Είχαμε μείνει στη μέση της προσπάθειας να αποδείξουμε ότι ένας αριθμός διαιρείται ακριβώς διά του 3 αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται ακριβώς με το 3. Πήραμε έναν τετραψήφιο αριθμό, τον ΑΒΓΔ, που έχει μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες και τον αναλύσαμε ως εξής:

Α(1000) + Β(100) + Γ(10) + Δ =

Α(999 + 1) +Β(99 +1) +Γ(9 + 1) + Δ =

= 3(333A + 33B + 3Γ) + (Α + Β +Γ + Δ) (1).

Εδώ αρκεί να κάνουμε χρήση της ιδιότητας που είχαμε αναλύσει την προηγούμενη φορά και την επαναλαμβάνουμε: Αν α ≡ β(mod n) και γ ≡ δ(mod n) τότε ισχύει και (α+γ) = (β+δ)(mod n). Για το πρώτο κομμάτι λοιπόν της (1) θα ισχύει: 3(333A + 33B + 3Γ) ≡ 0 (mod 3) διότι διαιρείται ακριβώς διά 3. Για το δεύτερο κομμάτι της (1) αν ισχύει και γι’ αυτό (Α + Β + Γ + Δ) ≡ 0 (mod 3) τότε εφαρμόζοντας την ιδιότητα για το άθροισμα προκύπτει τελικά ότι ο ΑΒΓΔ είναι διαιρετός διά 3, αρκεί το άθροισμα των Α, Β, Γ, Δ να διαιρείται ακριβώς με το 3. Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο αποδεικνύουμε και ότι ένας αριθμός είναι διαιρετός με το 9 αν το άθροισμα των ψηφίων του δίνει αριθμό πολλαπλάσιο του 9.

Κάτι που συμβαίνει συχνά, κυρίως σε παρουσιάσεις που γίνονται στο YouTube για την αριθμητική των ισοϋπολοίπων, είναι κάποια πράγματα να φαίνεται πως γίνονται με ταχυδακτυλουργικό τρόπο. Εμείς λοιπόν θα παρουσιάζουμε κάποια από αυτά σε… σλόου μόσιον για διευκόλυνση όποιων μας διαβάζουν.

Μια όχι πολύ τονισμένη ιδιότητα είναι και η εξής: Εχουμε κάποιον ακέραιο αριθμό Κ που ισχύει γι’ αυτόν Κ ≡ 2 (mod 3) και Κ ≡ 2 (mod 7), τότε θα ισχύει και ότι Κ ≡ 2 (mod [ε.κ.π. (3,7)], δηλαδή εδώ: Κ ≡ 2 (mod 21). Αν δηλαδή ο Κ αφήνει το ίδιο υπόλοιπο με τον 2 όταν διαιρείται με τον 3 και τον 7 τότε θα αφήνει το ίδιο υπόλοιπο και με το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των 3 και 7 που είναι το 3 Χ 7 = 21. Θα ήταν χρήσιμο να προσπαθήσει όποιος θέλει να την αποδείξει και να τη συγκρίνει με τη δική μας την επόμενη φορά.

Μία ακόμη πολύ δυνατή πλευρά της modulo αριθμητικής είναι οι αριθμοί οι υψωμένοι σε μεγάλες (έως και ασύλληπτα μεγάλες) δυνάμεις. Ας υποθέσουμε πως χρειαζόμαστε να βρούμε ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 17¹⁶.

Οταν μας ζητούν τελευταίο ή τελευταία ψηφία ενός ακεραίου αμέσως ο νους μας θα πηγαίνει σε διαίρεση modulo 10 ή 100 ή 1000 αντίστοιχα. Ξεκίνημα λοιπόν με το 17 ≡ 7 (mod 10). Από την ιδιότητα για τον πολλαπλασιασμό: αν α ≡ β(mod n) και γ ≡ δ(mod n) τότε (αγ) ≡ (βδ)(mod n) με πολλαπλασιασμό με τον εαυτό του παίρνουμε τελικά: 17¹⁶ ≡ 7¹⁶ (mod 10) ≡ (7²)⁸ (mod 10) ≡ 49⁸ (mod 10) ≡ (-1)⁸ (mod 10)  (διότι ισχύει 49 και -1 ισοϋπόλοιποι αφού με τον τρόπο που έχουμε δείξει σε προηγούμενη συνέχεια -1 = Π Χ 10 + υ και για Π = -1 προκύπτει υ = 9). Τελικά λοιπόν 17¹⁶ ≡ (-1)⁸ (mod 10), δηλαδή 17¹⁶ ≡ (+1) (mod 10). Αρα το τελευταίο ψηφίο είναι το 1.

Πνευματική Γυμναστική

1. Ενα αγόρι, ένα κορίτσι και ο σκύλος τους. Το κορίτσι πηγαίνει μπροστά με ταχύτητα 6 χιλιόμετρα την ώρα. Το αγόρι πιο πίσω πάει με 5 χιλιόμετρα την ώρα. Ο σκύλος πηγαινοέρχεται χαρούμενος ανάμεσά τους με 10 χιλιόμετρα την ώρα. Πόσα χιλιόμετρα προλαβαίνει να κάνει ο σκύλος σε 1 ώρα;
2. Ο Γιάννης είναι ερωτευμένος με την Αλίκη και θέλει να της στείλει ένα δαχτυλίδι μέσα σε ένα ξύλινο κουτάκι που κλειδώνεται με λουκέτο και κλειδί. Και η Αλίκη διαθέτει λουκέτα και κλειδιά. Πώς γίνεται να στείλει ο Γιάννης το δαχτυλίδι χωρίς τον κίνδυνο να ανοίξει κάποιος το κουτί; (Αυτή είναι μια προσομοίωση κρυπτογράφησης που θα μας απασχολήσει αργότερα.)

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Τα παρακάτω δύο είναι αντιπροσωπευτικά το καθένα μιας ολόκληρης κατηγορίας προβλημάτων αντίστοιχα:

• Αγόρασε κάποιος σε ζωοπανήγυρη μια κατσίκα με 60 ευρώ, την πούλησε για 70, την αγόρασε πάλι για 80 και την πούλησε για 90. Είναι το κέρδος του 30 (90 – 60) ευρώ, 10 (90 – 80) ή μήπως κάποιο άλλο ποσό; Εδώ το πρόβλημα είναι πώς εξηγείς στον άλλον ότι δεν είναι ούτε 10 ούτε 30 το κέρδος του χωρίς να μπερδευτεί. Επιλέξαμε την εξής μέθοδο: Ας είναι δύο μόνον οι αγοραστές-πωλητές που έχουν αρχικά 100 ευρώ ο καθένας στην τσέπη του. Ο Α αγοράζει και δίνει 60 ευρώ, άρα έχει τώρα 100 – 60 = 40. Πουλάει για 70 και έχει 40 + 70 = 110. Αγοράζει για 80 και έχει 110 – 80 = 30. Τέλος πουλάει για 90 και έχει 30 + 90 = 120. Αρα κέρδος: 20 ευρώ.
• Εδώ τρεις βρύσες τροφοδοτούσαν μια πισίνα. Η πρώτη τη γεμίζει μόνη της σε δύο ημέρες, η δεύτερη σε τρεις ημέρες και η τρίτη σε έξι ώρες. Ανοίγουμε και τις τρεις ταυτόχρονα και η ερώτηση είναι σε πόσο χρόνο θα τη γεμίσουν. Η λύση αυτών των προβλημάτων (στην ουσία πρακτικής αριθμητικής και χρήσης) απαιτεί την εξής πρώτη κίνηση: Να βρίσκουμε μια κοινή μονάδα χρόνου για όλες και για την κάθε βρύση την παροχή της (δηλαδή πόσο νερό ρίχνει στην πισίνα) σε αυτή τη μονάδα χρόνου. Εδώ η μονάδα χρόνου θα είναι η 1 ώρα και αφού η πρώτη τη γεμίζει σε 48 ώρες (=2 ημέρες), σε 1 ώρα γεμίζει το (1/48) της πισίνας. Και για τις άλλες ισχύει αντίστοιχα (1/72), (1/96) και (1/6). Προσθέτουμε και προκύπτει ότι και οι τρεις μαζί σε 1 ώρα γεμίζουν το (61/288) της πισίνας. Αρα ολόκληρη θα γεμίσει σε τόσες ώρες όσες φορές χωράει το 61 στο 288. Δηλαδή σε 4 ώρες 43 λεπτά και περίπου 17 δευτερόλεπτα.

2. Στη συνάντηση δύο μαθηματικών μετά από χρόνια έγινε αναφορά στο πόσα παιδιά έχει ο ένας από τους δύο και για τις ηλικίες τους: Εχω τρία παιδιά, είπε ο πρώτος. Με άθροισμα ηλικιών 13 και γινόμενο ίσο με τον αριθμό του δωματίου σου. Ο άλλος τον κοιτούσε σαν να του έλειπε κάτι ακόμη οπότε λέει ο πρώτος: Α ναι, το μεγαλύτερο παιδί μου γεννήθηκε στη Θεσσαλονίκη. Τότε προέκυψαν αμέσως οι ηλικίες. Δεν ξέρουμε αν ο άλλος μαθηματικός έβγαλε χαρτί και μολύβι αλλά εμείς θα ξεκινήσουμε από το ποιοι συνδυασμοί τριών ακεραίων δίνουν άθροισμα 13 και ποιο είναι το γινόμενό τους. Αυτοί είναι οι παρακάτω: (9 3 1 – 27, 8 4 1 – 32, 7 5 1 – 35, 9 2 2 – 36, 6 6 1 – 36, 8 3 2 – 48, 7 4 2 – 56, 6 5 2 – 60, 7 3 3 – 63, 6 4 3 – 72, 5 5 3 – 75, 5 4 4 – 80). Ο λόγος που ακόμη δεν βγαίνει άκρη είναι πως δύο συνδυασμοί δίνουν το ίδιο γινόμενο: (9 2 2 – 36) και (6 6 1 – 36). Προφανώς έχουμε δίδυμα παιδιά και στις δύο περιπτώσεις αλλά η λέξη «μεγαλύτερος» (και όχι η λέξη Θεσσαλονίκη) οδηγεί στην επιλογή του συνδυασμού (9 2 2 – 36).

* Στην ερώτηση (της προηγούμενης φοράς) ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός στο δυαδικό σύστημα χωρίς επαναλαμβανόμενα ζευγάρια ψηφίων η απάντηση είναι: 1 1 0 1.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα