Ο «σταυρός» του πολλαπλασιασμού

Η σελίδα αυτή δεν το έχει κρύψει. Ευχαρίστως δέχεται δώρα από τους αναγνώστες! Οπως αυτό που μας έκανε ο καθηγητής στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών κ. Ανδρέας Αρβανιτογεώργος.

Πρόκειται για μια απόδειξη (παρουσιασμένη «με δικά μας λόγια») σχετική με τη δοκιμή του πολλαπλασιασμού, τον κλασικό εκείνο «σταυρό», που διδάσκεται ήδη από το δημοτικό σχολείο. Αν και το γιατί «δουλεύει» δεν το μαθαίνουν οι μικροί μαθητές (τις πιο πολλές φορές ούτε και οι μεγάλοι). Εχει όμως να κάνει με τις ιδιότητες της αριθμητικής των ισοϋπολοίπων ή ισότιμων αριθμών (modular arithmetic) που κάποια εξοικείωση με αυτήν προσπαθήσαμε να αποκτήσουν οι αναγνώστες τις προηγούμενες εβδομάδες.

Οταν διδαχτήκαμε στο δημοτικό σχολείο την πράξη του πολλαπλασιασμού μεταξύ ακέραιων θετικών αριθμών οι περισσότεροι μάθαμε και έναν τρόπο επαλήθευσης. Εστω, για παράδειγμα, ότι έχουμε τον πολλαπλασιασμό 2.315 x3.822 = 8.847.930. Αθροίζουμε τα ψηφία καθενός από τους αριθμούς και του γινομένου τους καταλήγοντας σε μονοψήφιους ακεραίους. Από τον πολλαπλασιαστέο έχουμε: 2+3+1+5 = 11 à 1+1 = 2, από τον πολλαπλασιαστή: 3+8+2+2 = 15 à 1+5 = 6,  οπότε 2×6 = 12 ή 1+2 = 3. Πηγαίνουμε στο γινόμενο: 8+8+4+7+9+3+0 = 39 à 3+9 = 12 à 1+2 = 3.  Αφού 3 = 3 πρέπει να είναι σωστός ο πολλαπλασιασμός (το πότε δεν ισχύει θα αναλυθεί στο επόμενο).

Για τη δοκιμή του πολλαπλασιασμού λοιπόν σχηματίζουμε έναν σταυρό. Επάνω μπαίνουν τα αθροίσματα των ψηφίων των δύο αριθμών (εδώ το 2 και το 6), κάτω αριστερά το άθροισμα των ψηφίων του γινομένου και στην τέταρτη θέση του «σταυρού» κάνουμε τον πολλαπλασιασμό των επάνω μεταξύ τους και αθροίζουμε τα ψηφία (εδώ: 2×6 = 12 οπότε 1+2 = 3)

2 | 6

—–

3 | 3

Προκειμένου να εξηγηθεί η διαδικασία αυτή, χρειαζόμαστε τη modulo αριθμητική. Στα προηγούμενα είχαμε αποδείξει και δουλέψει επάνω στις παρακάτω ιδιότητες:

1) Αν α ≡ β (mod ν) και γ ≡ δ (mod ν), τότε

α) α + γ ≡ (β + δ) (mod ν),

β) αγ ≡ (βδ) (mod ν).

2) Εστω ότι α ≡ β (mod ν). Τότε από την 1β) έπεται ότι α² ≡ β² (mod ν) και επαγωγικά ότι α^μ ≡ β^μ (mod ν), για κάθε φυσικό αριθμό μ.

Ερχόμαστε τώρα στη δοκιμή του πολλαπλασιασμού.

Ως γνωστόν, κάθε φυσικός αριθμός Ν μπορεί να παρασταθεί στο δεκαδικό σύστημα με τη μορφή Ν = α_ν10^ν + α_ν-110^ν-1 + ⸱⸱⸱ +α₁10+ α₀  όπου 0 ≤α_i≤ 9.  Για παράδειγμα, 41.789 = 4⸱10⁴ + 1⸱10³ + 7⸱10² + 8⸱10 + 9.

Στον αριθμό Ν αντιστοιχούμε τώρα το άθροισμα S_N = α_ν+ α_ν-1+ ⸱⸱⸱ + α₁+ α₀, δηλαδή το άθροισμα των ψηφίων του Ν.  Σχηματίζουμε τη διαφορά: Ν – S_N = (10^ν α_ν  – α_ν) + (10^ν-1 α_ν-1 –  α_ν-1 ) + … + (10α₁ – α₁) δηλαδή

Ν – S_N = α_ν (10^ν– 1) + α_ν-1 (10^ν-1 – 1) + … + α₁ (10 -1).

Επειδή όμως οι ποσότητες μέσα στις παρενθέσεις συμβαίνει να είναι ακέραια πολλαπλάσια του 9, θα ισχύει τελικά ότι Ν – S_N = 9κ, με κ κάποιον ακέραιο.

Αυτό έχουμε δείξει ότι είναι ισοδύναμο με το ότι Ν ≡ S_N (mod 9). Με άλλα λόγια, και αν κάποιος χάθηκε στις πράξεις, ένας ακέραιος είναι ισοϋπόλοιπος με το άθροισμα των στοιχείων του στην (ακέραια) διαίρεση με το 9. Αν λοιπόν Ν είναι ο πολλαπλασιαστέος και Μ ο πολλαπλασιαστής, έχουμε: Ν ≡ S_N(mod 9) και Μ ≡ S_{Μ (}mod 9). Αρα από τις ιδιότητες 1α) και 1β):

Μ + Ν ≡ (S_Μ + S_N)(mod 9),  και  ΜΝ ≡ (S_ΜS_N) (mod 9)

Αλλά και το γινόμενο των Μ και Ν, με το ίδιο σκεπτικό που έβγαλε τα (Ν, S_N) και (Μ, S_Μ) ισοδύναμα μεταξύ τους θα είναι ισοϋπόλοιπο ή ισοδύναμο με το άθροισμα των ψηφίων του, δηλαδή S_ΜΝ ≡ ΜΝ (mod 9) για να καταλήξουμε σε αυτό που είναι ο πυρήνας της δοκιμής του πολλαπλασιασμού: S_ΜΝ ≡ (S_ΜS_N) (mod 9)

Ερχόμενοι στο αρχικό μας παράδειγμα, έχουμε Μ = 2.315, Ν = 3.822 και ΜΝ = 8.847.930. Τότε Μ ≡ S_Μ (=2 + 3 + 1 + 5 = 11 = 1+ 1) ≡ 2 (mod 9), Ν ≡ S_N(=3 + 8 + 2 + 2) ≡ 6 (mod 9), ΜΝ ≡ S_ΜΝ(=8 + 8 + 4 + 7 + 9 + 3 + 0 = 12) ≡ 3 (mod 9).  Πράγματι, 2×6 = 12 ≡ 3 (mod 9).

Τελικά, o περίεργος σταυρός της δοκιμής του πολλαπλασιασμού δεν είναι τίποτε άλλο από την ισοτιμία S_ΜΝ ≡ S_ΜS_N(mod 9).

S_M|S_N

————–

S_MS_Ν | S_MN

Οι πλέον φιλόδοξοι ας επιχειρήσουν και τη δοκιμή της πρόσθεσης, ο δρόμος στρώθηκε!