Το εορταστικό τεύχος μάς δίνει ευκαιρία να παρουσιάσουμε σε αρκετά μεγάλη έκταση τη λύση της πρώτης από τις δύο ασκήσεις της πνευματικής γυμναστικής της προηγούμενης Κυριακής που δεν ήταν καθόλου, μα καθόλου εύκολες. (Για τη δεύτερη θα χρειαστεί να κάνετε υπομονή μέχρι την ερχόμενη εβδομάδα.)

Πριν τρεις εβδομάδες είχαμε δώσει την εξής σειρά: 1, 11, 21, 1211, 111221,… και ζητούσαμε τον επόμενο. Αποδείχθηκε πως αυτός ήταν ο 312211. Θυμίζουμε ότι το κλειδί ήταν το εξής: «Ο κάθε νέος αριθμός περιγράφει τον προηγούμενό του αρχίζοντας από τα αριστερά και απαριθμώντας το πόσα ίδια ψηφία εμφανίζονται διαδοχικά».

Δηλαδή ο 312211 περιγράφει τον προηγούμενό του, που ήταν ο 111221: 3 άσοι, 2 δυάρια, 1 άσος. Ζητήθηκε λοιπόν από τον αναγνώστη να ρίξει μια ματιά στους πολύ μετά από τον έκτο που είχαμε φθάσει έως τότε.

Εδώ, έχοντας κάπως περισσότερο χώρο μπορούμε να πούμε πως πρόκειται για μια διάσημη σειρά, που έχει απασχολήσει πολλούς μαθηματικούς, κυρίως από το 1986, χάρη στον Τζον Κόνγουεϊ. Για συντομία την αποκαλούν και «Say What You See» ή αλλιώς «Δες και πες». Για να πάρει μια ιδέα όποιος αναγνώστης δεν προσπάθησε να προχωρήσει αρκετά στα επόμενα μέλη, δίνουμε μέχρι και το 15ο μέλος της σειράς.

1:1,

2:11,

3:21,

4:1211,

5:111221,

6:312211,

7:13112221,

8:1113213211,

9:31131211131221,

10:13211311123113112211,

11:11131221133112132113212221,

12:3113112221232112111312211312113211,

13:1321132132111213122112311311222113111221131221,

14:11131221131211131231121113112221121321132132211331222113112211,

15:311311222113111231131112132112311321322112111312211312111322212311322113212221.

Πολύ σύντομα αυτό το φιδάκι εξελίσσεται σε δράκο. Ηδη ο 27ος όρος έχει 2.012 ψηφία, 1.000 άσους, 636 δυάρια και 376 τριάρια. Το πλέον σίγουρο πάντως είναι ότι όσο και να προχωρήσει κάποιος εμφανίζονται μόνον τα ψηφία 1, 2, 3. Αρα προσπαθώντας να πάρουμε μια ιδέα για τους πιο πέρα όρους ένα βέβαιο στοιχείο είναι πως και ο εκατομμυριοστός όρος ακόμη ένα κοκτέιλ από τα ψηφία 1, 2 και 3 θα είναι. Και μόνον από αυτά. Επίσης το τελευταίο ψηφίο είναι ίδιο με αυτό που αρχίσαμε, δηλαδή με το 1 και δεν πρόκειται να βρεθούν ποτέ τρία τριάρια, το ένα πίσω από το άλλο. Αυτό μάλιστα αποδεικνύεται. Μια σύντομη απόδειξη δίνουμε στο τέλος, σε περίπτωση που κάποιοι αναγνώστες θα ήθελαν να το βρουν μόνοι τους. Προσοχή υπόδειξη: δεν θέλει κάτι παραπάνω από μια εις άτοπον απαγωγή.

Εμβαθύνοντας…

Γενικά οι άσοι υπερισχύουν, καταλαμβάνοντας λίγο περισσότερο από το 50% κάθε όρου, με τα δυάρια να είναι κοντά στο 30%. Ενα άλλο αξιοπρόσεκτο στοιχείο είναι πως όσο προχωρούμε στους όρους, διαιρώντας τον αριθμό των στοιχείων του επόμενου με τον αριθμό των στοιχείων του προηγούμενου, τα αποτελέσματα συγκλίνουν γύρω από τον αριθμό 1,3. Π.χ. οι όροι 24, 25 και 26 με 904, 1.182 και 1.540 στοιχεία όταν γίνουν οι διαιρέσεις δίνουν αντίστοιχα: 1,3024 και 1,3065 έχοντας ξεκινήσει στην αρχή, για παράδειγμα ο όγδοος με 10 στοιχεία και ο ένατος με 14 στοιχεία από τον λόγο 1,4. Ετσι μπορούμε ίσως να υποθέσουμε ότι και ο εκατομμυριοστός με τον προηγούμενό του εκεί κοντά στο 1,3 θα βρίσκονται (το όριο έχει βρεθεί, ονομάζεται σταθερά Conway και είναι ίσο με 1.303577269034). Μόνον που δεν υπάρχει ίσως αρκετό χαρτί σε όλη τη Γη για να χωρέσουν και οι δύο και να γίνει η διαίρεση.

Οσο για το ότι δεν μπορεί να εμφανιστούν 3 τριάρια ο συλλογισμός είναι ο εξής: Εστω ότι για πρώτη φορά εμφανίζονται στον νιοστό όρο. Αυτό σημαίνει πως στον ν-1 όρο είχαμε κάπου το συγκρότημα …333…, αλλά αυτό είναι άτοπο αφού υποθέσαμε πως για πρώτη φορά εμφανίζονται στον νιοστό όρο. Την τάση της ακολουθίας μπορεί όποιος θέλει να τη διαπιστώσει ως εξής: Για κάθε άσο που συναντούμε γράφουμε ένα μοναδιαίο βέλος προς τα δεξιά, παράλληλα με τον άξονα των Χ, για κάθε δυάρι ένα βέλος σε γωνία 120 μοιρών με τον άξονα και για κάθε τριάρι ένα βέλος με γωνία 240 μοιρών. Κάντε το και θα δείτε στο βάθος πού περίπου θα βρίσκεται και ο εκατομμυριοστός όρος.

Πνευματική Γυμναστική

1. Φανταζόμαστε μια πλάκα όπως αυτή του ρολογιού όπου επάνω της είναι να τοποθετηθούν οι αριθμοί από το 1 έως το 12 αλλά όχι απαραίτητα με τη σειρά που είναι στα συνηθισμένα ρολόγια. Να δειχθεί ότι όπως και να προσπαθήσουμε να τοποθετήσουμε αυτούς τους αριθμούς δεν μπορούν να μπουν σε τετράδες που όλες να έχουν άθροισμα μικρότερο του 19.

2. Ο Τσαρλς Ντότζσον (1832-1898), πιο γνωστός ως Λιούις Κάρολ και ακόμη περισσότερο ως ο συγγραφέας του βιβλίου «Η Αλίκη στη χώρα των θαυμάτων», προτείνει το εξής παιχνίδι για δύο: Ξεκινούν από τον αριθμό 1. Ο καθένας με τη σειρά του λέει έναν αριθμό που όμως δεν πρέπει να είναι μεγαλύτερος από το 10 και μικρότερος από το 1. Ο κάθε αριθμός προστίθεται στον προηγούμενο. Κερδίζει αυτός που θα πει τον τελευταίο αριθμό ώστε το άθροισμα να γίνει ακριβώς 100. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα με παίκτες τους Α και Β. Α: λέει 4, άρα άθροισμα 1 + 4 = 5, Β: λέει 7, άθροισμα 5 + 7 = 12, Α: 8 άθροισμα 12 + 8 = 20, Β: 3 άθροισμα 20 + 3 = 23. Συνεχίζοντας έτσι προκύπτουν τα αθροίσματα 29, 34, 43, 45, 48, 56, 57, 67, 75, 78, 86, 89, 92, οπότε ο επόμενος που θα μιλήσει προτείνοντας τον αριθμό 8 κερδίζει. Ποιο είναι το κόλπο εδώ για να κερδίζει κάποιος στα σίγουρα;

Έντυπη έκδοση Το Βήμα