«Ητακτική μου είναι να διδάσκω στον μαθητή όσο γίνεται περισσότερα και να του ζητώ όσο γίνεται λιγότερα». Αυτό ήταν ένα από τα πολλά που μας άφησε για να τον θυμόμαστε ο Ρέιμοντ Σμούλιαν φεύγοντας από τη ζωή το 2017, σε ηλικία 98 ετών. Και όπως έγραψαν τότε οι «New York Times»: «Ο καθηγητής Σμούλιαν έβλεπε ομορφιά στους γρίφους που δημιουργούσε, σχεδόν χωρίς διακοπή, και τους θεωρούσε ως εργαλείο για να διαδίδει το «ευαγγέλιο των μαθηματικών»».

Αν θέλουμε πάντως να κυριολεκτούμε, θα πρέπει να λέμε ότι ο Σμούλιαν ήταν «και» καθηγητής. Διότι όταν κάποιος είναι εξίσου καλός και σε άλλα πράγματα, αυτή πρέπει να είναι η αποτίμηση. Ο Σμούλιαν ξεκίνησε ως μουσικός και ήδη στα δώδεκά του χρόνια έπαιρνε βραβείο για τις επιδόσεις του στο πιάνο. Αργότερα φοίτησε σε σχολή μουσικής, αλλά το ενδιαφέρον του για τα Μαθηματικά, που δεν τα δίδασκαν στη σχολή μουσικής, τον ώθησε στην αρχή να είναι ένας αυτοδίδακτος σε αυτή την επιστήμη. Στη συνέχεια όμως πήγε στο πανεπιστήμιο και έφτασε να κάνει διδακτορικό στο Πρίνστον και μάλιστα υπό την επίβλεψη του διάσημου καθηγητή της Λογικής και συγγραφέα Αλόνζο Τσερτς. Δεν επαναπαύθηκε όμως στις σπουδές του αυτές. Είχε μάθει πολύ καλά να κάνει ταχυδακτυλουργικά τρικ, να φτιάχνει προβλήματα στο σκάκι, εμβάθυνε πολύ στην ταοϊστική φιλοσοφία και στη φιλοσοφία γενικότερα, έγινε καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Νέας Υόρκης, αλλά κατά καιρούς έκανε και όλα τα άλλα που είχε μάθει τόσο καλά. Ακόμη όμως καλύτερα ήξερε να δημιουργεί λογικούς γρίφους.

 Φλερτάροντας λογικά!

Δεν είναι υπερβολή να ειπωθεί ότι ζούσε μέσα στη λογική που ο ίδιος έφτιαχνε. Οντας ακόμη διδακτορικός φοιτητής, το 1957, στην πρώτη του συνάντηση στη Νέα Υόρκη με μια κοπέλα μουσικό τής «εξηγήθηκε» ως εξής: «Θα ήθελα να μου κάνετε την εξής χάρη: Θα σας πω μια πρόταση. Αν η πρόταση αυτή είναι αληθής (True), θα μου δώσετε ένα αυτόγραφό σας;». Η κοπέλα το βρήκε διασκεδαστικό και απάντησε «γιατί όχι;». Ο Σμούλιαν συνέχισε: «Αν η πρόταση δεν είναι αληθής (False), τότε δεν θα μου δώσετε αυτόγραφο». Και να ποια ήταν η πρόταση: «Δεν θα μου δώσετε ούτε το αυτόγραφό σας ούτε ένα φιλί».

Αν ήταν αληθής η πρόταση, τότε θα έπρεπε να του δώσει ένα αυτόγραφο. Αλλά αν είναι αληθής, με βάση το πρώτο μέλος της το σχετικό με το αυτόγραφο, το συμπέρασμα είναι πως δεν θα του δώσει αυτόγραφο. Επομένως η αρχική πρόταση ολόκληρη δεν μπορεί να είναι αληθής (True), είναι ψευδής (False). Αρα, όπως ο αναγνώστης μαντεύει, θα είναι ψευδές και το ότι δεν θα του δώσει φιλί. Και είναι αλήθεια ότι του το έδωσε και το πράγμα πήγε ακόμη παρακάτω, διότι στη συνέχεια παντρεύτηκαν κιόλας.

Μαθηματική παρακαταθήκη

Ηταν ένας τρόπος, όχι ο πιο απλός, να αποσπάσεις ένα φιλί εκείνη την εποχή. Αλλά και ως μαθηματικός διακρίθηκε για τις εργασίες του. Δεν είναι εύκολο να ασχοληθείς με το θεώρημα του Γκέντελ για τη μη πληρότητα (των μαθηματικών αξιωμάτων) και να βγάλεις εργασία που να απλουστεύει κατά πολύ την εξήγηση των συλλογισμών γύρω από αυτό το θέμα και να θεωρείται κλασική ακόμη και σήμερα.

Ηταν εχθρός της γυμναστικής και εραστής του steak and eggs, αλλά το σκαρί του θύμιζε πάντα ασιάτη γιόγκι ή κάποια φιγούρα από τον «Αρχοντα των Δαχτυλιδιών». Η αύρα του πάντως ήταν έντονη μέχρι το τέλος. Εκτός από τα σόκιν αστεία, του άρεσε να κάνει μαγικά στα ξαφνικά αιφνιδιάζοντας τους συνομιλητές του που δεν τον ήξεραν καλά και συνέχιζε να παίζει πιάνο μέχρι τα ενενήντα του. Είναι φανερό πως αξίζει στη συνέχεια να μας απασχολήσουν μερικοί από τους γρίφους του.

Βιβλία του Σμούλιαν υπάρχουν και στα ελληνικά (σκοπεύουμε να παρουσιάσουμε κάποια από αυτά):

• «Ο γρίφος της Σεχραζάντ και άλλα αινίγματα μαθηματικής λογικής», εκδόσεις Τραυλός.
• «Την κυρία ή την τίγρη και άλλα αινίγματα μαθηματικής λογικής», εκδόσεις Κάτοπτρο.
• «Ο Σατανάς, ο Καντόρ και το άπειρο», εκδόσεις Κάτοπτρο.

Πνευματική Γυμναστική

1. Πώς μπορούμε να υπολογίσουμε κατά προσέγγιση την τιμή του 264;
2. Σε μια μακρινή αγορά της Αφρικής μπορείς να αγοράσεις έναν ελέφαντα δίνοντας 99 χήνες. Αν την επόμενη εβδομάδα η τιμή του ελέφαντα έχει πέσει κατά 10% και η τιμή κάθε χήνας έχει ανέβει κατά 10%, με πόσες χήνες αγοράζεις πλέον έναν ελέφαντα;

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Τι αφήνει λιγότερο κενό χώρο; Ενα δοκάρι με τετράγωνη διατομή σε μια κυκλική οπή ή ένα δοκάρι με κυκλική διατομή σε αντίστοιχη οπή με τετράγωνη διατομή; Ας πάρουμε πρώτα τον στρογγυλό πάσσαλο μέσα σε τετράγωνη οπή. Για να είναι ένας κύκλος με ακτίνα r εγγεγραμμένος μέσα σε ένα τετράγωνο, το τετράγωνο θα πρέπει να έχει πλευρά 2r. Αρα ο λόγος των δύο εμβαδών που θα δώσει και το ποσοστό κάλυψης είναι: (π x (r)2 )/ (2 x r) 2 ) και είναι ίσος με 78,54%. Στην αντίθετη περίπτωση όπου ένας τετράγωνος πάσσαλος είναι μέσα σε κυκλική οπή, ο κύκλος είναι περιγεγραμμένος και τότε για την πλευρά α του εγγεγραμμένου τετραγώνου, κάνοντας το σχετικό πυθαγόρειο θεώρημα (α2 + α2 = (2 r)2 ), θα ισχύει ότι: 2 α2 = 4r2. Από εκεί προκύπτει ότι το εμβαδόν του τετραγώνου θα είναι 2 r2 και ο λόγος των εμβαδών: (2 r2 )/(π x r2 ) = 63,66%. Για όποιον βρήκε εύκολα τη λύση και θέλει να ακονίσει ακόμη περισσότερο το μυαλό του υπάρχει το εξής ερώτημα: Πώς από εδώ μπορούμε να βρούμε χονδρικά μέσα σε ποια όρια κινείται η τιμή του π;
2. Τρεις διευθυντές μεγάλης εταιρείας την ώρα του καφέ συζητούν και θέλουν να μάθουν τον μέσο όρο των μισθών τους χωρίς όμως να αποκαλύψει ο καθένας στους άλλους το ύψος του μισθού του. Πώς μπορούν να το κάνουν αυτό; Φαντάζει σχεδόν αδύνατον, αλλά υπάρχει τρόπος. Ο Α προσθέτει στο πραγματικό ποσό του μισθού του ένα οποιοδήποτε ποσό ακόμη και λέει το άθροισμα στον Β. Ο Β προσθέτει στον αριθμό αυτόν τον δικό του μισθό και ένα ακόμη αυθαίρετο ποσό και λέει το αποτέλεσμα στον Γ. Κάνει και εκείνος ακριβώς το ίδιο και λέει το αποτέλεσμα στον Α. Ο Α αφαιρεί το αυθαίρετο ποσό που είχε προσθέσει στον δικό του μισθό και δίνει το αποτέλεσμα στον Β. Εκείνος κάνει το ίδιο, λέει το αποτέλεσμα στον Γ. Ο τελευταίος αυτός αφαιρεί και το δικό του αυθαίρετο ποσό και το αποτέλεσμα το διαιρεί διά τρία. Αυτός είναι ο μέσος όρος των μισθών τους και κανείς δεν ξέρει ποιος είναι ο μισθός του καθενός

Έντυπη έκδοση Το Βήμα