Η αριθμητική των ισοϋπολοίπων οφείλει πολλά στον Γιόχαν Φρίντριχ Γκάους αφού το 1796 την προχώρησε αρκετά και το 1801 εξέδωσε το βιβλίο «Disquisitiones Arithmeticae» όπου εκεί επισημοποιούνται οι έννοιες με το modulo ενώ εισάγεται τότε και το σύμβολο ≡. Από τότε έχουν συμβεί πολλά και η τεχνολογία χρησιμοποίησε την αριθμητική αυτήν και τη χρησιμοποιεί ακόμη.

Εμείς κρατούμε από το προηγούμενο κυρίως δύο, τον ορισμό και μία ιδιότητα:

– Θεωρούμε πως «ένας φυσικός αριθμός α είναι ισοδύναμος ή ισοϋπόλοιπος με έναν άλλον φυσικό αριθμό β modulo m (δηλαδή με διαιρέτη τον m) αν η διαίρεση του καθενός με το m δίνει το ίδιο υπόλοιπο». Και όλο αυτό συμβολίζεται ως εξής:  α ≡ β (mod m).

– Μια πολύ χρήσιμη παρατήρηση για τη συνέχεια είναι πως αν κάνουμε την αφαίρεση α – β ο αριθμός που προκύπτει διαιρείται ακριβώς με το m. Και αυτό θα συμβαίνει πάντα. Η απόδειξη είναι εύκολη χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη διαίρεση: Δ = Π Χ δ + υ (Δ: Διαιρετέος, Π: Πηλίκο, δ: διαιρέτης, υ: υπόλοιπο). Θα έχουμε: α = Π1 Χ m + υ και β= Π2 Χ m + υ. Αφαιρώντας προκύπτει: α – β = (Π1 – Π2) Χ m + υ – υ. Αρα η διαίρεση (α – β) / m δίνει ακέραιο αποτέλεσμα.

Προσοχή στα σύμβολα

Σήμερα θα δουλέψουμε λίγο επάνω σε κάποιες παρεξηγήσεις που δημιουργούνται σχετικά με την αριθμητική αυτήν. Απεικονίζονται μάλιστα και σε λάθη που εμφανίζονται χωρίς να διορθώνονται και στο Διαδίκτυο. Για αρχή εξοικειωνόμαστε με τους συμβολισμούς. Είναι άλλο πράγμα το 26 mod 5 = 1, όπου εδώ πρόκειται για ισότητα και όταν τη βλέπουμε θα καταλαβαίνουμε ότι η ακέραια διαίρεση (δηλαδή το να σταματήσουμε αμέσως πριν την υποδιαστολή) π.χ. 26 : 5 δίνει υπόλοιπο 1. Και άλλο η σχέση ισοδυναμίας 26 ≡ 1 (mod 5), που σημαίνει ότι ο 26 και ο 1 είναι ισοϋπόλοιποι, δηλαδή κατά την ακέραια διαίρεση του καθενός με τον 5 αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο, εδώ το 1.

Παράδειγμα

Εχει ήδη αναφερθεί ότι λέγοντας: είναι τώρα η ώρα 11 και θα συναντηθούμε μετά από 5 ώρες, εννοούμε όλοι πως τότε το ρολόι θα δείχνει τις 4, οπότε ήδη έχουμε κάνει χρήση της 16 mod 12 = 4. Είναι λοιπόν φυσιολογικό για τη διδασκαλία της αριθμητικής αυτής να χρησιμοποιούνται και οι εικόνες τροποποιημένων ρολογιών. Με το 12 να έχει αντικατασταθεί από το 0, και στη συνέχεια να έχουν τοποθετηθεί στην πλάκα όλοι οι αριθμοί από το 0 έως το m – 1. Είναι πανεύκολο έτσι να βρεις πόσο κάνει 13 mod 5. Φανταζόμαστε ότι βάζουμε στην πλάκα του ρολογιού με τη σειρά μόνον τους αριθμούς 0, 1, 2, 3, 4 και ξεκινώντας από τη θέση 0 (εκεί που ήταν το 12) αρχίζουμε να κάνουμε γύρους αυξάνοντας το μέτρημα κατά 1 μόλις περνάμε από έναν εκ των 0, 1, 2, 3, 4 ακολουθώντας τη φορά περιστροφής των δεικτών ενός κανονικού ρολογιού. Μέχρι να φθάσουμε μετρώντας έτσι τον αριθμό 13. Από τη θέση 0 προφανώς θα περάσουμε μια φορά φθάνοντας στο 5, θα περάσουμε για δεύτερη φορά φθάνοντας στο 10 και τελικά, αναφέροντας τον 13, διαπιστώνουμε πως σταματήσαμε στον αριθμό 3. Αυτός είναι και το υπόλοιπο που ψάχναμε.

Οι αρνητικοί αριθμοί

Πριν σκεφθεί κάποιος ότι πρόκειται για παιδαριώδη Μαθηματικά θα πάμε σε αρνητικούς ακέραιους και θα ζητήσουμε το εξής:

πόσο κάνει -5 mod 3;

Εδώ είναι που γίνονται πολλά λάθη. Από ανθρώπους και υπολογιστές(!!!). Ενας τρόπος, ο πιο απλός και μηχανικός, είναι να φτιάξουμε και πάλι ένα «ρολόι» με τους αριθμούς 0, 1, 2 επάνω στην πλάκα κατά τη φορά περιστροφής των δεικτών. Τώρα όμως η δική μας αρίθμηση, από το 1 έως το 5  θα γίνεται (προσοχή) με αντίστροφη φορά. Ξεκινούμε και συναντούμε πρώτα το 2, μετά το 1, μετά το 0, πάλι το 2 και τέλος το 1. Πέντε σταθμοί, ο τελευταίος το 1. Αυτό είναι και το υπόλοιπο που ζητούμε. Δηλαδή -5 mod 3 = 1.

Υπάρχουν και άλλοι τρόποι πιο συνοπτικοί για το ίδιο αποτέλεσμα, αλλά αυτός είναι ο πλέον παραστατικός.

Βασική προϋπόθεση

Στη σχέση Δ = Π Χ δ + υ βάζουμε -5 = -Π Χ 3 + υ. Ψάχνουμε να βρούμε μια τιμή για το Π που ο πολλαπλασιασμός της με το 3 να μας δίνει αριθμό ίσο ή τον αμέσως μεγαλύτερο (σε απόλυτη τιμή) του -5. Εδώ θα είναι ο 2. Οπότε έχουμε: -5 = -2 Χ 3 + υ και αυτό δίνει -5 + 6 = υ άρα υ = 1, όπως και πριν.

Προϋπόθεση είναι να θεωρούμε πως το υπόλοιπο μόνον θετικές τιμές μπορεί να παίρνει.

Σε όλες σχεδόν τις γλώσσες προγραμματισμού, υπάρχει τελεστής για το υπόλοιπο μιας ακέραιας διαίρεσης. Για παράδειγμα στην Python συμβολίζεται με %. Ομως προσοχή, με τους αρνητικούς όπως είναι εδώ ο -5 διότι ο υπολογιστής δίνει: -5 % 3 = -2.

Πνευματική γυμναστική

1. Πώς μπορούμε να κόψουμε μια λεπτή πίτσα σε 8 ίσα κομμάτια με τρεις μόνο κινήσεις του μαχαιριού;
2. Για ευκολία, υποθέτουμε πως υπάρχουν και χαρτονομίσματα του 1 ευρώ και μας δίνουν δέκα φακέλους μαζί με 1.000 χαρτονομίσματα του 1 ευρώ το καθένα. Μας ζητούν να μοιράσουμε τα χαρτονομίσματα στους φακέλους με τέτοιον τρόπο ώστε όποιο ποσό από 1 έως και 1.000 ευρώ μας ζητήσουν να μπορούμε να δώσουμε τους αντίστοιχους φακέλους, που συνολικά το περιεχόμενό τους θα αντιστοιχεί στο απαιτούμενο ποσό.

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Ρωτούσαμε αν μπορεί ο μέσος όρος δύο διαδοχικών πρώτων αριθμών να είναι και αυτός πρώτος αριθμός. Αν σκεφθούμε πως ο μέσος όρος δύο αριθμών θα είναι ένας αριθμός μεγαλύτερος από τον μικρότερο και μικρότερος από τον μεγαλύτερο, άρα ανάμεσά τους αυτός δεν μπορεί να είναι πρώτος διότι υποθέσαμε πως οι δυο τους είναι διαδοχικοί (=ο ένας είναι ο αμέσως επόμενος του άλλου) πρώτοι αριθμοί.
2. Είχαμε μια εταιρεία που για να αυξήσει τις πωλήσεις της νέας σοκολάτας της έδινε 1 δωρεάν σε κάθε παιδί όταν αυτό θα παρουσίαζε στο περίπτερο της γειτονιάς του 10 άδειες συσκευασίες της ίδιας σοκολάτας. Ζητούσαμε να βρεθεί τι κλάσμα του προϊόντος (δηλαδή της πλάκας της σοκολάτας) αντιστοιχεί στην κάθε άδεια συσκευασία που παραδίδουν τα παιδιά. Και επάνω σε αυτό πολλά μπορούν να γραφτούν. Επειδή όμως δεν έχουμε ασχοληθεί ακόμη με σειρές και τα αθροίσματά τους, θα μείνουμε σε μια πολύ απλή και πρακτική λύση. Η απάντηση είναι (1/9) και όχι (1/10). Διότι με τις 10 συσκευασίες παίρνει και μία ακόμη, άρα ουσιαστικά του αρκούν 9 για να έχει και τη δέκατη. Για όποιον αυτό δεν του αρκεί ας σκεφθεί πως η καθεμία από τις συσκευασίες αντιστοιχεί στο (1/10) της σοκολάτας που παίρνει δώρο και αυτό το (1/10) της σοκολάτας είναι τυλιγμένο αντίστοιχα στο (1/10) της συσκευασίας που αυτό αντιστοιχεί στο (1/100) της σοκολάτας που της αντιστοιχεί το (1/1000) της συσκευασίας και το άθροισμα αυτής της σειρά αποδεικνύεται πως είναι ίσο με (1/9).

‘Έντυπη έκδοση Το Βήμα