Επειδή υπάρχει μια παράκληση από μερικούς αναγνώστες σχετικά με την πλήρη κατανόηση του «αν και μόνο αν», ξεκινάμε από αυτό. Να εξηγήσουμε κάπως περισσότερο το πώς μπορούμε να χειριζόμαστε το πολύ δυνατό αυτό εργαλείο που συμβολίζεται συνήθως με το σύμπλεγμα «iff» (= «αναγκαία και ικανή συνθήκη»).

Παράδειγμα: «Η Σελήνη είναι φτιαγμένη από γραβιέρα αν και μόνο αν η Ρώμη είναι στη Ρωσία». Εξήγηση: Εδώ θεωρούμε πως όλο αυτό το συγκρότημα των δύο ισχυρισμών θα έβγαζε την απάντηση Ναι, αν περνούσε μέσα από ένα μηχάνημα ελέγχου αλήθειας με μόνη τη δυνατότητα να εμφανίζει τις λέξεις Ναι (= Αληθές), Οχι (= Ψευδές) (ενώ δεν καταλαβαίνει τι είναι η γραβιέρα και τι η Ρωσία, η Σελήνη, η Ρώμη) αλλά έχει τροφοδοτηθεί με στοιχεία αξιόπιστα για τη Σελήνη, τη Ρωσία, τη γραβιέρα, τη Ρώμη κ.λπ. Και εδώ είναι ένα πολύ λεπτό σημείο, που έχει σημασία να καταλάβουμε το γιατί.

Ούτε η Σελήνη είναι φτιαγμένη από γραβιέρα ούτε η Ρώμη είναι στη Ρωσία. Και τα δύο είναι ψευδή, αλλά, προσοχή, αυτό επειδή ακριβώς (υποτίθεται) πως μόνο στην (απίθανη) περίπτωση που η Ρώμη θα ήταν στη Ρωσία θα μπορούσε να ισχύει και ότι η Σελήνη είναι από γραβιέρα. Ολο μαζί λοιπόν το θεωρούμε αληθές, όσο και αν φαίνεται εκ πρώτης όψεως παράξενο. Ακόμα καλύτερα θα καταλάβουμε τον όλο μηχανισμό αν σκεφθούμε και τις άλλες περιπτώσεις, όπου ο ένας κλάδος της πρότασης είναι αληθής και ο άλλος ψευδής: π.χ. «η Σελήνη είναι από γραβιέρα αν και μόνο αν η Ρώμη είναι στην Ιταλία». Αυτό δεν ισχύει. Είναι προφανές πως και που είναι η Ρώμη πράγματι στην Ιταλία (αληθές) αυτό δεν κάνει τη Σελήνη να είναι από γραβιέρα (ψευδές), άρα όλο μαζί είναι Οχι (= ψευδές). Επίσης η πρόταση «η Σελήνη στερείται ατμόσφαιρας (αληθές) αν και μόνο αν η Ρώμη είναι στη Ρωσία (ψευδές)» θα δώσει συνολικά πάλι Οχι (= ψευδές). Τι μας μένει; Μια πρόταση όπως η παρακάτω: «η Σελήνη στερείται ατμόσφαιρας αν και μόνο αν η Ρώμη είναι στην Ιταλία». Και τα δύο είναι αληθή, φυσικά το καθένα από μόνο του, ανεξαρτήτως του ότι για τα πραγματικά δεδομένα το ένα δεν συνεπάγεται το άλλο (προφανώς εδώ δεν λαμβάνονται υπόψη νόμοι της Φυσικής ή αίτιο-αποτέλεσμα κ.λπ.). Οπότε ο ανιχνευτής θα δείξει Ναι (= αληθές).

Στη συνέχεια θα προσπαθήσουμε να καταλάβουμε καλά ένα παράδειγμα προβλήματος (εννοείται πως όποιος θέλει θα ήταν πολύ καλό να προσπαθήσει να βρει πρώτα μόνος του το πώς λειτουργεί) που έχει χρησιμεύσει ταυτόχρονα και ως εισαγωγή σε μια λύση, για το πρόβλημα των τριών θεών, απλούστερη από αυτήν του Τζορτζ Μπούλος.

Πρόβλημα: Στο νησί όπου ζουν μόνο ιππότες, κατάσκοποι και ψεύτες ένας ταξιδιώτης συναντά στον δρόμο τρεις ανθρώπους. Γνωρίζει πως ο ένας είναι ιππότης, άρα λέει πάντα αλήθεια, ο άλλος ψεύτης, άρα ποτέ δεν λέει αλήθεια και ο τρίτος κατάσκοπος, άρα απαντά στην τύχη για να μπερδεύει τον άλλον. Ο ταξιδιώτης δεν μπορεί να τους ταυτοποιήσει ακριβώς. Του επιτρέπεται λοιπόν να κάνει μόλις δύο ερωτήσεις και οι απαντήσεις θα είναι μόνο Ναι ή Οχι. Τι ερωτήσεις θα του υποδεικνύαμε να κάνει (σε αυτές υποχρεωτικά απαντούν και οι τρεις ο καθένας χωριστά) για να βρει ακριβώς ποιος είναι ποιος;

1η Ερώτηση: «Είσαι εσύ ο κατάσκοπος;».

Σε αυτήν ο ιππότης θα απαντήσει Οχι. Ο ψεύτης θα πει Ναι και ο κατάσκοπος ό,τι του έλθει από τα δύο, Ναι ή Οχι. Αρα στο τέλος ο ταξιδιώτης θα έχει πάρει ή δύο Ναι και ένα Οχι ή δύο Οχι και ένα Ναι. Στην πρώτη περίπτωση αυτός που του είπε Οχι είναι ο ιππότης. Στη δεύτερη περίπτωση αυτός που του είπε Ναι είναι ο ψεύτης. Αρα βρέθηκε ο ένας από τους τρεις. Στη συνέχεια παίρνουμε αυτόν που ταυτοποιήσαμε και του δείχνουμε τον έναν από τους άλλους δύο ενώ ταυτόχρονα τον ρωτάμε:

2η Ερώτηση: «Είναι αυτός ο κατάσκοπος;».

Αν είναι πραγματικά αυτός ο κατάσκοπος και η ερώτηση απευθύνθηκε στον ιππότη, η απάντηση θα είναι Ναι. Αν απευθύνθηκε στον ψεύτη, η απάντηση θα είναι Οχι. Αν αυτός που δείξαμε δεν είναι ο κατάσκοπος, οι απαντήσεις θα είναι αντίστροφα. Και στις δύο όμως περιπτώσεις θα έχουν ταυτοποιηθεί και οι τρεις τους.

Τα πάντα για να λειτουργούν τα παραπάνω, όπως θα έχουν καταλάβει οι αναγνώστες και οι αναγνώστριες, βασίζονται στην παραδοχή πως οι μόνες δυνατές απαντήσεις είναι Ναι και Οχι. Πρόκειται για τον λεγόμενο «αποκλεισμό του τρίτου», απαραίτητης προϋπόθεσης για τη λύση του περιβόητου προβλήματος του Ρέιμοντ Σμούλιαν.

Πνευματική γυμναστική

1. Μια εταιρεία κατασκευάζει κουτιά για τσιγάρα. Σε αυτά χωρούν ακριβώς 20 τσιγάρα σε κάθε στρώση, χωρίς να μένουν καθόλου κενά οπουδήποτε. Κάθε κουτί περιέχει 8 στρώσεις με 20 τσιγάρα στην κάθε στρώση και είναι τοποθετημένες ακριβώς η μία επάνω από την άλλη. Αν η διάμετρος του κάθε τσιγάρου είναι 2 μονάδες μήκους, τι μπορεί να κάνει η εταιρεία για να αυξήσει τη χωρητικότητα σε τσιγάρα, χωρίς βέβαια να αλλάξει τις διαστάσεις των κουτιών; Πόσα περισσότερα τσιγάρα μπορούν να χωρέσουν;

2. Εχουμε το άθροισμα 20131 + 20132 + 20133 + … + 20132013 και θέλουμε να βρούμε όταν γίνει η άθροιση ποιο θα είναι το τελευταίο ψηφίο δεξιά, αυτό δηλαδή που δείχνει τις μονάδες.

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Ξεκινώντας από την παρατήρηση ότι ο 2 δίνει ένα ζευγάρι αριθμών που το γινόμενό τους και το άθροισμά τους είναι το ίδιο (2 x 2 = 4, 2 + 2 = 4) ο Αγγλος Χένρι Ερνεστ Ντάντνι ισχυριζόταν ότι: «Για όποιον αριθμό θέλεις, οσοδήποτε μεγάλο, μπορώ να σου βρω έναν άλλον και οι δυο τους θα έχουν γινόμενο και άθροισμα τον ίδιο αριθμό». Αν Κ είναι ο τυχαίος ακέραιος αριθμός που μας δίδεται και Χ το ταίρι του που ψάχνουμε, τότε θα ισχύει ότι Κ x Χ = Κ + Χ. Λύνοντας ως προς Χ προκύπτει ότι Χ = (Κ/(Κ – 1)). Οπότε Κ + Χ = Κ + (Κ/(Κ – 1)) που δίνει τελικά ότι το άθροισμά τους είναι Κ 2 /(Κ – 1). Διαλέγουμε για παράδειγμα τον ακέραιο αριθμό 5. Ο αντίστοιχός του θα είναι ο 25/(5 – 1), δηλαδή ο (25/4). Οι δυο τους έχουν το ίδιο άθροισμα και το ίδιο γινόμενο (25/4).

2. Είχαμε Ν χάντρες σε έναν σάκο. Εξι από αυτές μαύρες και οι υπόλοιπες λευκές. Μια μαθήτρια παίρνει τυχαία μια χάντρα από τον σάκο και δεν τη βάζει ξανά πίσω. Παίρνει και μια δεύτερη. Η πιθανότητα να έχει ανασύρει από τον σάκο 2 λευκές είναι (1/2). Να δειχθεί ότι ισχύει: Ν2 – 25Ν + 84 = 0. Στην περίεργη αυτή εκφώνηση που ζητήθηκε να την ξεμπερδέψουν δεκαεξάχρονοι μαθητές στην Αγγλία ξεκινούμε από το ότι (Ν – 6) είναι οι λευκές. Αρα παίρνοντας μια χάντρα την πρώτη φορά, η πιθανότητα να βγει λευκή είναι (Ν – 6)/Ν. Επειδή δεν τη βάζει πίσω, τώρα οι λευκές χάντρες (δεν είναι πια Ν – 6) αλλά όσες ήταν πριν μείον μία ακόμα, δηλαδή (Ν – 6) – 1 = Ν – 7 και όλες μαζί είναι πλέον (Ν – 1), οπότε η πιθανότητα να βγει μία λευκή από το σύνολο είναι (Ν – 7)/(Ν – 1) και ο συνδυασμός των δύο κινήσεων είναι το γινόμενο των δύο πιθανοτήτων, άρα ((Ν – 6)/Ν) x ((Ν – 7)/(Ν – 1)). Αυτή η παράσταση όταν λυθεί ως προς Ν θα δώσει τη Ν2 – 25Ν + 84 = 0.