Η έλλειψη χώρου και η έκταση της λύσης του δευτέρου κουίζ, εκείνου με τους τρεις πτηνοτρόφους και τη δυσκολία στις πωλήσεις, μας ανάγκασε την προηγούμενη φορά να αναβάλουμε για σήμερα την παρουσίασή της. Πρόκειται για ένα πρόβλημα πρακτικής αριθμητικής, που όμως έχει βασανίσει (και εκθέσει) πολύ κόσμο.

Σε αυτό λοιπόν είχαμε τρεις πτηνοτρόφους που πηγαίνουν να πουλήσουν ζωντανά κοτόπουλα στην αγορά και έχουν 10, 16 και 26 κοτόπουλα αντίστοιχα. Μέχρι το μεσημέρι τα πωλούν με μια τιμή ίδια για όλους. Μετά το μεσημέρι όμως η δυσκολία στις πωλήσεις τούς κάνει να κατεβάσουν την τιμή αλλά συνεχίζει να παραμένει ενιαία. Στο τέλος της ημέρας τα είχαν πουλήσει όλα και ο καθένας έφυγε με 35 ευρώ. Ζητούνται οι τιμές πριν και μετά το μεσημέρι.

Υποθέτουμε ότι η τιμή πριν το μεσημέρι ήταν x και μετά το μεσημέρι y. Επίσης ότι πριν το μεσημέρι ο καθένας τους είχε πουλήσει αντίστοιχα α, β, γ αριθμό κοτόπουλων. Από τα δεδομένα ισχύει επίσης ότι x > y και α > β > γ διότι δεν θα ήταν αλλιώς δυνατόν να φύγουν στο τέλος όλοι με τα ίδια χρήματα. Με βάση τα παραπάνω θα ισχύουν οι εξισώσεις: αx + (10 – α)y = 35 (1), βx + (16 – β)y = 35 (2) και γx + (26 – γ) = 35 (3). Από την (1) και τη (2) παίρνουμε: αx + (10 – α)y = βx + (16 – β)y και τελικά: (α – β)(x – y) = 6y (4). Το ίδιο κάνουμε και για τις (1) και (3), οπότε προκύπτει η (α – γ)(x – y) = 16y (5). Από τις (4) και (5) θα πάρουμε: (α – β) = (3/8)(α – γ) (6). Από την α > β > γ προκύπτει ότι (α – β) > 0 και (α – γ) > 0. Αφού ο πρώτος πτηνοτρόφος είχε 10 κοτόπουλα, το α θα είναι <= 10 ενώ τα β και γ υποχρεωτικά θα είναι αριθμοί ακέραιοι, μεγαλύτεροι ή έστω ίσοι με το μηδέν. Επομένως (α – β) >= 0 και (α – γ) <= 10. Αρα από την (6) μπορούμε να δοκιμάσουμε την περίπτωση: (α – β) = 3 και (α – γ) = 8 (7).

Με γ >= 0 και α <= 10 το α μπορεί να παίρνει μόνον τις τιμές 10, 9, 8 που αυτό δίνει για τα α, β, γ αντίστοιχα τις εξής πιθανές τριάδες: , , .

Από την (4) και την (7) παίρνουμε τελικά ότι x = 3y, δηλαδή ότι η πρωινή τιμή ήταν 3 φορές μεγαλύτερη από την απογευματινή. Αυτή η σχέση με την (1) δίνουν: 2αy + 10y = 35 και στη συνέχεια y = 35/(2 α + 10). Δοκιμάζουμε τις τιμές του α : 10, 9, 8 και καταλαβαίνουμε πως η πλέον κατάλληλη είναι η α = 9 που δίνει y = 1,25 ευρώ και x = 3,75 ευρώ.

Πνευματική Γυμναστική

1. 53⁄m × n1⁄2= 19. Ψάχνουμε τα m και n. Προσοχή, υπόδειξη: Ισως κάποιος να διευκολύνεται να δει την παράσταση αυτή λίγο διαφορετικά: (5 + (3/m)) x (n + (1/2)) = 19.

2. Η Α. και η Λ. είναι αδελφές. Η ηλικία της Α. δίνεται από τον αριθμό ΑΒ και η ηλικία της Λ. από τον αριθμό ΓΔ. Αν κολλήσουμε τους δύο αριθμούς, παίρνουμε τον ΑΒΓΔ που είναι και τέλειο τετράγωνο (δηλαδή η τετραγωνική του ρίζα είναι ακέραιος θετικός αριθμός). Σε 11 χρόνια η Α. θα έχει ηλικία ΕΖ και η Λ. ΗΘ. Αν και τότε σχηματίσουμε τον ΕΖΗΘ, θα είναι και αυτός τέλειο τετράγωνο. Ποια είναι η ηλικία της καθεμίας αυτή τη στιγμή; (Δηλαδή ζητούνται τα ΑΒ και ΓΔ.)

Οι απαντήσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Στο μυαλό μας έχουμε μια πλάκα όπως αυτή του ρολογιού, όπου επάνω της είναι να τοποθετηθούν οι αριθμοί από το 1 έως το 12 αλλά όχι απαραίτητα με την σειρά που είναι στα συνηθισμένα ρολόγια. Να δειχθεί ότι όπως και να προσπαθήσουμε να τοποθετήσουμε αυτούς τους αριθμούς, δεν μπορούν να μπουν σε τετράδες που όλες να έχουν άθροισμα μικρότερο του 19. Και αυτό προκύπτει αν σκεφτούμε πως με τους τέσσερις μεγαλύτερους αριθμούς 9, 10, 11, 12 ισχύει πως το άθροισμά τους ανά δύο δίνει αριθμούς από το 19 και επάνω. Αρα δεν μπορούν να τοποθετηθούν κοντά ο ένας στον άλλον. Αν συμβολιστεί με Χ η θέση όπου θα μπορούσε να τοποθετηθεί ένας εκ των τεσσάρων «μεγάλων» και με παύλες οι θέσεις των μικρότερών τους, θα πρέπει οι μεγάλοι να απέχουν μεταξύ τους κατά δυο παύλες: _ Χ _ _ Χ _ _ Χ _ _ Χ _. Αλλά και πάλι φαίνεται πως κάποια τετράδα θα έχει υποχρεωτικά δύο από αυτούς μαζί.

2. Ο Τσαρλς Ντότζσον (1832-1898), πιο γνωστός ως Λιούις Κάρολ και ακόμη περισσότερο ως ο συγγραφέας του βιβλίου «Η Αλίκη στη Χώρα των Θαυμάτων», προτείνει το εξής παιχνίδι για δύο: Ξεκινούν από τον αριθμό 1. Ο καθένας με τη σειρά το λέει έναν αριθμό που όμως δεν πρέπει να είναι μεγαλύτερος από το 10 και μικρότερος από το 1. Ο κάθε αριθμός προστίθεται στον προηγούμενο. Κερδίζει αυτός που θα πει τον τελευταίο αριθμό ώστε το άθροισμα να γίνει ακριβώς 100. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα με παίκτες τους Α και Β. Α: λέει 4, άρα άθροισμα 1 + 4 = 5, Β: λέει 7, άθροισμα 5 + 7 = 12, Α: 8, άθροισμα 12 + 8 = 20, Β: 3, άθροισμα 20 + 3 = 23. Συνεχίζοντας έτσι προκύπτουν τα αθροίσματα 29, 34, 43, 45, 48, 56, 57, 67, 75, 78, 86, 89, 92, οπότε ο επόμενος που θα μιλήσει προτείνοντας τον αριθμό 8 κερδίζει. Ποιο είναι το κόλπο εδώ για να κερδίζει κάποιος στα σίγουρα; Λοιπόν, δυο πράγματα χρειάζονται. Να αρχίζει ο άλλος πρώτος και για κάθε αριθμό που λέει ο δικός σου αριθμός να είναι το συμπλήρωμά του μέχρι το 11. Π.χ. όταν ο Α είπε 4, ο Β είπε το 7. Πηγαίνοντας έτσι φθάνεις σε ένα σημείο που εκείνος δεν μπορεί να φθάσει στο 100 όποιον αριθμό και να πει.