το κέντρο και τη θέση του 12, και λ η αντίστοιχη γωνία του λεπτοδείκτη, θα ισχύουν οι εξής δύο σχέσεις:

ω = ω1 + 30κ (1)

και  λ = λ1 +30μ (2)

Τα ω1 και λ1 είναι (σε μοίρες) οι γωνίες που έχουν προχωρήσει ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης μετρώντας από τον αμέσως προηγούμενο αριθμό ώρας.

Τα κ και μ είναι οι ώρες, που τις έχουν υπερβεί ήδη, μετρώντας από τις 12 και μετά, οι δύο δείκτες αντίστοιχα.

Αρα παίρνουν μόνο κάποιες από τις ακέραιες τιμές μεταξύ 0 και 11.

Το κλάσμα της ώρας (σε μοίρες) που έχει διανύσει ο λεπτοδείκτης θα είναι (λ/360) και το ίσο του κλάσμα για τον ωροδείκτη θα είναι (ω1/30).

Αυτή είναι και η πρώτη σχέση-κλειδί για τη λύση του προβλήματος:

(λ/360) = (ω1/30) (3)

Προκύπτει με τον ίδιο συλλογισμό και μια δεύτερη παρόμοια με την (3), αφού θα αλλάξουν αμοιβαία θέση οι δείκτες:

(ω/360) = (λ1/30) (4)

Από τις (1) και (2) βρίσκουμε πως ω1 = ω – 30κ και λ1 = λ – 30μ.

Τα αντικαθιστούμε στις (3) και (4) και προκύπτει ένα απλό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους που δίνει τελικά:

λ = [360(12μ + κ)]/143 και ω = [360(12κ + μ)]/143

με τα μ και κ να παίρνουν τιμές 0, 1, 2, 3…,11.

Στην περίπτωση που κ = μ έχουμε τις 12 περιπτώσεις με τους δείκτες να συμπίπτουν. Κάτι που είδαμε να βγαίνει και αλλιώς στα προηγούμενα, αλλά εδώ αυτή η περίπτωση δεν μας ενδιαφέρει, διότι όταν συμπίπτουν οι δείκτες μπορούμε να διαβάζουμε την ώρα σωστά. Οταν όμως τα μ και κ είναι διαφορετικά, οι μεταξύ τους συνδυασμοί είναι 12 Χ 11 = 132. Αρα σε 132 περιπτώσεις μέσα στο 12ωρο δεν μπορεί να διαβαστεί με βεβαιότητα η ώρα όταν οι δείκτες δεν ξεχωρίζουν.

Επειδή το πιο φυσικό είναι να αναρωτηθεί κάποιος πώς βρίσκουμε αυτές τις 132 περιπτώσεις, αξίζει να αναφέρουμε πως υπάρχει μια μέθοδος με γραφική παράσταση. Μια χρονική στιγμή στο ρολόι μεταφέρεται σε ένα σύστημα συντεταγμένων (στον οριζόντιο άξονα οι ώρες, από 0 έως 12, και στον κάθετο οι τιμές του λεπτοδείκτη επάνω στην πλάκα του ρολογιού, άρα και εκεί βάζουμε σημάδια από το 1 έως το 12). Αν γραφτεί ως ζεύγος ( 1) η ώρα ως δεκαδικός, 2) ο αριθμός που δείχνει εκείνη τη στιγμή ο λεπτοδείκτης). Για παράδειγμα, η στιγμή 3.30 γράφεται ως (3,5 : 6). Προκύπτει έτσι ένα σμήνος ευθειών και μόνο αν η αντιστροφή στις συντεταγμένες του ζεύγους π.χ. (6 : 3,5) δίνει και πάλι σημείο επάνω σε γραμμή έχουμε μία από τις ζητούμενες περιπτώσεις (υπάρχει μια πολύ παραστατική παρουσίαση στη διεύθυνση https://www.youtube.com/watch?v=LT_33XzEX2Q).

Πνευματική γυμναστική

1. Ο ομότιμος καθηγητής του Εθνικού Μετσοβίου Πολυτεχνείου κ. Θεοδόσης Π. Τάσιος, ο οποίος όπως αναφέρει είναι ανάμεσα στους τακτικούς αναγνώστες της σελίδας και δεν παραλείπει να «γυμνάζεται» μαζί μας τις Κυριακές, με αφορμή την ενότητα των ρολογιών μάς έστειλε την παρακάτω ερώτηση: «Πότε ευθυγραμμίζονται οι δείκτες του ρολογιού;», εννοώντας την περίπτωση που σχηματίζουν γωνία 180 μοιρών μεταξύ τους. Την ερώτηση αυτή συνόδευσε και με μια κομψή απάντηση-λύση.
2. Σε μια πόλη υπάρχουν δύο μόνο εταιρείες ταξί. Η «Μπλε», που κατέχει το 85% όσων ταξί κυκλοφορούν, και η «Πράσινη», με το υπόλοιπο 15% στην κατοχή της. Σε ένα νυχτερινό τροχαίο συμβάν όπου ο οδηγός εγκατέλειψε το σημείο εκείνο, ο μόνος μάρτυρας είπε πως το ταξί ήταν πράσινο. Από εξετάσεις πριν από τη δίκη διαπιστώθηκε πως ο μάρτυρας διέκρινε ικανοποιητικά τα χρώματα κατά 80%. Ποια είναι η πιθανότητα το ταξί να είχε χρώμα πράσινο;

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

1.  Είχαμε τρία μυρμήγκια, το καθένα σε μία από τις τρεις κορυφές ενός τυχόντος τριγώνου. Αρχίζουν ταυτόχρονα να τρέχουν (όλα με την ίδια ταχύτητα) επάνω στις πλευρές του τριγώνου σε όποια διεύθυνση θέλουν εκείνα. Ζητούσαμε την πιθανότητα δύο από αυτά να τρακάρουν. Και εδώ δεν χρειαζόμαστε προχωρημένες γνώσεις στη θεωρία των πιθανοτήτων. Λογιστική τακτική αρκεί: Το καθένα από τα μυρμήγκια θα κινηθεί ή κατά μήκος της μιας πλευράς ή κατά μήκος της άλλης. Μια περίπτωση είναι να κινηθούν όλα ταυτόχρονα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού και μια άλλη να κινηθούν αντίθετα. Σε αυτές τις δύο περιπτώσεις δεν θα συναντηθούν ποτέ. Αλλά δεν είναι οι μόνες δυνατές περιπτώσεις. Γενικά στις 2 κατευθύνσεις που μπορεί να πάρει το πρώτο μυρμήγκι, αντιστοιχούν στην καθεμία από αυτές 2 άλλες για το δεύτερο, άρα 2Χ2 = 4 και στις 4 αυτές άλλες 2 για το τρίτο μυρμήγκι, σύνολο λοιπόν 8, εκ των οποίων οι 2 δεν δίνουν σύγκρουση και οι 6 δίνουν. Αρα η πιθανότητα είναι (6/8).
2. Εκατό σαμουράι είναι παρατεταγμένοι σε κύκλο και στην πλάτη τους έχουν από έναν αριθμό σε αύξουσα σειρά, από το 1 έως το 100, πηγαίνοντας αντίθετα με τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Ο Νο 1 έχει ένα κοφτερό σπαθί. Με αυτό σκοτώνει τον διπλανό του, τον Νο 2, και παραδίδει το σπαθί στον μεθεπόμενο, τον Νο 3. Αυτός κάνει το ίδιο με τον διπλανό του και δίνει το σπαθί στον Νο 4. Συνεχίζοντας γύρο-γύρο αυτό το φονικό… παιχνίδι, μένει στο τέλος ένας ζωντανός και ζητείται ο αριθμός που έχει στην πλάτη του. Το πιο απλό, αλλά καθόλου μαθηματικό είναι να ακολουθήσει κάποιος τους γύρους: 1ος: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87, 89, 91, 93, 95, 97, 99
   2ος: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, 73, 77, 81, 85, 89, 93, 97
   3ος: 1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65, 73, 81, 89, 97
   4ος: 9, 25, 41, 57, 73, 89. 5ος: 9, 41, 73. 6ος: 9, 73. 7ος: 73.
   Από αυτό παρατηρούμε ότι σε κάθε γύρο η απόσταση μεταξύ των αριθμών των σαμουράι είναι η επόμενη δύναμη του 2. Και έτσι φθάνουμε πιο γρήγορα στον τελευταίο επιζώντα.