Εχουμε τους τρεις θεούς, τον Α, δηλαδή αυτόν που λέει πάντα αλήθεια, τον Ψ, αυτόν που λέει πάντα ψέματα και τον Τ, αυτόν που λέει στην τύχη πότε ΝΑΙ πότε ΟΧΙ, ό,τι του κατέβει. Είναι μπροστά μας ζωντανοί, ο ένας δίπλα στον άλλον, και μας απαντούν πότε με ja πότε με da, που είναι στη γλώσσα τους το ΝΑΙ και το ΟΧΙ, αλλά δεν έχουμε λεξικό για να ξέρουμε ποιο αντιστοιχεί στο καθένα. Ψάχνουμε ποιος θεός είναι ποιος κάνοντας μόλις τρεις ερωτήσεις.

Η λογική για να βρούμε απάντηση

Σκεφτόμαστε να εντοπίσουμε κάποιον από τους Α ή Ψ γιατί οι απαντήσεις τους είναι περισσότερο ελεγχόμενες. Ο Α θα πει αλήθεια μόνο που θα χρησιμοποιήσει  ja ή da, άρα δεν θα ξέρουμε αν είπε ναι ή όχι και ο Ψ ψέματα, πάλι με ja ή da. Θα κάνουμε μια υποθετική ερώτηση του τύπου: «Είναι μπλε ο ουρανός;» αλλά με τον σύνθετο τρόπο που μάθαμε να δουλεύουμε στα προηγούμενα. Θα πούμε στον καθένα: «Αν σε ρωτήσω «είναι μπλε ο ουρανός;» θα πεις ΝΑΙ;». Ο Α θα απαντήσει με ΝΑΙ στη γλώσσα του. Στην απάντηση του Ψ είναι το λεπτό σημείο που πρέπει να προσέξουμε. Στην απλή ερώτηση «Είναι μπλε ο ουρανός;» ο Ψ θα απαντούσε ΟΧΙ. Στη σύνθετη όμως ερώτηση ο Ψ θα το αλλάξει για δεύτερη φορά στο μυαλό του και αντί για ΟΧΙ θα απαντήσει «Ναι, θα έλεγα ΝΑΙ», άρα η απάντησή του είναι ΝΑΙ. Και εδώ είναι ένα κλειδί: Και οι δύο έχοντας διαφορετική προσέγγιση καταλήγουν να δώσουν την ίδια απάντηση.

Αυτές βέβαια τις απαντήσεις θα τις έδιναν αν απαντούσαν στη γλώσσα μας, αλλά εκείνοι απαντούν με ja ή da. Ρωτάμε λοιπόν στη γλώσσα τους: «Αν ήταν να σε ρωτήσω «είναι μπλε ο ουρανός;» θα έλεγες ja;». Αν το ja σημαίνει πράγματι ΝΑΙ, ο Α θα απαντήσει με ja . Αν το ja  όμως σημαίνει ΟΧΙ, εδώ έχουμε άλλο ένα λεπτό σημείο. Τι θα απαντούσε ο Α; Πάλι ja διότι αν μιλούσε τη γλώσσα μας θα μας έλεγε: «Οχι, αν με ρωτούσατε αν ο ουρανός είναι μπλε δεν θα σας έλεγα ΟΧΙ (δηλαδή ja που τώρα εδώ είναι όχι). Ο Ψ από την πλευρά του αν το ja σήμαινε ΝΑΙ στην απλή ερώτηση θα απαντούσε με da αλλά στη σύνθετη θα απαντούσε (και αυτός) με ja, διότι εδώ λέει το αντίθετο από ό,τι θα απαντούσε στην απλή ερώτηση. Το ίδιο όμως βγαίνει ως απάντηση και αν το ja σήμαινε ΟΧΙ. Διότι στην απλή ερώτηση θα έλεγε ja αλλά στη σύνθετη ενώ θα ήθελε να πει da τελικά από το στόμα του θα βγει το ja.

Παρατηρήσεις

Τρεις σημαντικές παρατηρήσεις έως εδώ: I) Και ο Α και ο Β αναγκάζονται να δώσουν την ίδια απάντηση. II) Αυτή είναι ίδια με τη λέξη που βάζουμε στη σύνθετη ερώτηση αν η απάντηση στην εμφωλευμένη είναι ΝΑΙ και η άλλη αν η απάντηση είναι ΟΧΙ. Εδώ ήταν το ja και η ερώτηση είχε ως απάντηση το ΝΑΙ. Εντελώς ίδια θα ήταν η συμπεριφορά και για το da. III) Δεν χρειάζεται πλέον να νοιαζόμαστε για το τι σημαίνουν τα da και ja. Από εδώ και πέρα ο δρόμος είναι ανοικτός. Χρησιμοποιούμε στοιχεία που έχουν αναλυθεί στα προηγούμενα με ανάλογα παραδείγματα.

Οπως στέκονται οι θεοί ο ένας δίπλα στον άλλον θέλουμε να απομονώσουμε τον Τ, δηλαδή αυτόν που δίνει τις τυχαίες απαντήσεις και να μη μιλήσουμε στη συνέχεια μαζί του. Η πρώτη λοιπόν ερώτηση απευθύνεται στον μεσαίο: «Αν ήταν να σε ρωτήσω αν ο θεός στα αριστερά σου είναι ο Τ, δηλαδή αυτός που δίνει τυχαίες απαντήσεις, θα μου απαντούσες με ja;».

Αν η απάντηση του θεού αυτού είναι ja, υπάρχουν δύο εκδοχές. Είτε ο θεός στα αριστερά του είναι πράγματι ο Τ και ο θεός που ρωτήθηκε είναι ο Α ή ο Ψ. Είτε ο θεός στη μέση είναι ο Τ, ο τυχαία απαντών. Ο,τι όμως και να συμβαίνει ο θεός δεξιά του δεν είναι ο Τ…

…Οι αναγνώστες όμως ίσως να θέλουν να συνεχίσουν τους συλλογισμούς λίγο πριν το τέλος χωρίς άλλη βοήθεια μέχρι την επόμενη Κυριακή.

Πνευματική Γυμναστική

1. Εχουμε έναν κύκλο με διάμετρο 5 εκατοστά και ένα ξύλινο ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 5 και 6 εκατοστά. Στις πλευρές του τριγώνου υπάρχουν οι απαραίτητες υποδιαιρέσεις σε εκατοστά και χιλιοστά. Πώς μπορώ να βρω μόνο με το τρίγωνο το κέντρο του κύκλου;

2. Συναντιούνται δύο φίλοι, ο Α και ο Β, εραστές του τζόγου. Αποφασίζουν ότι θα παίρνουν από ένα φύλλο ο καθένας και όποιος έχει το μεγαλύτερο κάθε φορά θα κερδίζει. Αλλά για να γίνει το παιχνίδι πιο δραματικό αποφασίζουν πως θα ξεκινήσουν με ποντάρισμα 1 σεντ και μετά από κάθε τράβηγμα θα διπλασιάζεται το ποντάρισμα. Δηλαδή μετά θα γίνει 2 μετά 4, 8 κ.λπ. Λέει ο Β, έχω μόλις 6,01 ευρώ και δεν θα παίξω παραπάνω από 10 παιχνίδια. Επαιξαν πράγματι και στο τέλος ο Β παραδέχεται ότι τα έχασε όλα και σταματά. Στα παιχνίδια που έπαιξαν σε ποια κέρδισε ο Β;

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Στο πρόβλημα αυτό ζητούσαμε να βρεθεί τρόπος αντί για 160 τσιγάρα με 20 σε κάθε στρώση επί 8 σειρές να έχουμε περισσότερα τσιγάρα στο κουτί. Με τη διάμετρο του κάθε τσιγάρου να είναι 2 μονάδες μήκους. Χωρίς βέβαια να αλλάξουν οι διαστάσεις των κουτιών πόσα περισσότερα τσιγάρα μπορούν να χωρέσουν; Η πρώτη κίνηση είναι μετά την πρώτη στρώση με 20 τσιγάρα στις επόμενες να τοποθετούμε 19 στα ενδιάμεσα, δηλαδή στο «αυλάκι» που δημιουργείται από δύο τσιγάρα της κατώτερης στρώσης να μπαίνει ένα της ανώτερης. Με τη διάμετρο να είναι 2 μονάδες, άρα την ακτίνα να είναι 1 μονάδα, ενώνοντας τα κέντρα δύο τσιγάρων στην κατώτερη στρώση και ενός στην ανώτερη προκύπτει ένα ισόπλευρο τρίγωνο και το ύψος του, με το πυθαγόρειο θεώρημα, να προκύπτει ίσο με √3 = 1,732. Αρα μετά την πρώτη στρώση οι επόμενες ανεβαίνουν κατά 1,732 μονάδες. Αφού πρώτα είχαμε 8 στρώσεις σημαίνει ότι το βάθος του κουτιού είναι 16 μονάδες. Επομένως μετά την πρώτη στρώση που έχει ύψος 2 μονάδες μένουν 14 μονάδες, άρα μπορούν να χωρέσουν άλλες 8 στρώσεις (8 x 1,732 = 13,856). Αυτό σημαίνει ότι μπορούν έτσι να χωρέσουν 20 + 19 x 8 = 172. Ηδη λοιπόν έχουμε περάσει τα 160 της αρχικής. Και υπάρχουν και δυνατότητες βελτίωσης, τι λέτε;

2. Για το άθροισμα 20131 + 20132 + 20133 + … + 20132013 θέλαμε να βρούμε, όταν γίνει όλη αυτή η άθροιση, ποιο θα είναι το τελευταίο ψηφίο δεξιά, αυτό δηλαδή που δείχνει τις μονάδες. Προφανώς κανείς δεν σκέπτεται να κάνει όλες αυτές τις πράξεις. Παίρνοντας όμως κάποιους όρους παραπάνω: 20131 + 20132 + 20133 + 20134 + 20135 + 20136 +… παρατηρούμε πως για το ψηφίο των μονάδων έχουμε να είναι αντίστοιχα: 3, 9, (2)7, (8)1, 3, 9, (2)7, (8)1,… δηλαδή υπάρχει περιοδικότητα με περίοδο τους τέσσερις αριθμούς 3,9,7,1. Ετσι στον 2012 (αριθμός που διαιρείται ακριβώς διά του 4) θα είναι στη θέση των μονάδων το 1. Αρα όταν περάσουμε και στον τελευταίο όρο θα το διαδεχθεί το 3.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα