Ξεκινούμε από αυτό που θα έπρεπε να συγκρατήσει ο αναγνώστης από την προηγούμενη φορά, και μάλιστα το είχαμε αποδείξει: Ενας ακέραιος θετικός και το άθροισμα των ψηφίων του αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο αν διαιρεθούν με το 9. Για παράδειγμα, ο 14 και το άθροισμα των ψηφίων του: 1 + 4 = 5 αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο, 5, όταν διαιρούνται με το 9. Αρα 14 ≡ 5 (mod 9).

Δεν ξεχνάμε και τη βασική ιδιότητα: Αν α ≡ β (mod ν) και γ ≡ δ (mod ν), τότε  α + γ ≡ β + δ (mod ν).

Σχετικά τώρα με τη δοκιμή του πολλαπλασιασμού, ένα θέμα που αναπτύχθηκε στο προηγούμενο, υπάρχει η εξής παρατήρηση από τον καθηγητή στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών, κ. Ανδρέα Αρβανιτογεώργο: «Η διαδικασία με τον «σταυρό» και η σχετική απόδειξη  είναι σωστές, αλλά υπάρχει και η εξής (κάπως σπάνια) περίπτωση: Το γινόμενο: 101 Χ 11 = 1111, ελέγχεται με τον σταυρό και είναι εντάξει. Αλλά κάποιος μπορεί να κάνει κάπου ένα ιδιαίτερο λάθος και να βγάλει (λανθασμένα) ότι 101 Χ 11 = 3001. Τότε όμως προκύπτει ότι ο σταυρός θα είναι ο ίδιος με αυτόν του σωστού πολλαπλασιασμού και έτσι θα δώσει την εντύπωση ότι η πράξη του είναι σωστή. Προφανώς, μπορεί να γίνουν  και διάφορα άλλα λάθη που τότε όμως ο σταυρός θα τα βγάλει λάθος, όπως για παράδειγμα αν προκύψει ότι 101 Χ 11 = 1011. Το συμπέρασμα από όλα αυτά είναι πως αν ο πολλαπλασιασμός είναι σωστός, τότε ο σταυρός θα πιστοποιήσει την ορθότητά του. Αν όμως ο πολλαπλασιασμός είναι λάθος, και πρόκειται για ένα ιδιαίτερο λάθος, τότε ο σταυρός δεν θα δείξει ότι ο πολλαπλασιασμός είναι λάθος. Με άλλα λόγια, υπάρχει περίπτωση να είμαστε «άτυχοι» και ο σταυρός να δείξει ότι ο πολλαπλασιασμός είναι, λανθασμένα, σωστός».

Η δοκιμή της πρόσθεσης

Στο τέλος της προηγούμενης συνέχειας είχαμε προκαλέσει τους αναγνώστες, τους πλέον «εργατικούς» (αυτός είναι ένας πολιτικά μάλλον πιο ορθός όρος από άλλους, με αναφορές στο… φυτικό βασίλειο, για όποιον ασχολείται επίμονα με κάτι). Τους ζητούσαμε να ασχοληθούν και με την απόδειξη  της δοκιμής της πρόσθεσης. Οπου αθροίζεις τα ψηφία του καθενός από τους προσθετέους, βρίσκεις το άθροισμά τους, μετά προσθέτεις μεταξύ τους και τα ψηφία του αθροίσματος. Τελικά πρέπει αυτά τα δύο να συμπίπτουν. Παράδειγμα: 2315 + 3822 = 6137.

2 + 3 + 1+ 5 = 11 και 11 ≡ 2 (mod 9) αφού 1 + 1 = 2. Επίσης 3 + 8 + 2 + 2 = 15 και 15 ≡ 6 (mod 9) αφού 1 + 5 = 6. Οταν προστεθούν δίνουν: 2 + 6 = 8.

Για το άθροισμα 6137 έχουμε: 6 + 1 + 3 + 7 = 17, οπότε 1 +7 = 8. Αρα από τις δύο διαδικασίες παίρνουμε 8 που είναι ισοϋπόλοιποι και η πρόσθεση ήταν σωστή. Τα παραπάνω αποδεικνύονται και στη γενική περίπτωση όπως έγινε και με τη δοκιμή του πολλαπλασιασμού.

Παίρνουμε για συντομία δύο ακέραιους θετικούς αριθμούς, τον Μ και τον Ν. Θα έχουμε: Ν = α_ν10^ν + α_ν-110^ν-1 + ⸱⸱⸱ + α₁10 + α₀  και Μ = β_ν10^ν + β_ν-110^ν-1 + ⸱⸱⸱ + β₁10+ β_0,  όπου 0 ≤α_i, β_ι≤ 9 . Αν S_N είναι το άθροισμα των συντελεστών του Ν και S_M το άθροισμα των συντελεστών του Μ, είχαμε αποδείξει ότι το άθροισμα των δύο αυτών ακέραιων θετικών αριθμών είναι ισοϋπόλοιπο με το άθροισμα των ψηφίων που το αποτελούν, δηλαδή ότι ισχύει Μ + Ν ≡ (S_Μ + S_N) (mod 9).

Αλλά και το άθροισμα των Μ και Ν, με το ίδιο σκεπτικό που έβγαλε τα (Ν, S_N)  και (Μ, S_Μ) ισοδύναμα μεταξύ τους θα είναι ισοϋπόλοιπο ή ισοδύναμο με το άθροισμα των ψηφίων του, δηλαδή  S_(Μ+Ν) ≡ Μ + Ν (mod 9), άρα (S_Μ + S_N) ≡ S_(Μ+Ν) (mod 9) που είναι ο «τύπος» της δοκιμής της πρόσθεσης.

Οπως θα δούμε στο επόμενο και τελευταίο κομμάτι αυτής της ενότητας, η αριθμητική των ισοϋπολοίπων παίζει σημαντικό ρόλο στην κρυπτογράφηση κειμένων που διακινούνται μέσω Διαδικτύου και κινητής τηλεφωνίας. Και επειδή πολλοί από τους αναγνώστες της σελίδας είναι εκπαιδευτικοί της δευτεροβάθμιας και της τριτοβάθμιας εκπαίδευσης, θα είχε ενδιαφέρον να μας έλεγαν αν κατά τη γνώμη τους στοιχεία της θεωρίας αυτής θα άξιζε να συμπεριληφθούν στη διδακτέα ύλη στη Μέση Εκπαίδευση.

Πνευματική γυμναστική

1. Οι γωνίες ενός τριγώνου είναι σε αναλογία 5:6:7. Να βρεθεί η μικρότερη γωνία. (Δεν είναι δύσκολο αλλά το κάνει δύσκολο η πολύ κακή διατύπωση. Χρειάζεται μια πολύ προσεκτική ανάλυση γι’ αυτό το 5:6:7, μια μορφή αναλογίας πολύ συχνή ακόμα και στον καθημερινό Τύπο.)

2. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος τριψήφιος πρώτος αριθμός (δηλαδή ένας που διαιρείται ακριβώς μόνο από τον εαυτό του και τη μονάδα, π.χ. ο 13 ή ο 157) με τα ψηφία του να είναι τρεις διαφορετικοί πρώτοι αριθμοί;

Οι απαντήσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Για έναν κύβο φτιαγμένο από 10 Χ 10 Χ 10 μικρότερους κύβους ζητούσαμε να βρεθεί πόσοι κύβοι δεν ανήκουν στο εξωτερικό τοίχωμα του μεγάλου κύβου. Αφαιρώντας το πρώτο στρώμα από όλες τις πλευρές μένει ένας κύβος με 8 Χ 8 Χ 8 = 512 μικρότερους κύβους.

2. Ζητούσαμε τους θετικούς ακέραιους  αριθμούς ν, που κάνουν τα αθροίσματα: 1! + 2! + 3! + … + ν! τέλεια τετράγωνα. Π.χ. ν = 1 και ν = 3 είναι τέτοιοι ενώ ο ν = 2 όχι. Υπάρχουν άλλοι; (ν! σημαίνει: 1 Χ 2 Χ 3 Χ 4 Χ … Χ ν). Το 1 είναι χωρίς αμφιβολία και το 3 διότι 1! + 2! + 3! = 1 + 2 + 6 = 9, δηλαδή 3² (αφού 3! = 1 x 2 x 3 = 6). Ομως για ν = 4:  1! + 2! + 3! + 4! = 1 +2 +6 +24 = 33 δεν ισχύει. Για ν μεγαλύτερα του 4 τα ν! δίνουν αριθμούς πολλαπλάσια του 10 ( π.χ. 5! = 120, 6! = 720 κ.λπ.). Προσθέτοντας σε αυτά και το 33 από τα 1! + 2! + 3! + 4! θα βγαίνει πάντα ένα άθροισμα με τελευταίο ψηφίο το 3, άρα αποκλείεται να είναι τέλειο τετράγωνο.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα