Ηπροηγούμενη ενασχόλησή μας με τα ρολόγια δίνει μια πολύ καλή πάσα για τη συνέχεια, που έχει να κάνει με κάτι αρκετά… τρομακτικό ως επικεφαλίδα αλλά αρκετά διασκεδαστικό και χρήσιμο ταυτόχρονα. Οι «ισοϋπόλοιποι αριθμοί» είναι στο εδεσματολόγιο και μαζί τους φέρνουν τη δοκιμή του πολλαπλασιασμού (τον κλασικό αλλά ανεξήγητο «σταυρό», τον γνωστό από το δημοτικό σχολείο), αλγορίθμους σε υπολογιστές και κάποιες αρχές κρυπτογράφησης (π.χ. αλγόριθμος Diffie-Hellmann).

Ας ξεκινήσουμε όμως ρίχνοντας μια ματιά στην… ώρα. Η ώρα λοιπόν είναι 8.00. Ποιον αριθμό θα δείχνει ο ωροδείκτης μετά από 25 ώρες; Θα δείχνει 9. Πανεύκολο, αλλά η νοητική διαδικασία που προηγήθηκε είναι πολύ χρήσιμη για τη συνέχεια. Τι κάναμε για να δώσουμε την απάντηση; Βγάλαμε από το 25 τις 24 ώρες που ορίζουν μια ολόκληρη ημέρα και προσθέσαμε ό,τι έμεινε, δηλαδή την 1 ώρα, στο 8. Αυτό ισοδύναμα θα μπορούσαμε να πούμε ότι γίνεται κάνοντας τη διαίρεση 25 διά 24 και κρατώντας μόνον το υπόλοιπο που είναι 1.

Αρτιοι, περιττοί και οι σχέσεις τους

Εχει γραφτεί και είναι μια πολύ σημαντική παρατήρηση ότι από τη στιγμή που χωρίσαμε τους ακεραίους αριθμούς σε άρτιους και περιττούς κάναμε ένα πολύ μεγάλο βήμα στα Μαθηματικά. Διότι φύγαμε από την ενασχόληση με τον καθένα αριθμό χωριστά και εστιάσαμε στις (πιο ομαδικές) ιδιότητές τους. Από πολύ νωρίς μαθαίνουμε, έστω και μηχανικά, έστω και χωρίς κάποιος να μας τονίσει τη σημασία τους, για τα παρακάτω γινόμενα ότι:

• Αρτιος Χ Αρτιο à Αρτιο
• Περιττός Χ Περιττό à Περιττό
• Αρτιος Χ Περιττό à Αρτιο

Και αν αυτό φαίνεται πολύ στοιχειώδες, ας προβληματιστούμε για μια στιγμή ως προς το πόσο γρήγορα θα βρούμε τι είδους αποτέλεσμα δίνει τελικά (άρτιο ή περιττό αριθμό)  το παρακάτω γινόμενο:

Περιττός Χ Αρτιο Χ Περιττό Χ Περιττό Χ Αρτιο Χ Αρτιο Χ Περιττό Χ Περιττό (Α)

Αριθμητική modulo

Προχωρούμε όμως και σε κάτι άλλο, που δουλεύει στην πράξη. Σε ένα επιτραπέζιο παιχνίδι με τέσσερις παίκτες, για να βρούμε ποιος θα αρχίσει πρώτος, παίρνει ο καθένας από έναν αριθμό: 0, 1, 2, 3. Στη συνέχεια δίνουμε το σύνθημα και ο καθένας ταυτόχρονα δείχνει με τα δάχτυλά του τεντωμένα από έναν αριθμό. Αθροίζουμε και διαιρούμε δια 4. Οποιου ο αριθμός συμπίπτει με το υπόλοιπο της διαίρεσης αρχίζει πρώτος. Ανάλογα καθορίζεται και η σειρά των άλλων. Είναι καιρός λοιπόν να κάνει την είσοδό του στη σκηνή και η αυτού εξοχότης «το Υπόλοιπο».

Θεωρούμε πως «ένας φυσικός αριθμός α είναι ισοδύναμος ή ισοϋπόλοιπος με έναν άλλον φυσικό αριθμό β modulo m (δηλαδή με διαιρέτη τον m) αν η διαίρεση του καθενός με το m δίνει το ίδιο υπόλοιπο». Και όλο αυτό συμβολίζεται ως εξής: α ≡ β (mod m). Για παράδειγμα, μπορούμε να γράψουμε 26 ≡ 6 (mod 5) και με αυτό να καταλαβαίνουμε ότι οι αριθμοί 26 και 6 όταν διαιρεθούν ο καθένας χωριστά με τον 5 δίνουν το ίδιο υπόλοιπο (εδώ το 1). Μια πολύ χρήσιμη παρατήρηση για τη συνέχεια είναι πως αν κάνουμε την αφαίρεση 26 – 6 = 20 ο αριθμός αυτός διαιρείται ακριβώς με το 5. Και αυτό θα συμβαίνει πάντα. Ας γυρίσουμε λοιπόν λίγο πίσω και ας δούμε κάτι που αναφέρθηκε πριν, αλλά με άλλο μάτι πλέον.

Οι άρτιοι αριθμοί μπορούμε να λέμε πως με διαιρέτη τον 2 δίνουν πάντα υπόλοιπο 0, και οι περιττοί με διαιρέτη το 2 δίνουν πάντα υπόλοιπο 1. Δηλαδή ισχύει κάπως σχηματικά: Αρτιος ≡ 0 (mod 2) και Περιττός ≡ 1 (mod 2). Οπότε αν στην (Α) βάλουμε όπου Αρτιος 0 και όπου Περιττός 1 τότε έχουμε: 1 Χ 0 Χ 1 Χ 1 Χ 0 Χ 0 Χ 1 Χ 1 που προφανώς (σχηματικά) δίνει 0 άρα τελικά Αρτιο αριθμό. Και εδώ μας προκύπτει κάτι ενδιαφέρον. Αρκεί να υπάρχει ένα 0 στο γινόμενο για να βγει 0. Μετάφραση: Αρκεί να υπάρχει ένας άρτιος όρος σε ένα γινόμενο για να είναι το αποτέλεσμα άρτιος αριθμός. Πάντα.

Η αριθμητική modulo είναι ένα δέντρο με πολλά κλαδιά και πολύ χρήσιμους καρπούς. Επεται συνέχεια.

Πνευματική Γυμναστική

1. Μπορεί ο μέσος όρος δύο διαδοχικών πρώτων αριθμών να είναι και αυτός πρώτος αριθμός;

2. Κάποια εταιρεία για να αυξήσει τις πωλήσεις της νέας σοκολάτας της δίνει 1 δωρεάν σε κάθε παιδί που θα παρουσιάζει στο περίπτερο της γειτονιάς του 10 άδειες συσκευασίες της ίδιας σοκολάτας. Τι κλάσμα του προϊόντος (πλάκα σοκολάτας) αντιστοιχεί στην κάθε άδεια συσκευασία που παραδίδουν τα παιδιά;

Οι λύσεις των προηγουμένων κουίζ

1. «Πότε ευθυγραμμίζονται οι δείκτες του ρολογιού;», εννοώντας την περίπτωση που σχηματίζουν γωνία 180 μοιρών μεταξύ τους, ήταν το πρόβλημα που έθεσε ο κ. Θεοδόσης Π. Τάσιος. Και το συνόδευσε με ένα σχήμα και μια εξίσωση που θα προσπαθήσουμε να τα εξηγήσουμε λίγο περισσότερο. Η εξίσωση είναι η εξής:

[ω +(λ/60)]/12 + (60 – λ)/60 = (1/2)  (1)

Θεωρούμε πως το ω αντιστοιχεί στην ώρα που δείχνει ο ωροδείκτης και το λ στα λεπτά. Ο κύκλος του ρολογιού να φανταστούμε πως έχει διαιρεθεί σε 60 ίσα τμήματα για τα λεπτά, σε 12 ίσα τμήματα για τις ώρες, ότι η γωνία των 180 μοιρών που θα σχηματίζουν οι δείκτες είναι ίση με ½ του κύκλου και κάθε λεπτό είναι το (1/60) του κύκλου. Στη θέση που βρίσκεται ο λεπτοδείκτης και έχει διανύσει λ λεπτά, το υπόλοιπο έως τις 12 θα είναι (60 – λ). Αυτό το πολλαπλασιάζουμε επί (1/60) που είναι η γωνία η αντίστοιχη στο 1 λεπτό και παίρνουμε τη γωνία του λεπτοδείκτη με την ώρα 12. Για κάθε ώρα ο ωροδείκτης διαγράφει το (1/12) του κύκλου. Αρα για την πορεία του ωροδείκτη από την ώρα 12 έως την ακέραια ώρα ω ισχύει ότι θα έχει διαγράψει μια γωνία ω επί (1/12), άρα (ω/12). Το πιο λεπτό σημείο είναι και η μικρή γωνία που έχει επιπλέον διαγράψει ο ωροδείκτης μετά από την ακέραια ώρα αφού ο λεπτοδείκτης έχει αρχίσει να τρέχει ήδη προς την επόμενη ώρα. Το κλάσμα της ώρας που έχει διανύσει ο λεπτοδείκτης είναι (λ/60). Ο ωροδείκτης θυμίζουμε πως έχει ταχύτητα το (1/12) του λεπτοδείκτη. Αρα στον ίδιο χρόνο με τον λεπτοδείκτη θα έχει διανύσει γωνία: (λ/60)/12. Αυτές οι τρεις γωνίες όταν αθροιστούν θα πρέπει για την ευθυγράμμιση να δίνουν το (1/2) του κύκλου.  Κάνοντας τις πράξεις στην (1) καταλήγουμε στη σχέση:

ω + 6 = (11/60)λ  (2)

Π.χ. για ω = 4 η ευθυγράμμιση γίνεται στις 4 και 54,54 λεπτά.

2. Είχαμε δύο εταιρείες ταξί, την «Μπλε» με το 85% όσων ταξί κυκλοφορούν και την «Πράσινη» με το υπόλοιπο 15%. Σε ένα νυχτερινό τροχαίο συμβάν όπου ο οδηγός εγκατέλειψε το σημείο εκείνο, ο μόνος μάρτυρας είπε πως το ταξί ήταν πράσινο.  Από εξετάσεις πριν τη δίκη διαπιστώθηκε πως ο μάρτυρας διέκρινε ικανοποιητικά τα χρώματα κατά 80%. Ζητούσαμε την πιθανότητα το ταξί να είχε χρώμα πράσινο. Ξεκινούμε από το ότι σε 100 παρόμοια ατυχήματα μπορεί τα εμπλεκόμενα ταξί να ήταν 85 μπλε και 15 πράσινα. Αφού ο μάρτυς διέκρινε σωστά μόνον κατά 80%, τότε αν είχε δει και τα 85 μπλε ατυχήματα, τα 85Χ20/100 = 17 θα έλεγε πως ήταν από πράσινα ταξί. Για τα πραγματικά ατυχήματα με πράσινο ταξί εκείνος θα έλεγε πως 15Χ80/100 = 12 είναι από πράσινο ταξί. Αρα συνολικά στα 100 θα έβγαζε 17 + 12 = 29 από πράσινο ταξί ενώ τα βεβαιωμένα ήταν μόνον 12. Αρα η πιθανότητα να έχει πέσει μέσα είναι 12/29 = 41,37%. Λιγότερο και από 50/50.