Το μίνιμουμ των γνώσεων από τα προηγούμενα, που χρειαζόμαστε για τη συνέχεια, αποκρυσταλλώνεται στα εξής δύο:

Θεωρούμε πως «ένας φυσικός αριθμός α είναι ισοδύναμος ή ισοϋπόλοιπος (congruent) με έναν άλλο φυσικό αριθμό β modulo m (δηλαδή με διαιρέτη τον m) αν η διαίρεση του καθενός με τον m δίνει το ίδιο υπόλοιπο». Και όλο αυτό συμβολίζεται ως εξής: α ≡ β (mod m).

Aν κάνουμε την αφαίρεση α – β ο αριθμός που προκύπτει διαιρείται ακριβώς με το m.

Δεν είναι παράλογο η αναγνώστρια ή ο αναγνώστης να αναρωτηθούν σε αυτό το σημείο τι μπορεί να μας χρησιμεύει μια αριθμητική που έχει στο κέντρο της απλά το υπόλοιπο της διαίρεσης. Επειδή όμως για εφαρμογές όπως η κρυπτογράφηση ή το πώς κάνουμε τη δοκιμή του πολλαπλασιασμού, απαιτούν να πέσει λίγο περισσότερο… μπετόν πριν φθάσουμε έως αυτές, ας δώσουμε μια πολύ πιο άμεσα κατανοητή εφαρμογή αυτής της αριθμητικής. Πρόκειται για τον ISBN, τον γνωστό κώδικα καταχώρισης των βιβλίων που εκδίδονται παγκόσμια.

Από την 1 Ιανουαρίου 2007 έχει 13 ψηφία, γνωστός γι’ αυτό ως ISBN-13 (σε αντιδιαστολή με τον προηγούμενο τον ISBN-10 που είχε μόνο δέκα χαρακτήρες) και είναι χωρισμένος και αυτός σε πέντε τμήματα. Τα πέντε αυτά τμήματα είναι:

i) ένα αριθμητικό προσάρτημα τριών ψηφίων, που ενσωματώνει τον ISBN-13 σε μια μεγαλύτερη ομάδα κωδικών για διάφορα προϊόντα και για τα βιβλία είναι το 978 ή το 979,

ii) ακολουθεί ο κωδικός που προσδιορίζει τη χώρα ή μια ολόκληρη γλωσσική ενότητα και μπορεί να αποτελείται από 1 έως και 5 αριθμητικούς χαρακτήρες. Για τα αγγλικά είναι 0 ή 1, στην Ελλάδα αντιστοιχεί το 618,

iii) ακολουθεί ο κωδικός του εκδότη,

iv) και υπάρχει βέβαια και ένα τέταρτο τμήμα όπου οι χαρακτήρες του έχουν αντιστοιχηθεί στον τίτλο του βιβλίου από τον εκδότη,

v) τελευταίο έρχεται το ψηφίο ελέγχου, που μας ενδιαφέρει εδώ περισσότερο από όλα τα άλλα. Ο χαρακτήρας αυτός ελέγχου θεσπίστηκε ήδη από τον ISBN-10 με σκοπό να προλαμβάνεται η λανθασμένη μετάδοση κάποιου ή κάποιων από τους υπόλοιπους 12 χαρακτήρες. Κάτι που όπως θα δούμε δεν γίνεται πάντα με επιτυχία και αυτό είναι ένα παράδοξο.

Η σημασία του τελευταίου ψηφίου

Αφού «χτιστεί», με βάση τα προηγούμενα, ο δώδεκα χαρακτήρων κωδικός, π.χ. ο 978-0-306-40615, ακολουθείται η εξής διαδικασία με πολλαπλασιασμούς και άθροιση: 9Χ1 + 7Χ3 + 8Χ1 + 0Χ3 + 3Χ1 + 0Χ3 + 6Χ1 + 4Χ3 + 0Χ1 + 6Χ3 + 1Χ1 + 5Χ3. Δηλαδή τα ψηφία στις θέσεις 2, 4, 6, 8, 10, 12, πριν την άθροιση πολλαπλασιάζονται επί 3. Το τελικό αποτέλεσμα εδώ είναι 93. Αυτό διαιρείται με το 10 που δίνει υπόλοιπο 3. Αυτό αφαιρείται από το 10 και προκύπτει ο χαρακτήρας ελέγχου 7 και έτσι ο τελικός κωδικός γίνεται 978-0-306-40615-7.

Στο σχετικό άρθρο της Wikipedia γίνεται η εξής παρατήρηση: Αν η διαφορά μεταξύ δύο διαδοχικών ψηφίων είναι 5 συμβαίνει κάτι ανεπιθύμητο. Στο παράδειγμα που δόθηκε πιο πάνω αν κατά λάθος αλλάξουν θέση αμοιβαία το 6 με το 1 αντί για 3Χ6 + 1Χ1 = 19 θα προκύψει 3Χ1 + 1Χ6 = 9. Επειδή όμως οι αριθμοί 19 και 9 είναι ισοϋπόλοιποι κατά τη διαίρεση με το 10 (δηλαδή mod10) ο χαρακτήρας ελέγχου δεν θα αλλάξει ενώ θα υπάρχει λάθος.

Ο προηγούμενος τρόπος κωδικοποίησης με τον ISBN-10 όπου η διαίρεση γινόταν με modulo 11, επειδή ο 11 ήταν πρώτος αριθμός δεν επέτρεπε να προκύψουν τέτοιες καταστάσεις. Και θα δούμε αργότερα το γιατί.

Η αντικατάσταση αυτή από κάτι χειρότερο έγινε για λόγους ένταξης σε ένα γενικότερο πλαίσιο κωδικών.

Επειδή και πάλι εξαντλήθηκε ο χώρος που είχαμε στη διάθεσή μας ας κλείσουμε δίνοντας ένα σύντομο, φιλολογικό αυτή τη φορά, κουίζ: Ποιος ή ποια από τους παρακάτω διάσημους συγγραφείς πιστεύετε πως ασχολήθηκε τόσο πολύ με την κρυπτογράφηση και το σπάσιμο των κωδίκων ώστε προέτρεπε τους αναγνώστες να στέλνουν κρυπτογραφημένα μηνύματα για να τους κάνει επίδειξη του πόσο καλά τα κατάφερνε: Τζορτζ Οργουελ, σερ Αρθουρ Κόναν Ντόιλ, Εντγκαρ Αλαν Πόου, Αγκαθα Κρίστι;

Πνευματική Γυμναστική

1 Κάποιες φορές η έννοια του μέσου όρου παίζει περίεργα παιχνίδια. Ας δούμε τις παρακάτω δύο περιπτώσεις:
Α) Κάποιος είναι σε αυστηρή δίαιτα για μία εβδομάδα αλλά την ημέρα που κάνει διάλειμμα από αυτήν (γνωστή και ως cheat day) καταβροχθίζει 7 λουκουμάδες. Πόσους ακόμη μπορεί να φάει ώστε τελικά ο μέσος όρος του να είναι 1 λουκουμάς ανά ημέρα;
Β) Ενα αυτοκίνητο σε κλειστή πίστα κάνει τον πρώτο γύρο με σταθερή ταχύτητα 60 χιλιόμετρα την ώρα. Πόσο πρέπει να κάνει τον δεύτερο γύρο ώστε ο μέσος όρος της ταχύτητάς του και για τους δύο γύρους να είναι τελικά 120 χιλιόμετρα την ώρα;

2 Ζητείται ο μεγαλύτερος ακέραιος αριθμός που μπορεί να σχηματιστεί αλλά με τον εξής περιορισμό: Να μην εμφανίζεται μέσα σε αυτόν κάποιο ζευγάρι διαδοχικών ψηφίων παραπάνω από μία φορά. Για παράδειγμα, μπορεί να εμφανίζεται μέσα σε αυτόν το συγκρότημα ψηφίων 49897844 αλλά όχι το 88897844 ή το 49897894.

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Πώς λοιπόν μπορούμε να κόψουμε μια λεπτή πίτσα σε 8 ίσα κομμάτια με τρεις μόνο κινήσεις του μαχαιριού; Την «παραγγείλαμε» λεπτή για να αποκλείσουμε προφανώς τη λύση της κοπής εγκάρσια. Οπότε έχουμε τις δύο κλασικές και αναμενόμενες μαχαιριές που την κόβουν στα τέσσερα και στη συνέχεια παίρνουμε τα τέσσερα κομμάτια, τα βάζουμε το ένα επάνω στο άλλο και με μια ακόμη μαχαιριά, από επάνω προς τα κάτω, κόβονται όλα μαζί στη μέση και τα τέσσερα γίνονται οκτώ.

2. Υποθέσαμε πως υπάρχουν και χαρτονομίσματα του 1 ευρώ και μας δίνουν δέκα φακέλους μαζί με 1.000 χαρτονομίσματα του 1 ευρώ το καθένα. Επρεπε να μοιράσουμε τα χαρτονομίσματα στους φακέλους με τέτοιον τρόπο ώστε όποιο ποσό από 1 έως και 1.000 ευρώ μας ζητήσουν να μπορούμε να δώσουμε τους αντίστοιχους φακέλους, που συνολικά το περιεχόμενό τους θα αντιστοιχεί στο απαιτούμενο ποσό. Τα προβλήματα αυτού του τύπου μυρίζουν δυαδικό σύστημα. Δηλαδή στους εννέα πρώτους φακέλους θα βάλουμε αντίστοιχα 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 ευρώ. Συνολικά έχουμε χρησιμοποιήσει 511 ευρώ έως εδώ και δημιουργούμε όποιο ποσό θέλουμε συνδυάζοντας τα περιεχόμενα των φακέλων. Π.χ. για το ποσόν των 350 ευρώ θα χρησιμοποιήσουμε αυτούς που έχουν μέσα 256, 64, 16, 8, 4 και 2 ευρώ. Δεν μπορούμε όμως, συνεχίζοντας να βάζουμε κάθε φορά τα διπλάσια, να βάλουμε και 512(= 2 Χ 256) στον 10ο φάκελο διότι έτσι υπερβαίνουμε τα 1.000 ευρώ. Βάζουμε όμως τα υπόλοιπα, δηλαδή τα 489 ευρώ. Και για τα μεγαλύτερα ποσά κάνουμε συνδυασμούς με βάση το 489, δηλαδή 489 +1 = 490, 489 +2 = 491, 489 +2 + 1 = 492 κ.λπ. έως το 1.000.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα