Την προηγούμενη εβδομάδα είχαμε ξεκινήσει την προσπάθεια κατανόησης του τι σημαίνει το «αν και μόνον αν» – που ονομάζεται και «αμφίδρομη υποθετική πρόταση» (biconditional) – στη λεγόμενη Δίτιμη Λογική. Δηλαδή εκεί που δεχόμαστε ότι στις παρουσιαζόμενες προτάσεις χωράει μόνον ένας χαρακτηρισμός: Αληθής ή Ψευδής, και ισοδύναμα μία από τις δύο απαντήσεις, μόνον ΝΑΙ ή μόνον ΟΧΙ.

Λειτουργεί σε πρώτη προσέγγιση περίεργα αλλά είναι πολύ δυνατό μαθηματικό εργαλείο όταν μάθεις να το χειρίζεσαι. Μπορεί να συνδέει δύο εντελώς άσχετες μεταξύ τους προτάσεις και όμως αυτό να δίνει λύσεις όπως θα δούμε στα προχωρημένα προβλήματα του Σμούλιαν. Για παράδειγμα, το σύμπλεγμα προτάσεων: «Το φεγγάρι είναι φτιαγμένο από γραβιέρα αν και μόνον αν το Παρίσι είναι στην Ισπανία» θεωρούμε ότι το λογικό του αποτέλεσμα για τους λογαριασμούς μας είναι Αληθές. Και αυτό διότι και οι δύο προτάσεις είναι ψευδείς. Σκεφθείτε ότι το εκφράζουμε και εμείς κάπως ανάλογα: «Αν αυτό ήταν έτσι τότε εγώ είμαι αστροναύτης». Αρα δεν είναι έτσι, άρα το αντίθετο είναι αληθές. Επίσης το σύμπλεγμα προτάσεων: «Το φεγγάρι δεν έχει ατμόσφαιρα αν και μόνον αν το Παρίσι είναι στη Γαλλία» θεωρούμε ότι έχει λογικό αποτέλεσμα αληθές διότι και οι δύο επί μέρους προτάσεις είναι αληθείς. Αν όμως είχαμε το εξής: «Το φεγγάρι είναι από γραβιέρα αν και μόνον αν το Παρίσι είναι στη Γαλλία» τότε χαρακτηρίζουμε το σύμπλεγμα ψευδές διότι η μία πρόταση είναι αληθής και η άλλη είναι ψευδής.

Επί το έργον

Να τα θυμόμαστε αυτά τώρα που θα αναλύσουμε το παράδειγμα του Τζορτζ Μπούλος: «Σε ένα απομονωμένο νησί ζουν (μόνον) δύο κατηγορίες κατοίκων. Ψεύτες και Ειλικρινείς. Πώς λοιπόν θα ρωτήσει ένας επισκέπτης στο νησί, αν θέλει οπωσδήποτε να μάθει «σε ποια κατηγορία ανήκει ο πλανήτης Πλούτων, στους νάνους πλανήτες ή στους μεγαλύτερους», όταν δεν μπορεί να διακρίνει αν ο άνθρωπος που θα συναντήσει για να τον ρωτήσει είναι Ειλικρινής ή Ψεύτης; Υποθέτουμε πάντως ότι και οι δύο κατηγορίες κατοίκων γνωρίζουν τη σωστή απάντηση σχετικά με το τι είναι ο πλανήτης Πλούτων (η αλήθεια είναι ότι πράγματι κατατάσσεται στους νάνους)».

Η ερώτηση που προτείνει να τους γίνει είναι αρκετά απροσδόκητη: «Είστε Ειλικρινής αν και μόνον αν ο Πλούτων ανήκει στους νάνους πλανήτες;»! Αν αναλυθούν οι πιθανές περιπτώσεις (να απαντά ένας Ειλικρινής ή ένας Ψεύτης και ο Πλούτων να είναι ή να μην είναι στους νάνους) θα δούμε ότι άσχετα με το ποιον ρωτάμε, παίρνουμε τη σωστή απάντηση για τον Πλούτωνα. Αν ανήκει στους νάνους παίρνουμε την απάντηση Αληθές ή ισοδύναμα ΝΑΙ. Αν δεν ήταν θα παίρναμε την απάντηση Ψευδές ή ΟΧΙ άσχετα με το ποιος ήταν αυτός που συναντήσαμε, Ειλικρινής ή Ψεύτης.

Στη συνέχεια ο Τζορτζ Μπούλος κάνει το πρόβλημα δυσκολότερο. Υποθέτει ότι δεν απαντούν στη γλώσσα του επισκέπτη αλλά σε μια γλώσσα που γνωρίζουμε μόνον ότι το ΝΑΙ και το ΟΧΙ προφέρονται ως Ντα και Τζα, αλλά δεν γνωρίζουμε ποιο ακριβώς αντιστοιχεί στο ΝΑΙ και ποιο στο ΟΧΙ. Το πρόβλημα τίθεται ως εξής: Συναντάτε έναν Ειλικρινή (ξέρετε δηλαδή ότι ο τύπος λέει πάντα την αλήθεια) αλλά απαντά με Ντα ή Τζα, πώς θα τον ρωτήσετε ώστε να καταλάβετε αν ο Πλούτων είναι στους νάνους ή όχι;

Πνευματική Γυμναστική

1. Πριν δύο εβδομάδες είχαμε δώσει την εξής σειρά: 1, 11, 21, 1211, 111221,… και ζητούσαμε τον επόμενο, που ήταν ο 312211. Με το κλειδί να είναι ότι «Ο κάθε νέος αριθμός περιγράφει τον προηγούμενο αρχίζοντας από τα αριστερά». Δηλαδή ο 312211 λέει για τον προηγούμενό του: 3 άσοι, 2 δυάρια, 1 άσος. Μπορείτε να φανταστείτε πως θα είναι ο 53ος της σειράς αυτής; Προσοχή, ακολουθεί βοήθεια: Οποιος τρόμαξε και θέλει βοήθεια, η υπόδειξη είναι προχωρήστε και βρείτε τους 7-8 επόμενους και θα δείτε φως.

2. Τρεις πτηνοτρόφοι πηγαίνουν να πουλήσουν ζωντανά κοτόπουλα στην αγορά και έχουν 10, 16 και 26 αντίστοιχα. Μέχρι το μεσημέρι τα πωλούν με μια τιμή ίδια για όλους. Μετά το μεσημέρι κατεβάζουν την τιμή αλλά αυτή παραμένει κοινή. Στο τέλος της ημέρας τα είχαν πουλήσει όλα και ο καθένας έφυγε με 35 ευρώ. Ποιες ήταν οι τιμές πριν και μετά το μεσημέρι;

Οι απαντήσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Εχουμε 100 φορτηγά με φουλαρισμένα τα ντεπόζιτά τους με πετρέλαιο, που επιτρέπει στο καθένα να διανύσει έως 100 χιλιόμετρα. Βρίσκονται στην αρχή της ερήμου και ένα πολύτιμο φορτίο πρέπει να παραδοθεί κάπου μέσα στην έρημο. Μπορούμε να μεταγγίζουμε πετρέλαιο από το ένα φορτηγό στο άλλο. Πόσα χιλιόμετρα το μέγιστο μέσα στην έρημο μπορεί να διανύσει έστω ένα φορτηγό, προσπαθώντας να παραδώσει το πολύτιμο φορτίο; Τι γίνεται για Ν φορτηγά; Σκεφτόμαστε τι μπορούμε να κάνουμε αν είχαμε μόνο 2 φορτηγά. Πηγαίνουν μαζί 50 χιλιόμετρα. Τα ντεπόζιτά τους είναι στη μέση. Μεταγγίζουμε το πετρέλαιο του ενός στο άλλο. Τώρα μπορεί να πάει άλλα 100 χιλιόμετρα, άρα με 2 φορτηγά πήγαμε στα 150 χιλιόμετρα. Με 3 φορτηγά που θα σταματήσουν στο (1/3) των 100 χιλιομέτρων και θα πάρουμε από το ένα τα (2/3) του πετρελαίου και θα το μοιράσουμε ίσα στα άλλα δύο και έχοντας την προηγούμενη κατάσταση, θα πάει το ένα άλλα 150 χιλιόμετρα συν τα 33,33 που έχει ήδη κάνει = 183,33. Αρα αν το προχωρήσουμε έτσι προκύπτει το άθροισμα: 100 x 1 +100 x (1/2) +100 x (1/3) + … 100 x (1/N) και η σειρά για Ν = 50 δίνει 100 x (4,499) = 449,9 χιλιόμετρα.

2. Λόγω των ημερών είπαμε να παίξουμε ένα παιχνίδι με 11 χαρτιά της τράπουλας. Από Ασο έως και Βαλέ. Στο κάθε χαρτί αντιστοιχούν πόντοι όσος είναι ο αριθμός που είναι γραμμένος επάνω. Ο Ασος μετράει μόνον για 1. Ανακατεύει και παίζει ο καθένας από τους παίκτες με τη σειρά του ως εξής: ανοίγει ένα-ένα τα χαρτιά και αθροίζει τους πόντους του. Αν όμως τραβήξει Βαλέ οι πόντοι του μηδενίζονται και παίζει ο επόμενος. Αρα έχει σημασία να ξέρεις πότε να σταματήσεις, πριν καείς. Υπάρχει στρατηγική ώστε να παίζει κάποιος με περισσότερες πιθανότητες να κερδίσει; Ας υποθέσουμε ότι έχει ξεκινήσει το παιχνίδια και τα χαρτιά που άνοιξε έως εκείνη τη στιγμή κάποιος, ενώ ακόμη δεν έχει… τρακάρει με τον Βαλέ, του έδωσαν ένα άθροισμα Σ. Το πρώτο που πρέπει να έχει κάνει ο σοβαρός παίκτης (ή αυτός που διάβασε πριν αυτή τη σελίδα) θα είναι να υπολογίσει το άθροισμα όλων των φύλλων, που εδώ ισούται με 55. Αρα βρίσκει ότι του μένουν ακόμη 55 – Σ πόντοι για να πάρει, ενώ κάτω είναι ακόμη Ν φύλλα. Αν το επόμενο φύλλο είναι ο Βαλές, αφού τα μηδενίζει όλα, η αξία του υπολογίζεται σε –Σ. Δηλαδή το επόμενο χαρτί μπορεί να κουβαλάει –Σ πόντους, άρα μπορεί να το δει κάποιος και ότι κάτω συνολικά θα είναι (55 –Σ) –Σ. Για να είναι αυτό θετικό θα πρέπει 55 – 2Σ > 0, άρα Σ < 27,5. Που σημαίνει στα 27 παίρνεις άλλο ένα, ενώ αν είναι 28 και πέρα σταματάς. Προφανώς αυτός ο συλλογισμός δεν είναι και κάτι το εγγυημένο μαθηματικά 100% και αν υπάρχουν καλύτερες προτάσεις να τις δούμε. Πάντως δεν έχουμε σκοπό να αποζημιώσουμε τους χαμένους. Οπως λέει και η διαφήμιση στο τέλος: «Η μέθοδος δεν έχει εγγυημένη απόδοση και τα προηγούμενα κέρδη δεν διασφαλίζουν τα μελλοντικά». Ετσι λόγω των ημερών το δώσαμε αυτό το πρόβλημα, από περιέργεια για να δοκιμαστεί.

Έντυοη έκδοση Το Βήμα