Στις 18 Ιουλίου, για έναν κύβο φτιαγμένο από 10x10x10 μικρότερους κύβους ζητούσαμε να βρεθεί πόσοι κύβοι δεν ανήκουν στο εξωτερικό τοίχωμα του μεγάλου κύβου. Είχαμε δώσει μια πολύ απλή λύση: Αφαιρώντας το πρώτο στρώμα από όλες τις πλευρές μένει ένας κύβος  με 8x8x8 = 512 μικρότερους κύβους. Ο αναγνώστης μας Γ. Μητρόπουλος όμως έχει στείλει μια λύση-γενίκευση για κύβο με n μικρότερους κύβους στην κάθε πλευρά. Οπως γράφει: «Μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα αν κάνουμε «ξεφλούδισμα», αφαιρώντας διαδοχικά τα τρία ζευγάρια αντικείμενων πλευρών κύβου ακμής n (επάνω-κάτω-εμπρός-πίσω-αριστερά-δεξιά)».

Πόσοι μικροί κύβοι απομένουν τότε;

Υπολειπόμενος κύβος = n³ – [2n² + 2n(n-2) + 2(n-2)²] [Α]

Εξήγηση: Οι δύο έδρες που αφαιρέθηκαν, π.χ. επάνω-κάτω, περιείχαν 2n²  μικρούς κύβους. Οταν αφαιρέθηκαν οι δύο επόμενες πλευρές αριστερά-δεξιά, αυτές είχαν διαστάσεις  n επί (n – 2), άρα από εκεί αφαιρέθηκαν 2n(n – 2) μικροί κύβοι  έχοντας μετατραπεί οι δύο πλευρές σε παραλληλόγραμμα. Τέλος, αφαιρώντας και το τρίτο ζευγάρι εμπρός-πίσω, που έχει πλέον τετράγωνες πλευρές (n – 2)επί(n – 2)  αφαιρούνται 2(n – 2)²  μικροί κύβοι και μένει ένας κύβος με πλευρές (n – 2).  Αρα οι πλευρές μειώνονται κατά δύο σε κάθε διάσταση, και αν ξεκινήσουμε από τον κύβο 10x10x10 με τέσσερις διαδοχικές αφαιρέσεις καταλήγουμε σε κύβο 2x2x2 που είναι προφανώς θεμελιώδης (δεν μπορεί να ελαττωθεί σε λιγότερους, διαλύεται). Αν ο αρχικός κύβος είχε περιττό πλήθος κύβων στην ακμή του και κάνοντας πάλι τις διαδοχικές αφαιρέσεις θα φθάναμε σε θεμελιώδη κύβο 1x1x1.

Αρα συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν δύο οικογένειες κύβων με αντίστοιχα περιττή και άρτια πλευρά. Η δημιουργία των δύο ακολουθιών κύβων μπορεί να γίνει με την αντίθετη διαδικασία, αντί για «ξεφλούδισμα» επικόλληση έξι πλευρών, οπότε από έναν κύβο n³ καταλήγουμε στον (n + 2)³.

Οι επιπλέον κύβοι είναι:

(n + 2)³– n³ = 6n² + 12n + 8 Β] που είναι φυσικά ίσο με τη διαδικασία επικόλλησης των έξι πλευρών:  2[n² + n(n-2) + (n-2)²] από την εξίσωση [Α], αλλά αντικαθιστώντας το n με το (n+2). Επειδή ξεκινώντας από τον κύβο n προσθέτουμε 2 και δεν αφαιρούμε! Ο αναγνώστης μπορεί να το επιβεβαιώσει κάνοντας τις πράξεις. (Βλέπε πίνακα)

Συγχώνευση των δύο οικογενειών κύβων

Ενα ενδιαφέρον ερώτημα που προκύπτει, γράφει ο αναγνώστης μας, είναι αν οι δύο ακολουθίες σχετίζονται. Αν από τον κύβο n³ μπορούμε να παραγάγουμε τον επόμενο (n+1)³ με κάποια διαδικασία πλευρικής επικόλλησης.  Η απάντηση είναι καταφατική.

Εκκινώντας από τον κύβο με n³ μικρούς κύβους, τον τοποθετούμε επάνω σε ένα τετράγωνο στρώμα με πλευρά n + 1 μικρούς κύβους. Ακολούθως υψώνουμε έναν «τοίχο» στη μια πλευρά μέχρι το ύψος n του κύβου και τέλος τοποθετούμε τη δεξιά πλευρά. Ετσι ο κύβος n³ έχει «φυτευτεί»  στην καρδιά ενός πλαισίου τριών τοίχων. Οι επιπλέον κύβοι είναι από το στρώμα της βάσης  (n+1)², από την αριστερή πλευρά n(n+1), και από τη δεξιά n².

Επιπλέον συνολικά: 3n² + 3n +1 [Γ]                    

Κάνοντας μία μικρή επαλήθευση αν n=4, οι επιπλέον κύβοι είναι 3x4x4 + 3×4 + 1 = 61, άρα 64 (ο αρχικός κύβος: 4x4x4) + 61 επιπλέον = 125 τα κυβίδια του κύβου με ακμή  5.

Εφαρμόζοντας την εξίσωση [Γ] για τον μεθεπόμενο κύβο από ακμή (n+1) σε ακμή  (n+2) έχουμε  3(n+1)² + 3(n+1) + 1 = 3n² + 9n + 7 [Δ]

Προσθέτοντας [Γ] + [Δ], τους επιπλέον δηλαδή κύβους από τον n σε (n+1) και από (n+1) σε (n+2) βρίσκουμε 6n² +12n + 8, που δεν είναι άλλο από τον τύπο [Β] που δίνει τους επιπλέον κύβους για άλμα από κύβο με ακμή n σε n+2.

Απαντώντας χωρίς μολύβι και χαρτί

•  Αν 20% του Α = Β, τότε πόσο κάνει Β% του 20; Επειδή 20% του Α σημαίνει: (20x Α/100) = Β, τότε Β% του 20 είναι: (Β x20/100)  = (20 x Α/100)x(20/100)  = (400  x Α/10 000), δηλαδή 4%Α.
• Πόσο κάνει 999999 x 999999; Αρκεί να σκεφθούμε ότι 999999 = (1.000.000) – 1, οπότε το προς υπολογισμό γινόμενο γίνεται: (1.000.000 -1)² και από τη γνωστή ταυτότητα για το (α – β)²  έχουμε (1.000.000)²  –  2 x (1.000.000) + 1 που μας δίνει 1.000.000.000.000 – 2.000.000 + 1 = 999.998.000.001.

Πνευματική Γυμναστική

1. Για την ταυτότητα (α + β)2 = α2 + 2αβ + β2 υπάρχει τρόπος να δειχθεί πειστικά και οπτικά (στον πίνακα ή σε ένα φύλλο χαρτί) ότι αυτό ισχύει;
2. Στην επιφάνεια μιας σφαίρας διαλέγουμε πέντε τυχαία σημεία. Να δειχθεί ότι θα υπάρχει πάντα ένα ημισφαίριο που επάνω του θα βρίσκονται τουλάχιστον τα τέσσερα από τα πέντε σημεία.

Οι απαντήσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Ας φανταστούμε τρία πούλια όπως αυτά που παίζουμε τάβλι, ένα μπλε, ένα κόκκινο και ένα άσπρο. Τα βλέπουμε και μετά μας κλείνουν τα μάτια και μας λένε πως έδωσαν στα πούλια τα ονόματα Χ, Υ, Ζ. Και ότι γι’ αυτά έχουμε τρεις χαρακτηρισμούς: α) Σ1: Το Χ είναι κόκκινο. β) Σ2: Το Υ δεν είναι κόκκινο. γ) Σ3: Το Ζ δεν είναι μπλε. Αλλά μόνον το ένα από τα α, β, γ αληθεύει. Ζητείται το χρώμα των Χ, Υ, Ζ. Αν το Σ1 είναι αληθές, τότε είναι και το Σ2 αληθές, που απαγορεύεται από τα δεδομένα. Αρα κρατάμε για όλα τα επόμενα ότι το Χ δεν είναι κόκκινο. Αν το Σ2 είναι αληθές το Υ είναι μπλε ή λευκό. Οπότε σε συνδυασμό με το ότι το Χ δεν είναι κόκκινο θα δώσει πως Χ μπορεί να είναι ένα εκ των δύο: μπλε ή λευκό. Ας πούμε λευκό, οπότε το Υ να είναι μπλε (και αντίστροφα) που δίνει (και στις δύο περιπτώσεις) στο τέλος ότι το Ζ είναι κόκκινο, αλλά αυτό κάνει ταυτόχρονα αληθές και το γ), οπότε και αυτό απορρίπτεται. Τι μας μένει; Να είναι αληθές το Σ3: Αυτό δίνει το Ζ κόκκινο ή λευκό και ταυτόχρονα το Σ2 είναι ψευδές, άρα το Υ είναι κόκκινο. Και αυτό κάνει το Ζ λευκό, οπότε αναγκαστικά το Χ είναι μπλε.
2. Σε έναν δρόμο με πολύ αραιή κυκλοφορία η πιθανότητα να περάσει αυτοκίνητο μέσα σε διάστημα μισής ώρας είναι 95%. Πόση είναι η πιθανότητα να περάσει αυτοκίνητο μέσα σε ένα δεκάλεπτο; Λοιπόν, η πιθανότητα να μην περάσει αυτοκίνητο στα τριάντα λεπτά είναι 5% (100 – 95) ή αλλιώς 0,05. Σπάμε τα 30 λεπτά σε τρία διαδοχικά δεκάλεπτα. Αν Π είναι η πιθανότητα να περάσει αυτοκίνητο στο δεκάλεπτο, 1 – Π είναι η πιθανότητα να μην περάσει. Το να περάσει και το δεύτερο δεκάλεπτο χωρίς αυτοκίνητο η πιθανότητα θα είναι: (1 – Π) x (1 – Π) και για να μην περάσει ούτε το τρίτο (1 – Π) x (1 – Π) x (1 – Π). Και αυτό είχαμε βρει πως είναι ίσο με 0,05. Λύνουμε λοιπόν την (1 – Π)3 = 0,05 ως προς Π, με την τρίτη ρίζα του 0,05 να είναι 0,368, άρα η πιθανότητα Π είναι 1 – 0,368, δηλαδή 63,2%.