Επειδή στις δύο προηγούμενες συνέχειες κάναμε κάτι που αποδείχθηκε περίπλοκο, συγκεκριμένα κόψαμε στα δύο μια μεγάλη άσκηση, σήμερα παρουσιάζουμε ολοκληρωμένη την εκφώνηση και τη λύση για να μην ψάχνει ο αναγνώστης να ενώσει τα κομμάτια της.

Είχαμε λοιπόν ότι διαλέγουμε μια ομάδα 10 ακέραιων μονοψήφιων θετικών αριθμών από αυτούς που είναι από το 1 έως το 9. Βρίσκουμε το γινόμενό τους. Από τον αριθμό που προκύπτει καλύπτουμε αυτόν της μεγαλύτερης τάξης, δηλαδή όποιον είναι πιο αριστερά από όλους. Αθροίζουμε τα υπόλοιπα ψηφία. Αν προκύψει διψήφιος, αθροίζουμε πάλι τα ψηφία του· αν όχι, τον αφήνουμε όπως είναι. Αφαιρούμε από το 9 τον αριθμό που βρήκαμε και συγκρίνουμε το αποτέλεσμα με τον αριθμό της μεγαλύτερης τάξης που δεν συμπεριλάβαμε στην πρόσθεση. Οι ερωτήσεις που προκύπτουν είναι οι εξής:

1. Είναι ίδιοι;

2. Πώς εξηγείται αυτό;

3. Σε ποιες περιπτώσεις δεν θα είναι;

Δεν ξέρω αν οι αναγνώστες θυμούνται κάποιες παλαιότερες συνέχειες που είχαμε δουλέψει επάνω στη διαιρετότητα με τον αριθμό 9 και την απόδειξη για το πώς λειτουργεί ο μηχανισμός αυτός χάρη στους ισοϋπόλοιπους αριθμούς. Πάντως ξεκινάμε έχοντας υπόψη μας ότι πρέπει το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού να δίνει αριθμό που διαιρείται ακριβώς με το 9, π.χ. ο 198 (1 + 9 + 8 = 18 >> 1 + 8 = 9). Επίσης οι ακέραιοι όταν πολλαπλασιάζονται με το 9 δίνουν γινόμενο που το άθροισμα των ψηφίων του δίνει πάντα 9. Οταν λοιπόν στο τέλος απαιτούμε να αφαιρέσουμε τον αριθμό από το 9 ενώ έχουμε παραλείψει το πρώτο αριστερά ψηφίο, είναι σαν να προσθέταμε και το ψηφίο αυτό έτσι ώστε να δώσει άθροισμα 9.

Παράδειγμα: 2 x 3 x 5 x 7 x 6 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 113.400. «Κρύβουμε» το 1 και αθροίζουμε τα υπόλοιπα: 1 + 3 + 4 = 8. Αφαιρούμε 9 – 8 = 1 το ψηφίο που κρύψαμε. Στην ουσία, αν προσθέταμε το 1 στο 8, θα προέκυπτε το 9, άρα είχαμε δημιουργήσει εξ αρχής ένα πολλαπλάσιο του 9. Και αυτό ήταν το μυστικό. Ο λόγος που προκύπτει πολλαπλάσιο του 9 είναι πως μέσα στους αριθμούς που επιλέγουμε υπάρχουν τριάρια, εξάρια, εννιάρια κ.λπ. Αν όμως επιλέξουμε να πάρουμε 10 φορές το 2 και μόνο αυτό, είναι προφανές πως το κόλπο δεν θα πιάσει. Διότι 2 x 2 x 2…x 2, δηλαδή 2¹⁰  είναι ίσον με 1.024 που δεν είναι πολλαπλάσιο του 9.

Εως εδώ λοιπόν έχουμε δώσει απαντήσεις στα ερωτήματα 1 και 2. Μας μένει το 3 που χρειάζεται αρκετή ανάλυση. Στην ουσία, το ερώτημα εδώ είναι: Μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα κάποιος στο προηγούμενο πρόβλημα να διαλέξει συνδυασμό 10 αριθμών που να μην ευνοεί το κόλπο με το κρύψιμο του πρώτου ψηφίου αριστερά;

Σκεπτόμαστε ως εξής: Για καθεμία από τις 10 θέσεις, πριν αρχίσουμε τον πολλαπλασιασμό υπάρχουν 9 επιλογές (ένας από τους 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, άρα συνολικά 9 x 9 x 9… x 9, δηλαδή 9¹⁰). Δηλαδή υπάρχουν 3.486.784.401 ή κάτι κοντά στα 3,5 δισεκατομμύρια συνδυασμοί 10 αριθμών που θα μπορούσε κάποιος να έχει διαλέξει έναν από αυτούς. Οπως φάνηκε από τα προηγούμενα, αν κάποιος είχε επιλέξει μόνο από τους αριθμούς 1, 2, 4, 5, 7, 8, τότε η μέθοδος δεν θα έπιανε διότι ο τελικός αριθμός δεν θα ήταν διαιρετός με το 9. Είναι 6 οι αριθμοί αυτοί, άρα οι δυνατοί τέτοιοι συνδυασμοί είναι 6¹⁰. Αλλά προσοχή, υπάρχει και η περίπτωση να ήταν μέσα στις επιλογές μόνο μία φορά ο αριθμός 3 ή μόνο μία φορά ο αριθμός 6 και οι υπόλοιποι να είναι κάποιοι από τους 1, 2, 4, 5, 7, 8 και μόνο από αυτούς. Και στην περίπτωση αυτή το αποτέλεσμα δεν θα είναι διαιρετό με το 9. Ο αριθμός αυτών των περιπτώσεων υπολογίζεται με τον εξής συλλογισμό: Ας πούμε ότι στην αρχή διαλέξαμε τον 3 στην πρώτη θέση. Οι υπόλοιπες επιλογές θα είναι από τους 1, 2, 4, 5, 7, 8, που είναι 6, άρα συνολικά 6⁹. Το ίδιο ισχύει και για τον 6, άρα και για τους δύο μαζί θα έχουμε 2 x 6⁹. Αυτό αν ήταν στην πρώτη θέση, όπως αναφέρθηκε πριν. Αλλά θα μπορούσε να είναι και στις θέσεις 2 έως 9, οπότε τελικά είναι 10 οι πιθανές θέσεις να βρισκόταν μόνο ένα 3 ή μόνο ένα 6, άρα θα έχουμε 10 x (2 x 6⁹) ή αλλιώς 20 x 6⁹.

Επομένως οι περιπτώσεις που κάποιος συνδυασμός αριθμών από το 1 έως το 9 δεν θα ευνοούσε το τρικ αυτό είναι συνολικά 6¹⁰ + 20 x 6^9, που δίνει 60.466.176 + 20 x 10.077.696 = 60.466.176 + 201.553.920 = 261.920.096. Διαιρώντας αυτόν τον αριθμό με τον 3.486.784.401 παίρνουμε ως αποτέλεσμα περίπου 7,5%. Αρα έχουμε επιτυχία 100 – 7,5 = 92,5%, αρκετά υψηλή δηλαδή ώστε να καταπλήξουμε τον άλλον.

Πνευματική γυμναστική

1 Κάποιος είπε πως ο 2 φτιάχνει το μοναδικό ζευγάρι αριθμών που το γινόμενό τους και το άθροισμά τους είναι το ίδιο (2 x 2 = 4, 2 + 2 = 4).
Και ο Χένρι Ερνεστ Ντάντνι τού είπε: «Δώσε μου όποιον αριθμό θέλεις, οσοδήποτε μεγάλο, και εγώ θα σου βρω έναν άλλον που θα έχουν γινόμενο και άθροισμα τον ίδιο αριθμό. Πώς θα το έκανε αυτό;

2 Το παρακάτω ζητήθηκε να απαντηθεί από 16χρονα παιδιά στη Μεγάλη Βρετανία: Εχουμε Ν χάντρες σε έναν σάκο. Εξι από αυτές είναι μαύρες και οι υπόλοιπες είναι λευκές. Μια μαθήτρια παίρνει μια τυχαία από τον σάκο και δεν τη βάζει ξανά πίσω. Παίρνει και μια δεύτερη. Η πιθανότητα να έχει ανασύρει από τον σάκο 2 λευκές είναι (1/2). Να δειχθεί ότι ισχύει: Ν2 – 25Ν +84 = 0

Η απάντηση του προηγούμενου κουίζ

Διαλέγοντας ένα τυχόν σημείο στο εσωτερικό τετραγώνου ζητούσαμε αυτό να ενωθεί με ευθείες με τις τέσσερις κορυφές του τετραγώνου. Σχηματίζονται τέσσερα τρίγωνα. Γραμμοσκιάζουμε δύο από αυτά μη συνεχόμενα, δηλαδή έτσι ώστε να χωρίζονται μεταξύ τους από τα δύο άλλα που θα είναι λευκά. Μπορούμε χωρίς να καταφύγουμε σε αριθμητικές πράξεις και τον τύπο για το εμβαδόν τριγώνου να εκτιμήσουμε τι μέρος της επιφάνειας του τετραγώνου καλύπτουν αυτά τα δύο τρίγωνα;

Ναι, μπορούμε. Αρκεί από το σημείο που διαλέξαμε να φέρουμε δύο ευθείες παράλληλες με τις πλευρές του τετραγώνου. Αυτές θα είναι κάθετες μεταξύ τους και χωρίζουν το τετράγωνο σε τέσσερα ορθογώνια παραλληλόγραμμα. Στο καθένα από αυτά έχουμε δύο τρίγωνα, το ένα γραμμοσκιασμένο και το άλλο όχι. Αρα η συνολική γραμμοσκιασμένη επιφάνεια είναι η μισή από τη συνολική επιφάνεια του τριγώνου. Μια ακόμα πιο άμεση σκέψη θα ήταν να κατανοήσει κάποιος ότι τα γραμμοσκιασμένα τρίγωνα δεν έχουν κάποια ποιοτική διαφορά από τα λευκά. Αρα θα πρέπει να είναι ίσες οι επιφάνειές τους και να φθάσει αμέσως στο συμπέρασμα πως μοιράζονται εξίσου την επιφάνεια του τετραγώνου.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα