Είχαμε αφήσει την τάξη των πεντάχρονων και εξάχρονων, το πολύ, παιδιών σε έναν γόνιμο αναβρασμό. Τα παιδιά υποτίθεται πως δεν έχουν ακούσει ακόμη ούτε καν τα ονόματα των αριθμών. Το καθένα έχει μπροστά του πλέον δώδεκα φακελάκια αδιαφανή, που το καθένα έχει μέσα κουμπιά ή πολύ μικρά βότσαλα (ακόμη καλύτερα αν το ένα παιδί έχει βότσαλα και το άλλο κουμπιά ή γκαζές) και όπου ένα φακελάκι είναι εντελώς άδειο, ενώ από το δεύτερο και πέρα το πλήθος των όσων αντικειμένων περιέχει αυξάνεται κατά ένα. Τους δώσαμε αυτοκόλλητες ετικέτες και ζητήσαμε να γράψουν επάνω στην καθεμία από κάτι διαφορετικό, ό,τι τους κατέβει. Ενα όνομα ή κάποιο σύμβολο.

Το χάος…

Μια μικρή και επιδιωκόμενη αναστάτωση θα προκληθεί μόλις τους ζητήσουμε να βρουν από άλλο παιδί και να ανταλλάξουν φακελάκια με το ίδιο πλήθος αντικειμένων. Το ότι θα είναι το ίδιο πλήθος στα δύο φακελάκια θα το βρίσκουν κάνοντας αντιστοιχία ένα προς ένα. Δεν είναι εύκολη δουλειά διότι τα διαφορετικά ονόματα έξω από τα φακελάκια μπερδεύουν αυτή τη δοσοληψία. Και αυτό βέβαια έγινε επίτηδες.

Μετά από κάποιον χρόνο που θα συνειδητοποιήσουν όλοι το μικρό αυτό χάος θα έλθει η στιγμή για να βρεθεί μια λύση. Θα ακούσουμε τις προτάσεις τους και βέβαια μια καλή λύση θα είναι να έχει κάθε φακελάκι το ίδιο πλήθος αντικειμένων ανεξάρτητα στο χέρι ποιου παιδιού βρίσκεται το ίδιο όνομα ή σύμβολο. Διότι η προηγούμενη ανταλλαγή που τόσο τα παίδεψε θα γίνεται πανεύκολα.

…και η τάξη

Οπως όλοι έχουν μαντέψει, τα σύμβολα που θα προταθούν θα είναι βέβαια αυτά από το 0, 1, 2… έως όσο χρειαστεί. Λίγο πιο επάνω από το 10 προφανώς (εδώ ακόμη δεν μας ενδιαφέρουν οι διακρίσεις ανάμεσα σε μονάδες και  δεκάδες). Ετσι όμως θα γίνει μια πρώτη ταύτιση των αριθμητικών συμβόλων με χειροπιαστά σύνολα. Δομημένα με όλους τους κανόνες της θεωρίας των συνόλων.

Επίσης είναι χειροπιαστό και το κενό σύνολο και η αντιστοιχία του με το 0. Επίσης η πρόσθεση, που μπορεί τώρα να έλθει αρκετά γρήγορα όταν ο ένας όρος θα είναι το μηδέν, γίνεται αρκετά ανάγλυφη αφού το να προσθέσουμε ένα άδειο φακελάκι στο περιεχόμενο ενός άλλου βλέπουμε καθαρά ότι αφήνει αναλλοίωτο το αρχικό περιεχόμενο.

Αριθμητική αίσθηση

Είναι φανερό πως χωρίς μια τέτοια διαδικασία συνταιριάσματος ενός συνόλου αντικειμένων με τον αντίστοιχο αριθμό, το να μαθαίνουμε ένα παιδί απλά να… απαγγέλλει τους αριθμούς από το ένα μέχρι το δέκα όχι μόνον είναι άχρηστο αλλά ίσως και επιζήμιο. Για το πόσο καλά έχει αφομοιώσει ένα παιδί τη σχέση αρίθμησης και αντιστοίχισης με αντικείμενα υπάρχει το εξής πείραμα: Δείχνεις στο παιδί τέσσερα πιρούνια ολόκληρα και ένα σπασμένο σε δύο κομμάτια (αυτό μπορεί να γίνει και με ξύλινα ή πλαστικά πιρούνια). Και το ρωτάς πόσα πιρούνια είναι. Τα αποτελέσματα έχουν δείξει ότι πολλές φορές τα παιδιά απαντούν: έξι. Μετρώντας δύο φορές το σπασμένο (Stanislas Dehaene, «The number Sense»).

Πνευματική Γυμναστική

1. Σε ένα χωριό υπάρχουν ανθρωποφάγοι δαίμονες και μόνος στην πλατεία κοιμάται βαθιά ένας άνθρωπος. Ενας δαίμονας μπορεί να φάει τον κοιμώμενο αλλά τότε πέφτει και αυτός σε νάρκη. Οι δαίμονες επίσης μπορούν να τρώνε άλλους δαίμονες όταν είναι κοιμώμενοι αλλά τότε ναρκώνονται. Είναι αρκετά έξυπνοι ώστε να προσέχουν τι συνέπειες θα έχει για τη ζωή τους το να φάνε τον άνθρωπο. Στην αρχή υπήρχαν στο χωριό 65 δαίμονες και 1 κοιμώμενος άνθρωπος. Τι θα συμβεί στη συνέχεια;
2. Εχουμε την εξής ακολουθία ακεραίων αριθμών: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8,… Ζητούνται οι επόμενοι πέντε της σειράς και ο εκατομμυριοστός.

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Δύο στύλοι με ύψος 15 μέτρα ο καθένας, είναι μπηγμένοι κάθετα στο έδαφος. Ενα καλώδιο μήκους 16 μέτρων έχει τα δύο άκρα του στερεωμένα στις κορυφές των στύλων και κρέμεται προς τα κάτω. Για να είναι η απόσταση από το κατώτερο σημείο του καλωδίου μέχρι το έδαφος 7 μέτρα αναζητούσαμε το ποια πρέπει να είναι η οριζόντια απόσταση των δύο στύλων μεταξύ τους. Και η απάντηση είναι 0 μέτρα. Δεν δημοσιεύουμε κάποιο σχετικό σχήμα μήπως και ο αναγνώστης με δεδομένη την απάντηση θα ήθελε να προσπαθήσει ξανά. Πάντως ο συλλογισμός είναι ως εξής: Φανταζόμαστε πως οι δύο στύλοι μπορούν να κινούνται. Ξεκινάμε από την απόσταση των 16 μέτρων μεταξύ τους και το καλώδιο προφανώς εντελώς τεντωμένο στην κορυφή τους. Φανταζόμαστε τους στύλους να πλησιάζουν και το καλώδιο να κάνει «κοιλιά». Οταν φθάσουν οι δύο στύλοι να εφάπτονται τότε το καλώδιο θα έχει διπλώσει στα δύο, άρα από την κορυφή των στύλων μέχρι το κατώτατο σημείο του η απόσταση θα είναι (16/2) = 8 μέτρα. Αρα από εκεί έως το έδαφος: (15-8 ) = 7 μέτρα.
2. Είχαμε και μια λαίμαργη ακρίδα να τρώει τα φύλλα ενός δέντρου. Την πρώτη ημέρα τρώει ένα μόνο φύλλο, την επόμενη τρώει 2, τη μεθεπόμενη 4 και κάθε ημέρα διπλασιάζει την ποσότητα των φύλλων που τρώει. Μέχρι που την 30ή ημέρα τρώει και τα τελευταία φύλλα. Ποια ημέρα ήταν που είχε φάει ακριβώς τα μισά φύλλα; Στη διάρκεια της εβδομάδας, οι φίλοι που μας στέλνουν τις λύσεις τους έγραφαν πως η απάντηση είναι 29 ημέρες. Ισως να τους παρέσυρε ένα άλλο γνωστό πρόβλημα με τα νούφαρα της λίμνης που διπλασιάζονται κάθε ημέρα. Αλλά εδώ ακριβώς έπεσαν στη διαβολική παγίδα που τους έστησε ο κατασκευαστής. Αν αντί για τις 30 ημέρες πάρουμε έναν μικρότερο αριθμό ημερών αλλά οπωσδήποτε ζυγό (όπως είναι και το 30), π.χ. 4 ημέρες, θα έχουμε το εξής: 1η ημέρα: 1 φύλλο, 2η ημέρα: 2, 3η: 4, 4η: 8. Αρα σε 4 ημέρες συνολικά 15 φύλλα. Τα μισά είναι 7,5, άρα είχε μπει η 4η ημέρα όταν είχε φθάσει να έχει φάει τα μισά φύλλα. Το ίδιο συμβαίνει και με την 30ή ημέρα. Τότε και όχι την 29η φθάνει στα μισά φύλλα.