Ας υποθέσουμε πως έχουμε έναν διακόπτη συνδεδεμένο σε κάποια λάμπα. Στη θέση 0 του διακόπτη είναι σβηστή, στη θέση 1 αναμμένη. Μας ρωτούν: μετά από 1.001 φορές που θα ανοίξει και θα κλείσει ο διακόπτης θα είναι αναμμένη ή σβηστή; Καταλαβαίνουμε στη στιγμή πως σημασία δεν έχουν οι 1.001 φορές. Ούτε χρειάζεται να ανοίξουμε και να κλείσουμε, έστω με το μυαλό μας, τόσες εκατοντάδες φορές τον διακόπτη. Την πρώτη φορά ανάβει, τη δεύτερη σβήνει, την τρίτη ανάβει ξανά. Αυτό μας είναι αρκετό. Καταλαβαίνουμε ότι και την 1.001η φορά θα ανάψει. Στην ουσία το 1 με το 1.001 στην ακέραια διαίρεση (δηλαδή χωρίς να προχωρήσουμε πέρα από την υποδιαστολή) με το 2 αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο και αυτό δίνει την απάντηση. Το παράδειγμα είναι επίτηδες επιλεγμένο να είναι υπερβολικά απλό αλλά ο ίδιος τρόπος, δηλαδή το να βρίσκουμε μόνο πόσο είναι το ακέραιο υπόλοιπο μιας διαίρεσης (modulo n), μπορεί να μας βοηθήσει να αντιμετωπίσουμε αρκετά πιο πολύπλοκες καταστάσεις.

Πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός

Αρκεί γι’ αυτό να αποκτήσουμε εξοικείωση με κάποιες πολύ χρήσιμες ιδιότητες της αριθμητικής αυτής. Εχουμε κρατήσει ήδη ότι α ≡ β(mod n) σημαίνει για τους ακεραίους α και β ταυτόχρονα και ότι η διαφορά των δύο: (α-β) θα είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του n. Και το γράφουμε συνήθως ως (α-β) = kn, όπου k ακέραιος. Π.χ. 17 ≡ 13(mod4) ισοδυναμεί με 17 – 13 = 1Χ4.

Από αυτό βγαίνει εύκολα και η ιδιότητα: Αν α ≡ β(mod n) και γ ≡ δ(mod n) τότε ισχύει και (α+γ)  = (β+δ)(mod n). Αρκεί να γράψουμε ότι α = β + kn και γ = δ + ln. Αρα αθροίζοντας: α + γ = (β + δ) + (k +l)n που δίνει: (α+γ) – (β+δ) = (k +l)n. Δηλαδή εδώ χρησιμοποιούμε την πρώτη βασική ιδιότητα, που αναφέρθηκε στην αρχή: όταν η διαφορά δύο ακεραίων είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του n αυτοί είναι ισοϋπόλοιποι προς αυτόν.

Το ίδιο ισχύει και αν αφαιρέσουμε ή αν πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη. Π.χ. αν α ≡ β(mod n) και γ ≡ δ(mod n) τότε (αγ) ≡ (βδ)(mod n).  Με την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού κατά μέλη μπορούμε να βρούμε απάντηση στο εξής χρήσιμο πολλές φορές ερώτημα: Ενας αριθμός υψωμένος σε μια τεράστια δύναμη τι υπόλοιπο αφήνει κατά τη διαίρεσή του με έναν άλλον ακέραιο; Παράδειγμα: Ισχύει 37 ≡ 2(mod5). Αν με την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού κατά μέλη το επαναλάβουμε τρεις φορές θα έχουμε 37³  ≡ 2³ (mod5). Και έτσι αντί να ψάχνουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του 37³ ψάχνουμε ισοδύναμα το υπόλοιπο της διαίρεσης του 8 με το 5 που είναι το 3 φυσικά. Δηλαδή 37³  ≡ 3 (mod5). Οχι και άσχημα όπως θα δούμε αργότερα..

Διαίρεση, αρνητικοί αριθμοί

Εως εδώ δηλαδή πηγαίνουν τα πράγματα όμοια με ό,τι συμβαίνει στις ισότητες. Στη διαίρεση όμως το τοπίο συννεφιάζει. Κάποιες φορές μπορείς να διαιρέσεις κατά μέλη αλλά πρέπει να διαιρείται ακριβώς και ο διαιρέτης (modulo). Οπως στο παράδειγμα: 10 ≡ 2(mod8). Διαιρώντας διά 2 βλέπουμε ότι δεν ισχύει ότι 5≡1(mod8). Δεν προκύπτει λάθος (μόνον) αν (μπορεί να) διαιρεθεί και το 8 διά 2: 10 ≡ 2(mod8) =  5≡1(mod4).

Και κάτι ακόμη, σημαντικό: -8 ≡ 2(mod5) δηλαδή ο -8 είναι ισοϋπόλοιπος με τον 2 όταν διαιρεθεί με τον 5 αλλά δεν δίνει το ίδιο υπόλοιπο με τον +8, που αφήνει υπόλοιπο +3 αν διαιρεθεί με τον 5. Δηλαδή ας μη θεωρούμε ως δεδομένο πως ο αρνητικός αφήνει το ίδιο υπόλοιπο με τον αντίθετό του.

Τώρα πλέον ο δρόμος έχει ανοίξει. Πολύ εύκολα προκύπτει για παράδειγμα ο κανόνας για το αν ένας αριθμός Ν είναι διαιρετός με το 3. Είναι γνωστό πως αρκεί να αθροίσουμε τα ψηφία του και πρέπει το άθροισμα να δίνει αριθμό που να διαιρείται ακριβώς με το 3.

Ας πάρουμε λοιπόν έναν τετραψήφιο αριθμό, τον ΑΒΓΔ, που έχει μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες. Μπορεί να αναλυθεί ως εξής: Α(1000) + Β(100) + Γ(10) + Δ = Α(999 + 1) +Β(99 +1) +Γ(9 + 1) + Δ = 3(333A + 33B + 3Γ) + (Α + Β +Γ + Δ). Και εδώ ακριβώς θα ζητήσουμε από τους αναγνώστες να συνεχίσουν την απόδειξη. Για όποιον δυσκολευτεί υπάρχει και η… επόμενη Κυριακή.

Πνευματική Γυμναστική

1. Τα παρακάτω δύο είναι αντιπροσωπευτικά το καθένα μιας ολόκληρης κατηγορίας προβλημάτων αντίστοιχα:

•  Αγόρασε κάποιος σε ζωοπανήγυρη μια κατσίκα με 60 ευρώ, την πούλησε αμέσως εισπράττοντας 70 ευρώ. Στον ίδιο χώρο μετά από λίγο την αγόρασε ξανά δίνοντας 80 ευρώ γιατί είχε βρει αγοραστή που του πλήρωσε αμέσως 90 ευρώ για να την πάρει. Είναι το κέρδος του 30 ευρώ, 10 ή μήπως κάποιο άλλο ποσό;
• Τρεις βρύσες τροφοδοτούν μια πισίνα. Η πρώτη τη γεμίζει μόνη της σε δύο ημέρες, η δεύτερη σε τρεις ημέρες και η τρίτη σε έξι ώρες. Με ανοικτές και τις τρεις ταυτόχρονα σε πόσο χρόνο γεμίζει η πισίνα;

2. Αλλο ένα κλασικό: Δύο μαθηματικοί συναντιούνται μετά από χρόνια στην τραπεζαρία ενός ξενοδοχείου. Μιλούν για τις οικογένειές τους. Ο πρώτος λέει: Εχω τρία παιδιά, το άθροισμα των ηλικιών τους είναι 13 και το γινόμενο ο αριθμός του δωματίου σου. Ο άλλος τον κοιτούσε σαν να του έλειπε κάτι ακόμη οπότε λέει ο πρώτος: Α ναι, το μεγαλύτερο παιδί μου γεννήθηκε στη Θεσσαλονίκη. Ετσι, ο άλλος βρήκε ακριβώς τις ηλικίες τους.

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Από τα δύο ερωτήματα προφανώς το πρώτο είχε ρόλο να προϊδεάσει τους αναγνώστες για το δεύτερο. Κάποιος σε αυστηρή δίαιτα για μία εβδομάδα, την ημέρα που κάνει διάλειμμα (τη γνωστή και ως cheat day) καταβροχθίζει 7 λουκουμάδες. Στην ερώτηση «πόσους ακόμη μπορεί να φάει ώστε τελικά ο μέσος όρος του να είναι 1 λουκουμάς ανά ημέρα» η απάντηση είναι: κανέναν. Αφού ήδη με τους 7 έχουμε 1 ανά ημέρα.
Ας πάμε λοιπόν στο δεύτερο και κάπως πιο πολύπλοκο ερώτημα, όπου ένα αυτοκίνητο σε κλειστή πίστα κάνει τον πρώτο γύρο με σταθερή ταχύτητα 60 χιλιόμετρα την ώρα. Πόσο πρέπει να κάνει τον δεύτερο γύρο ώστε ο μέσος όρος της ταχύτητάς του και για τους δύο γύρους να είναι τελικά 120 χιλιόμετρα την ώρα; Σίγουρα δεν είναι (60 +120)/2 το σωστό αποτέλεσμα. Και αυτό θα φανεί εύκολα στη συνέχεια. Ας πούμε πως το μήκος του γύρου είναι Α χιλιόμετρα. Και τον πρώτο γύρο τον έκανε σε χρόνο t1 και τον δεύτερο σε t2. Αρα θέλουμε συνολικά 2 Α / (t1 + t2) = 120 ή Α / (t1 + t2) = 60. Αλλά μόνο για τον πρώτο γύρο ισχύει Α / t1 = 60. Επομένως θα πρέπει αναγκαστικά t2 = 0. Δηλαδή σε χρόνο σχεδόν μηδέν το αυτοκίνητο θα πρέπει να αναπτύξει σχεδόν άπειρη ταχύτητα. Κάτι που φυσικά δεν γίνεται.

2. Εδώ ζητούσαμε τον μεγαλύτερο ακέραιο αριθμό που μπορεί να σχηματιστεί αλλά με τον εξής περιορισμό: Να μην εμφανίζεται μέσα σε αυτόν κάποιο ζευγάρι διαδοχικών ψηφίων παραπάνω από μία φορά. Ο αριθμός αυτός είναι ο: 998979695949392919-8878685848382818-77675747372717-665646362616-5545352515-44342414-332313-2212-11-09. Με τις παύλες να έχουν μπει για να γίνει κατανοητός ο τρόπος χτισίματος του αριθμού. Σε όλα τα συστήματα (οκταδικό, δεκαεξαδικό κ.λπ.) μπορεί να βρεθεί αντίστοιχος αριθμός. Για το δυαδικό ποιος λέτε να είναι;