Πνευματική γυμναστική: Χωρίς εξισώσεις

Δίνουμε (και λύνουμε) σήμερα… προβληματάκια που δόθηκαν σε παιδιά Δημοτικού.

Ι. Από ένα κομμάτι σχοινί κόβονται πρώτα τα (2/5), μετά 14 μέτρα. Ο λόγος του μήκους του κομματιού που έμεινε ως προς το μήκος του κομματιού που κόπηκε είναι 1 προς 3. Πόσο σχοινί έχει μείνει; Εννοείται πως βγαίνει και με εξισώσεις. [Αν Α είναι ολόκληρο το κομμάτι και Β ό,τι έμεινε, θα ισχύει πως  Β = (Α x 3/5) – 14 και  ((Α x 2/5) +14) = 3Β και λύνουμε το σύστημα.] Στα παιδιά του Δημοτικού όμως πώς το λες; (Ασε το πώς το ζήτησαν, δηλαδή μέσα από εξετάσεις.) Θα πρέπει ο δάσκαλος να κάνει ένα σχήμα στον πίνακα με μια ευθεία χωρισμένη σε πέντε μέρη που θα παριστάνει το νήμα. Εκεί θα σημειώσει τα (2/5) και τα (3/5). Στο ίδιο σχήμα θα σημειώσει αρχίζοντας από δεξιά το (1/4) του νήματος αφού το υπόλοιπο θα έπρεπε να είναι 3 φορές περισσότερο. Κάνουμε τα (2/5) και το (1/4) κλάσματα ομώνυμα και προκύπτουν αντίστοιχα (8/20) και (5/20). Αυτό που λείπει είναι (7/20) και αντιστοιχούν στα 14 μέτρα. Οπότε και με απλή μέθοδο των τριών προκύπτει ότι το (1/20) είναι 2 μέτρα, άρα τα (5/20) είναι 10 μέτρα.

ΙΙ. Τέσσερα κλειδιά και τέσσερις κλειδαριές. Ζητείται ο μέγιστος αριθμός δοκιμών για να βρεθεί ποιο κλειδί ταιριάζει σε ποια κλειδαριά. Για την πρώτη δοκιμάζουμε 3 κλειδιά αν δεν κάνει κανένα είναι το τέταρτο το δικό της (χωρίς δοκιμή). Για τη δεύτερη από τα τρία που μένουν δοκιμάζουμε τα δύο κα για την τρίτη κάνει από τα δύο το ένα. Αρα συνολικά οι δοκιμές είναι 3 + 2 + 1 = 6.

ΙΙΙ. Σε ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο από τη μια κορυφή φέρουμε ευθεία που κόβει την απέναντι πλευρά σε σημείο τέτοιο ώστε στα δύο σχήματα που εμφανίζονται (ένα τρίγωνο και ένα τραπέζιο) τα εμβαδά των επιφανειών τους είναι ίσα με 1 και 6 μονάδες (επιφάνειας, π.χ. τετραγωνικά εκατοστά) αντίστοιχα. Ποιος είναι ο λόγος των μηκών των τμημάτων που κόπηκε σε αυτά η (απέναντι) πλευρά; Εδώ αρκεί να φέρουμε από το σημείο όπου συναντά η τέμνουσα αυτή ευθεία την άλλη πλευρά μια παράλληλη προς τις δύο άλλες πλευρές και σχηματίζεται ένα ορθογώνιο με επιφάνεια διπλάσια από αυτήν του τριγώνου, άρα ίση με 2. Το ορθογώνιο επομένως χωρίστηκε σε δύο ορθογώνια που οι επιφάνειές τους είναι 2 και 5 μονάδες. Επειδή η μία πλευρά τους είναι κοινή, ο λόγος των επιφανειών θα είναι ίσος με τον λόγο των άλλων δύο πλευρών, άρα θα είναι και αυτές 2 προς 5.

IV. Είχαμε μία ομάδα εργατών που τελειώνει ένα έργο σε 2,5 ώρες και μια άλλη που για το ίδιο έργο χρειάζεται 75 λεπτά. Αν η πρώτη ομάδα ξεκίνησε το έργο και το προχώρησε κατά ένα κλάσμα μ/ν (ν>μ με μ, ν θετικούς ακέραιους χωρίς κοινούς διαιρέτες) και η δεύτερη ανέλαβε αμέσως μετά οπότε το έργο τελείωσε σε 1,5 ώρα συνολικά πόσο είναι το (μ + ν); Εδώ ξεκινούμε από το κλασικό ότι η μόνη της η πρώτη ομάδα για κάθε λεπτό που εργάζεται τελειώνει το (1/150) του έργου (2,5 ώρες = 150 λεπτά) και η δεύτερη το (1/75). Αν η δεύτερη ομάδα εργάστηκε για χρόνο t ολοκλήρωσε το (t/75) του έργου. Η πρώτη ομάδα ολοκλήρωσε το ((90 – t)/150) του έργου, άρα συνολικά είχαμε (t/75) + ((90 – t)/150) = 1. Από αυτή τη σχέση προκύπτει ότι  t = 60 λεπτά. Αρα η Α ομάδα ολοκλήρωσε το (90 – 30/150) του έργου, δηλαδή το (1/5), άρα μ + ν = 1 + 5, δηλαδή 6.

Πνευματική Γυμναστική

1 Εχετε ένα μικρό στρογγυλό κεφάλι τυριού, αρκετό σπάγκο και έναν χάρακα. Πώς θα κάνετε ένα παιδί να αποκτήσει την αίσθηση του πόσο είναι ένα ακτίνιο;

2 Αυτό δεν είναι για μικρά παιδιά: Διαλέγουμε μια ομάδα δέκα ακεραίων μονοψήφιων θετικών αριθμών από αυτούς που είναι από το 1 έως το 9. Βρίσκουμε το γινόμενό τους. Από τον αριθμό που προκύπτει καλύπτουμε αυτόν της μεγαλύτερης τάξης, δηλαδή αυτόν που είναι πιο αριστερά από όλους. Αθροίζουμε τα υπόλοιπα ψηφία. Αν προκύψει διψήφιος αθροίζουμε πάλι τα ψηφία του, αν όχι τον αφήνουμε όπως είναι. Αφαιρούμε από το 9 τον αριθμό που βρήκαμε και συγκρίνουμε το αποτέλεσμα με τον αριθμό της μεγαλύτερης τάξης που δεν συμπεριλάβαμε στην πρόσθεση. Είναι ίδιοι; Πώς εξηγείται αυτό; Σε ποιες περιπτώσεις δεν θα είναι;

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

Α) Εχουμε δύο δεσμίδες με χαρτιά της τράπουλας. Η μία είναι πλήρης (χωρίς τζόκερ), 52 φύλλα, και η άλλη είναι η μισή, 26 φύλλα και ας πούμε πως έχει μόνο τα σπαθιά και τις κούπες. Είναι και οι δύο ανακατεμένες προσεκτικά. Πρέπει να διαλέξεις τη μία από τις δύο δεσμίδες και να τραβήξεις δύο φύλλα. Κερδίζεις αν αυτά είναι του ιδίου χρώματος (κόκκινο ή μαύρο). Ποια από τις δύο συμφέρει να επιλέξεις;

Β) Αν υποθέσουμε πως υπήρχε και μια τρίτη δεσμίδα με 26 φύλλα που πάρθηκαν εντελώς τυχαία από μια άλλη των 52 φύλλων, τώρα ποια δεσμίδα θα ήταν η καλύτερη επιλογή;

Ο συλλογισμός σχετικά με την πρώτη περίπτωση (έχοντας 26 κόκκινα, κούπες-καρό και 26 μαύρα, μπαστούνια-σπαθιά), έχει ως εξής: το πρώτο φύλλο που θα τραβήξουμε έχει πιθανότητες 50-50 να είναι μαύρο ή κόκκινο. Ας πούμε λοιπόν πως ήταν κούπα, άρα κόκκινο. Στη συνέχεια έχουν μείνει 51 χαρτιά και τα κόκκινα είναι 25. Η πιθανότητα και το επόμενο να είναι κόκκινο είναι (25/51) = 0,49, δηλαδή 49%. Στην άλλη περίπτωση με τη μισή τράπουλα η πιθανότητα γίνεται (12/25) = 0,48 ή 48%. Αρα συμφέρει η πλήρης δεσμίδα. Η δεύτερη ερώτηση όμως κάνει τα πράγματα πιο ενδιαφέροντα. Στην περίπτωση της τρίτης αυτής δεσμίδας η δυσμενέστερη περίπτωση είναι να έχει ανακατευτεί πολύ καλά η δεσμίδα των 26 χαρτιών. Αν όμως κάποιο χρώμα υπερτερεί αυτό είναι πλεονέκτημα, άρα είναι και η πιο ευνοϊκά διευθετημένη σε σχέση με την άλλη των 26 φύλλων. Μένει όμως να εξετάσουμε τι συμβαίνει σε σύγκριση με μια των 52 φύλλων. Εδώ θα πρέπει να θυμηθούμε πως «είναι πολύ καλά ανακατεμένη».

Αρα θα μπορούσαμε να φανταστούμε πως η τρίτη δεσμίδα φτιάχτηκε παίρνοντας τα 26 επάνω χαρτιά από την πρώτη. Επομένως δεν θα υπάρχει διαφορά. Οι πιθανότητες δεν άλλαξαν. Επομένως η πρώτη και η τρίτη δεσμίδα είναι οι πιο «ευνοϊκές» ενώ η δεύτερη είναι και η χειρότερη.