Επιστροφή στον «καλό μας φίλο Σμούλιαν» και κάνουμε… ζέσταμα, με προπονητή τον Τζορτζ Μπούλος, για να καταφέρουμε να καταλάβουμε ένα από τα δυσκολότερα προβλήματα Λογικής που κατασκεύασε ο ακούραστος Ρέιμοντ Σμούλιαν. Βασικό εργαλείο γι’ αυτό θα είναι το «Αν και μόνον αν», που συνήθως συμβολίζεται με το «iff» από το αγγλικό: If-and-only-If. Tο iff λειτουργεί ως εξής: Οταν βρίσκεται ανάμεσα σε δύο προτάσεις που είναι είτε και οι δύο ψευδείς είτε και οι δύο αληθείς η απάντηση από το όλο συγκρότημα θεωρείται πως είναι αληθής. Αν όμως είναι μία αληθής και μία ψευδής τότε η απάντηση θεωρείται ψευδής.

Συναντάμε λοιπόν στο νησί που κατοικούν μόνον Ειλικρινείς και Ψεύτες έναν Ειλικρινή. Αλλά εκεί το ναι και το όχι προφέρονται «ντα» και «τζα» και δεν γνωρίζουμε σε τι αντιστοιχεί το καθένα. Τι θα ρωτήσουμε τον Ειλικρινή για να πάρουμε απάντηση στο ερώτημα αν ο Πλούτων ανήκει στους νάνους πλανήτες; Η ερώτηση που προτείνει ο Μπούλος προς τον Ειλικρινή είναι: «Το ντα σημαίνει ναι αν και μόνον αν ο Πλούτων ανήκει στους νάνους πλανήτες;». Ο Ειλικρινής θα απαντήσει «ντα» αν ο Πλούτων ανήκει στους νάνους πλανήτες και «τζα» αν δεν ανήκει, χωρίς να γνωρίζουμε ακόμη ποιο είναι το ναι και ποιο το όχι.

Συνδυάζοντας τα δύο παραπάνω σε ένα ρωτάμε: «Το ντα σημαίνει ναι αν και μόνον αν είστε Ειλικρινής και αν και μόνον αν ο Πλούτων ανήκει στους νάνους πλανήτες;». Παίρνουμε την απάντηση «ντα» αν ο Πλούτων ανήκει στους νάνους πλανήτες και «τζα» αν δεν ανήκει, ανεξάρτητα αν αυτός που απάντησε είναι Ειλικρινής ή Ψεύτης.

Εξάσκηση

Η τρίτη προκαταρκτική άσκηση είναι πολύ πιο ενδιαφέρουσα: Βάζουν μπροστά μας γυρισμένα, ώστε να μη φαίνεται τι είναι το καθένα, τρία φύλλα της τράπουλας που είναι δύο άσοι και ένας βαλές. Μόνον αυτός που το τοποθέτησε εκεί ξέρει ποιο είναι ποιο ενώ εμείς δεν το γνωρίζουμε. Πρέπει να κάνουμε μια ερώτηση που να δέχεται απάντηση «Ναι» ή «Οχι» δείχνοντας ταυτόχρονα κάποιο από τα τρία φύλλα ώστε με σιγουριά να καταλάβουμε πού βρίσκεται ο ένας από τους άσους. Οι κανόνες είναι: α) Αν δείξουμε φύλλο που είναι άσος η απάντηση στην ερώτηση θα είναι ειλικρινής, β) αν δείχνουμε στο φύλλο με τον βαλέ ο άλλος έχει δικαίωμα να απαντήσει με ναι ή όχι αλλά εντελώς στην τύχη (ό,τι του κατέβει). Το πρόβλημα προς λύση είναι ποιο φύλλο δείχνεις και τι ρωτάς εκείνη τη στιγμή;

Η απάντηση είναι δείξε οποιοδήποτε φύλλο και ρώτα αν κάποιο από τα άλλα δύο είναι άσος. Π.χ. δείχνεις το μεσαίο και ρωτάς αν το αριστερό είναι άσος. Αν το μεσαίο που δείχνουμε είναι άσος, ο άλλος πρέπει να απαντήσει με ειλικρίνεια, άρα θα πει ναι αν πράγματι το αριστερό είναι άσος ή θα πει όχι, οπότε το δεξί είναι σίγουρα άσος. Αν το μεσαίο είναι βαλές η απάντηση είναι τυχαία, αλλά δεν έχει σημασία διότι και τα δυο άλλα φύλλα είναι άσοι, οπότε όποιο και να σηκώσουμε κερδίζουμε. Στην ουσία δείχνουμε ένα φύλλο και ρωτάμε για κάποιο άλλο. Οι πλέον… επιμελείς αναγνώστες θα θυμούνται ότι είχαμε συναντήσει στις πρώτες συνέχειες γύρω από τον Σμούλιαν αυτό το τέχνασμα.

Τo πρόβλημα!

Τώρα είμαστε έτοιμοι να αντιμετωπίσουμε ένα από θεωρούμενα ως δυσκολότερα προβλήματα Λογικής: Τρεις θεοί, ο Α ο Β και ο Γ, σε σχέση με τη συμπεριφορά τους είναι γνωστοί ως ο Αληθινός, ο Λάθος και ο Απρόβλεπτος. Αλλά δεν είναι γνωστό σε ποιον προσάπτουν αυτούς τους χαρακτηρισμούς. Ο Αληθινός δεν λέει ψέματα, ο Λάθος δίνει επίτηδες παραπλανητικές απαντήσεις και ο Απρόβλεπτος απαντά όπως του έρθει. Για να προσδιοριστεί ποιος είναι ποιος πρέπει να γίνει στον καθένα από μία ερώτηση που θα δέχεται ως απάντηση μόνο ναι ή όχι. Η ερώτηση μπορεί να γίνει στη γλώσσα μας αλλά οι θεοί, όντας θεοί, απαντούν μόνο στη δική τους θεϊκή γλώσσα που αντί για ναι, όχι χρησιμοποιεί τις λέξεις «ντα» και «τζα», αλλά δεν γνωρίζουμε εμείς ποια είναι για το ναι και ποια για το όχι.

Πνευματική Γυμναστική

1 Μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα κάποιος στο πρόβλημα 2 της προηγούμενης εβδομάδας να διαλέξει συνδυασμό δέκα αριθμών που να μην ευνοεί το κόλπο με το κρύψιμο του πρώτου ψηφίου αριστερά;

2 Από τυχόν σημείο στο εσωτερικό τετραγώνου φέρνουμε τις ευθείες προς τις τέσσερις γωνίες. Σχηματίζονται τέσσερα τρίγωνα. Γραμμοσκιάζουμε δύο από αυτά μη συνεχόμενα, δηλαδή έτσι ώστε να χωρίζονται μεταξύ τους από τα δύο άλλα που θα είναι λευκά. Μπορούμε χωρίς να καταφύγουμε σε αριθμητικές πράξεις και τον τύπο για το εμβαδόν τριγώνου να εκτιμήσουμε τι μέρος της επιφάνειας του τετραγώνου καλύπτουν αυτά τα δύο τρίγωνα;

1. Με ένα μικρό στρογγυλό κεφάλι τυριού, αρκετό σπάγκο και έναν χάρακα θέλουμε να κάνουμε ένα παιδί να αποκτήσει την αίσθηση του πόσο είναι ένα ακτίνιο. Ας υποθέσουμε πως γνωρίζουμε πού είναι το κέντρο του κύκλου στο κεφάλι του τυριού. Κάνουμε μια μαχαιριά από το κέντρο μέχρι την περιφέρεια. Αυτή έχει μήκος μιας ακτίνας. Μετρούμε με τον χάρακα το μήκος της και σημαδεύουμε αυτό το μήκος στο νήμα. Το τοποθετούμε στην περιφέρεια έτσι ώστε να προσδιορίσουμε ένα τόξο ίσου μήκους. Κάνουμε άλλη μια μαχαιριά από το κέντρο έως εκείνο το σημείο. Ξεχωρίζουμε αυτό το κομμάτι με μια εγκάρσια μαχαιριά και δίνουμε στο παιδί να… φάει ένα ακτίνιο, για να το θυμάται. Διότι το ακτίνιο είναι η γωνία σε τόξο ίσο με την ακτίνα (=57,2958 μοίρες).

2. Αυτό δεν είναι για μικρά παιδιά: Διαλέγουμε μια ομάδα δέκα ακέραιων μονοψήφιων θετικών αριθμών από αυτούς που είναι από το 1 έως το  9. Βρίσκουμε το γινόμενό τους. Από τον αριθμό που προκύπτει καλύπτουμε αυτόν της μεγαλύτερης τάξης, δηλαδή όποιον είναι πιο αριστερά από όλους. Αθροίζουμε τα υπόλοιπα ψηφία. Αν προκύψει διψήφιος αθροίζουμε πάλι τα ψηφία του, αν όχι τον αφήνουμε όπως είναι. Αφαιρούμε από το 9 τον αριθμό που βρήκαμε και συγκρίνουμε το αποτέλεσμα με τον αριθμό της μεγαλύτερης τάξης που δεν συμπεριλάβαμε στην πρόσθεση. Είναι ίδιοι; Πώς εξηγείται αυτό; Σε ποιες περιπτώσεις δεν θα είναι; Δεν ξέρω αν οι αναγνώστες θυμούνται κάποιες παλαιότερες συνέχειες που είχαμε δουλέψει επάνω στη διαιρετότητα με τον αριθμό 9 και την απόδειξη για το πώς δουλεύει ο μηχανισμός αυτός χάρη στους ισοϋπόλοιπους αριθμούς. Πάντως ξεκινάμε έχοντας υπόψη μας ότι πρέπει το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού να δίνει αριθμό που διαιρείται ακριβώς με το 9, π.χ. ο 198 (1+9+8=18 >> 1+8=9).

Επίσης οι ακέραιοι όταν πολλαπλασιάζονται με το 9 δίνουν γινόμενο που το άθροισμα των ψηφίων του δίνει πάντα 9. Οταν λοιπόν στο τέλος απαιτούμε να αφαιρέσουμε τον αριθμό από το 9 ενώ έχουμε παραλείψει το πρώτο αριστερά ψηφίο, είναι σαν να προσθέταμε και το ψηφίο αυτό έτσι ώστε να δώσει άθροισμα 9. Παράδειγμα: 2x3x5x7x6x2x2x3x3x5 = 113 400. «Κρύβουμε» το 1 και αθροίζουμε τα υπόλοιπα: 1+3+4 = 8. Αφαιρούμε 9 – 8 =1 το ψηφίο που κρύψαμε. Στην ουσία αν προσθέταμε το 1 στο 8 θα προέκυπτε το 9, άρα είχαμε δημιουργήσει εξ αρχής ένα πολλαπλάσιο του 9. Και αυτό ήταν το μυστικό. Ο λόγος που προκύπτει πολλαπλάσιο του 9 είναι πως μέσα στους αριθμούς που επιλέγουμε υπάρχουν τριάρια, εξάρια, εννιάρια κ.λπ. Αν όμως επιλέξουμε να πάρουμε δέκα φορές το 2 και μόνον αυτό είναι προφανές πως το κόλπο δεν θα πιάσει.