Πανελλαδικές 2021: Προτεινόμενα θέματα Μαθηματικών και Στοιχείων Στατιστικής ΕΠΑΛ

Για την καλύτερη προετοιμασία των υποψηφίων ενόψει των Πανελλαδικών Εξετάσεων, το in.gr παρουσιάζει προτεινόμενα θέματα για τα υπό εξέταση μαθήματα.

Παρακάτω μπορείτε να δείτε προτεινόμενα θέματα για το μάθημα της Ιστορίας Προσανατολισμού.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ

ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΑ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Πότε μία συνάρτηση  λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της.

7 Μονάδες

Α2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση με τύπο  είναι παραγωγίσιμη με παράγωγο

 10 Μονάδες

Α3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με την λέξη Σωστό αν αυτές είναι σωστές ή με την λέξη Λάθος αν αυτές είναι λανθασμένες.

α) Αν  και  τότε

β) Ο χρόνος που χρειάστηκαν οι μαθητές για να λύσουν ένα πρόβλημα είναι ποιοτική μεταβλητή.

γ) Ισχύει ότι

δ) Ισχύει ότι

8 Μονάδες

ΘΕΜΑ Β

Η συνάρτηση θέσης ενός σώματος δίνεται από τον τύπο , όπου  σε  και  ο χρόνος σε .

Β1. Να υπολογισθεί η ταχύτητα του σώματος την χρονική στιγμή  και την επιτάχυνση του σώματος την χρονική στιγμή .

4 Μονάδες

Β2. Να βρεθεί η χρονική στιγμή που το σώμα είναι ακίνητο.

6 Μονάδες

Β3. Πότε το σώμα κινείται προς την θετική κατεύθυνση και πότε προς την αρνητική κατεύθυνση.

5 Μονάδες

Β4. Να βρεθεί η συνολική απόσταση που θα διανύσει το σώμα τα πρώτα  της κίνησής του.

10 Μονάδες

ΘΕΜΑ Γ

 Δίνεται η συνάρτηση  με

Γ1. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης της συνάρτησης στο σημείο με τετμημένη .

6 Μονάδες

Γ2. Να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα και να αποδείξετε ότι .

 7 Μονάδες

Γ3. Να αποδείξετε αν  τότε

8 Μονάδες

Γ4. Να υπολογίσετε το όριο

4 Μονάδες

ΘΕΜΑ Δ

Δίνεται ο παρακάτω πίνακας κατανομής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων και αθροιστικών μιας μεταβλητής

Δ1. Να υπολογιστούν οι αριθμοί  και , το μέγεθος του δείγματος  και να μεταφέρετε τον πίνακα στο τετράδιο σας σωστά συμπληρωμένο.

10 Μονάδες

Δ2. Δίνεται η συνάρτηση . Να βρεθεί η εξίσωση εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της  που είναι παράλληλη στην ευθεία , όπου  και  οι αριθμοί του ερωτήματος Δ1.

5 Μονάδες

Δ3. Να βρεθούν τα σημεία τομής της εξίσωσης εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης    με τους άξονες  και  του Καρτεσιανού επιπέδου  και  αντίστοιχα. Να υπολογιστούν το εμβαδόν του τριγώνου  όπου Ο η αρχή των αξόνων.

5 Μονάδες

Δ4. Αν  να αποδείξετε ότι

5 Μονάδες

ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΟΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑ Α

Α1. Θεωρία σχολικού βιβλίου

Α2. Θεωρία σχολικού βιβλίου

Α3.  α) Σωστό   β) Λάθος    γ) Λάθος    δ) Λάθος

ΘΕΜΑ Β

B1. Έχουμε ότι επομένως

Ακόμα  και επομένως

Β2. Το σώμα είναι ακίνητο όταν

Β3. Κινείται προς την θετική κατεύθυνση όταν

Κινείται προς την αρνητική κατεύθυνση όταν

.

B4. Έχουμε ότι , , ,

Έχουμε  και  και

. Άρα .

ΘΕΜΑ Γ

Γ1.  Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης είναι .

Ο ρυθμός μεταβολής του συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης είναι . Άρα .

Γ2. Έχουμε ότι .

Η  είναι γνησίως φθίνουσα στο  και γνησίως αύξουσα στο . Η συνάρτηση  παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για  το .

Από τον ορισμό του ελαχίστου έχω .

Γ3. Έχουμε ότι  άρα η  είναι γνησίως αύξουσα . Επομένως

.

Γ4.

ΘΕΜΑ Δ

Δ1. Ισχύει ότι

Ακόμα  και

Τέλος

και

Επομένως ο πίνακας είναι

Δ2. Πρέπει . Επομένως  και .

Η εξίσωση εφαπτομένης της  στο σημείο  είναι .

Δ3. Το σημείο τομής της ευθείας  με τον άξονα  είναι το  όπου, επομένως .

Το σημείο τομής με τον  είναι το  όπου  άρα .

Το εμβαδόν του τριγώνου είναι

Δ4. Έχουμε

ΟΡΟΣΗΜΟ ΠΕΙΡΑΙΑ

Επιμέλεια: Ευθύμης Κατσίμπρας