Οι αναγνώστες της σελίδας επεφύλαξαν εξαιρετική υποδοχή στον Ρέιμοντ Σμούλιαν και στους λογικούς γρίφους του. Ισως διότι πέραν από την εξυπνάδα τους τα προβλήματα που βάζει δεν θέλουν ιδιαιτέρως προχωρημένες μαθηματικές γνώσεις αλλά μόνο πολλή υπομονή και ιδιαίτερη προσοχή στη διατύπωση των συλλογισμών μας. Κάτι που κάνει τα Μαθηματικά αυτά ιδιαίτερα χρήσιμα και στο σχολείο.

Θα επιχειρήσουμε να εξηγήσουμε ένα από τα πλέον δύσκολα προβλήματα του Σμούλιαν. Για να γίνει όμως αυτό θα κάνουμε μια προετοιμασία του εδάφους και στον δρόμο θα γνωρίσουμε έναν ακόμη εξαίρετο αλλά άτυχο μαθηματικό, τον Τζορτζ Μπούλος.

Τα τρία «αν»

Για το ξεκίνημα χρειάζεται να καταλάβουμε πολύ καλά πώς λειτουργεί ένα «εργαλείο» της μαθηματικής λογικής (αλλά και της καθημερινής ομιλίας σε κάποιες περιπτώσεις) που θα μας φανεί πολύ χρήσιμο στη συνέχεια.

Θα δούμε λοιπόν πρώτα τα τρία διαφορετικά «ΑΝ» όπως τα χρησιμοποιεί η μαθηματική λογική. Στην πρώτη περίπτωση έχουμε το απλό «ΑΝ»: ΑΝ έχει ήλιο αύριο ΤΟΤΕ θα κάνουμε περίπατο. Η πρώτη λογική πρόταση «με ήλιο αύριο» συνεπάγεται τη δεύτερη «κάνουμε περίπατο». Αλλά δεν μας λέει με απόλυτο τρόπο τι μπορεί να συμβεί αν δεν έχει  ήλιο. Πάμε τώρα σε κάτι λίγο διαφορετικό. Θα πάμε περίπατο ΜΟΝΟΝ ΑΝ έχει ήλιο. Εδώ έχει φύγει η αμφιβολία για το τι θα γίνει αν δεν έχει ήλιο. Αλλά εδώ μένει κενό το ότι και αν έχει ήλιο μπορεί και να μην πάμε περίπατο. Οπότε έρχεται η τρίτη και τελευταία διατύπωση για να καλύψει όλα αυτά τα κενά: Θα πάμε περίπατο ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟΝ ΑΝ έχει ήλιο.

Οπότε αν έχει ήλιο θα πάμε περίπατο και αν δεν έχει ήλιο δεν θα πάμε περίπατο. Ας προσέξουμε, διότι θα μας χρειαστεί αυτό, πως η φράση «λειτουργεί» και όταν τα δύο μέλη της είναι καταφατικά και όταν τα δύο μέλη της είναι αποφατικά (=αρνητικά).

Τζορτζ Μπούλος

Τώρα στη σκηνή ανεβαίνει ο Τζορτζ Μπούλος. Ηταν καθηγητής Γλωσσολογίας και Φιλοσοφίας στο ΜΙΤ. Εθεωρείτο αυθεντία σε ό,τι είχε σχέση με τον Γκότλομπ Φρέγκε, τον θεωρούμενο και θεμελιωτή της επιστήμης της μοντέρνας λογικής. Οπου ένα βασικό πρόβλημα ήταν αν οι βασικοί νόμοι της αριθμητικής είναι αφ’ εαυτού τους κανόνες και της λογικής. Ηταν πολυβραβευμένος και παθιασμένος με τη λύση κάθε είδους πνευματικής άσκησης, από τα σταυρόλεξα μέχρι τους γρίφους του Σμούλιαν. Δυστυχώς τον Μάιο του 1996 ένας καρκίνος στο πάγκρεας του στέρησε τη ζωή στα 55 του χρόνια.

Ο λόγος που εμφανίζεται εδώ ο Τζορτζ Μπούλος είναι πως μελετούσε πολύ προσεκτικά τους γρίφους λογικής του Ρέιμοντ Σμούλιαν και οι λύσεις που παρουσίαζε ήταν υποδειγματικές. Ξεκινούμε λοιπόν με έναν λογικό γρίφο που μηχανεύτηκε ο Μπούλος για να γίνει πιο κατανοητή η δική του λύση σε έναν από τους πιο δύσκολους γρίφους του Σμούλιαν.

Ο δύσκολος γρίφος

Εχουμε σε ένα απομονωμένο νησί δύο κατηγορίες κατοίκων. Τους Ψεύτες και τους Ειλικρινείς. Υποθέτει λοιπόν ότι δεν θυμάται κάποιος σε ποια κατηγορία πλανητών ανήκει ο Πλούτων, στους νάνους ή στους μεγαλύτερου μεγέθους. Η ερώτηση είναι: Πώς θα ρωτήσει ένας επισκέπτης στο νησί, αν θέλει οπωσδήποτε να μάθει σε ποια κατηγορία ανήκει ο πλανήτης Πλούτων, όταν δεν μπορεί να διακρίνει αν ο άνθρωπος που θα συναντήσει και θα τον ρωτήσει είναι Ειλικρινής ή Ψεύτης; Υποθέτουμε πάντως ότι και οι δύο γνωρίζουν τη σωστή απάντηση σχετικά με το τι είναι ο πλανήτης Πλούτων.

Προφανώς, λόγω και της εισαγωγής που κάναμε, το μυαλό θα πάει στο ότι θα πρέπει να είναι μία διατύπωση με ΑΝ ΚΑΙ ΜΟΝΟΝ ΑΝ που είναι γνωστή στα ελληνικά και ως «αμφίδρομη υποθετική πρόταση» (biconditional).

Οι αναγνώστες μας λύνουν και (μας) δένουν: Ενα μικρό λάθος
(απ)αρίθμησης την προηγούμενη Κυριακή δεν πέρασε απαρατήρητο από περισσότερους από έναν αναγνώστες και τους ευχαριστούμε γι’ αυτό. Στο δεύτερο κουίζ, το μεγαλύτερο κομμάτι πηγαίνει στον 10ο προσκεκλημένο και όχι στον 9ο. Ενας από τους πλέον «επιμελείς» αναγνώστες μάλιστα έκανε τον κόπο και υπολόγισε τα κομμάτια και πέραν του δεκάτου αποδεικνύοντας έτσι έμπρακτα ότι μετά από αυτό, τα κομμάτια πράγματι μικραίνουν: Ο 9ος παίρνει 6,2125369, ο 10ος 6,2815651, ο 11ος 6,2187494 κ.λπ.

Πνευματική Γυμναστική

1. Κάτι τέτοια ρωτούν στις εξετάσεις της Google και πρόκειται για παραλλαγή ενός άλλου προβλήματος που παλαιότερα παρουσιάσαμε: Εχουμε 100 φορτηγά με φουλαρισμένα τα ντεπόζιτά τους με πετρέλαιο, που επιτρέπει στο καθένα να διανύσει έως 100 χιλιόμετρα. Βρίσκονται στην αρχή της ερήμου και ένα πολύτιμο φορτίο πρέπει να παραδοθεί κάπου μέσα στην έρημο. Μπορούμε να μεταγγίζουμε πετρέλαιο από το ένα φορτηγό στο άλλο. Πόσα χιλιόμετρα το μέγιστο μέσα στην έρημο μπορεί να διανύσει έστω ένα φορτηγό, προσπαθώντας να παραδώσει το πολύτιμο φορτίο; Τι γίνεται για Ν φορτηγά; Θα μας προσλάβει η μεγάλη εταιρεία;
2. Λόγω των ημερών παίζουμε ένα παιχνίδι με 11 χαρτιά της τράπουλας. Από Ασο έως και Βαλέ. Στο κάθε χαρτί αντιστοιχούν πόντοι όσος είναι ο αριθμός που είναι γραμμένος επάνω. Ο Ασος μετράει μόνον για 1. Ανακατεύει και παίζει ο καθένας από τους παίκτες με τη σειρά του ως εξής: ανοίγει ένα-ένα τα χαρτιά και αθροίζει τους πόντους του. Αν όμως τραβήξει Βαλέ οι πόντοι του μηδενίζονται και παίζει ο επόμενος. Αρα έχει σημασία να ξέρεις πότε να σταματήσεις, πριν καείς. Υπάρχει στρατηγική ώστε να παίζει κάποιος με περισσότερες πιθανότητες να κερδίσει;

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Ποιος μπορεί να είναι ο επόμενος στη σειρά: 1, 11, 21, 1211, 111221… Ο επόμενος είναι ο 312211. Η λογική είναι η εξής: Ο κάθε νέος αριθμός περιγράφει τον προηγούμενο αρχίζοντας από τα αριστερά. Μετά τον 1 ο 11 μας λέει ότι ο προηγούμενος «είχε έναν άσο». Ο 21 μας λέει ότι ο προηγούμενος «είχε δύο άσους». Ο 1211 μας λέει ότι ο προηγούμενος είχε «ένα δυάρι, έναν άσο», ο 111221 ότι πριν είχαμε «έναν άσο, ένα δυάρι, δύο άσους» και έτσι ο ζητούμενος, ο 312211, κάνει λόγο για τρεις άσους, δύο δυάρια, έναν άσο.
2. Είχαμε την παράξενη συνταγή όπου βάζεις στον νου σου οποιονδήποτε αριθμό φλιτζανιών αλεύρι, διαιρείς το 3 με τον αριθμό των φλιτζανιών, προσθέτεις τους δύο αριθμούς, δηλαδή τον αρχικό και αυτόν που προέκυψε, και αφαιρείς από το άθροισμα το μισό αλεύρι. Με τον νέο αριθμό φλιτζανιών που προκύπτει ξεκινάς την ίδια διαδικασία. Επαναλαμβάνεις μέχρι να βρεις τον σωστό αριθμό φλιτζανιών με αλεύρι για τη συνταγή. Αν ξεκινήσουμε από τα δύο φλιτζάνια αλεύρι φθάνεις στον πρώτο γύρο στα 1,75 φλιτζάνια. Επαναλαμβάνοντας προκύπτει ο αριθμός 1,73214 και στη συνέχεια ο αριθμός 1,732050810. Ετσι, αν συνεχίσεις, γρήγορα καταλαβαίνεις ότι όποιον αρχικό αριθμό αν επιλέξεις και όσο και αν προχωρείς, θα κολλάς κοντά στο 1,73. Το «κόλλημα» αυτό το λέμε και σύγκλιση. Είναι αυτός ο 1,73 κάποιος διάσημος; Αν πεις ότι ξεκινάς με x αριθμό φλιτζανιών προκύπτει η εξίσωση: (x + 3/x)/2 = x, τότε διαπιστώνεις πως η λύση της είναι η τετραγωνική ρίζα του 3. Επίσης αυτό είναι ένα εξαιρετικό παράδειγμα για να καταλάβει κάποιος πώς λειτουργεί και ένας αλγόριθμος.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα