Στο προηγούμενο είχαμε μια πρώτη γνωριμία με τον κύριο Φράνσις Σου. Εναν καθηγητή Μαθηματικών με γονείς κινεζικής καταγωγής αλλά μεγαλωμένο στο Τέξας, που διδάσκει, από άποψη όπως λέμε, σε κάποιο μικρό κολέγιο των Ηνωμένων Πολιτειών. Αν και τελείωσε τις σπουδές του με ένα διδακτορικό στο Χάρβαρντ δεν συνέχισε σε κάποιο από τα κορυφαία θεωρούμενα ιδρύματα.

Οχι μόνον έχει διαβάσει όπως φαίνεται Πλάτωνα και Αριστοτέλη, αλλά κάποια από αυτά που γράφουν προσπαθεί να τα συνδυάσει με τα Μαθηματικά και να φτιάξει έναν οδηγό ζωής. Στο προηγούμενο αναφέραμε την άποψή του για την ευδαιμονία, όπου ισχυρίζεται ότι «η εξάσκηση με τα Μαθηματικά (είναι σε θέση να) καλλιεργεί αρετές που βοηθούν στην ευδαιμονία του ανθρώπου». Την ιδέα του αυτήν την προχωρεί κάνοντας αναφορά στον Αριστοτέλη και στην άποψη του έλληνα φιλοσόφου ότι «η ευδαιμονία έρχεται με την άσκηση της αρετής».

Σε σχέση λοιπόν με την δική του κοσμοθεωρία ο Σου αναφέρει πως η άσκηση της μαθηματικής επιστήμης καλλιεργεί αρετές που βοηθούν στην ευδαιμονία του ανθρώπου. Και αυτές οι αρετές είναι χρήσιμες ανεξάρτητα ποιο επάγγελμα θα ασκήσεις τελικά. Δίνει μάλιστα και ένα αρκετά παραστατικό παράδειγμα. Αν, λέει, το να κάνεις Μαθηματικά είναι κάτι σαν την ιστιοπλοΐα, τότε οι ανθρώπινες επιθυμίες έχουν τη θέση του ανέμου που φουσκώνουν τα πανιά και οι αρετές είναι η ποιότητα στον χαρακτήρα που φτιάχνει τελικά το άθλημα της ιστιοπλοΐας (σύνεση, προσοχή, και αρμονία με τον άνεμο).

Η χαρά της ανακάλυψης

Με τα πανιά μας πηγαίνουμε και από το ένα σημείο στο άλλο αλλά αυτός δεν είναι ο μόνος λόγος που κάνουμε ιστιοπλοΐα. Παραλληλίζει το να λύνεις ασκήσεις με το να μάθεις τους ναυτικούς κόμπους. Η ιστιοπλοΐα δεν είναι οι κόμποι. Και προφανώς αυτό απογυμνώνει τελείως πολλές πρακτικές που συνδέονται με τη διδασκαλία των Μαθηματικών στην τάξη. Το να συμπληρώνουν τα παιδιά τα κενά δίπλα σε κάποια δεδομένα (μήκος, πλάτος, βρείτε τη διαγώνιο του ορθογωνίου παραλληλογράμμου) θεωρείται πλέον ως κάτι τελείως άνευ ουσίας. Εδώ για παράδειγμα έχει θέση και η εξής ερώτηση: Σε πόσες τάξεις όταν φθάνουν στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ωθούνται τα παιδιά να ανακαλύψουν μόνα τους διάφορες ιδιότητες του ορθογωνίου παραλληλογράμμου; Για παράδειγμα, να ψάξουν το ποιες ιδιότητες αποκτά ξαφνικά μια ευθεία που περνάει από το σημείο τομής των διαγωνίων; Υπάρχει μάλιστα μετά την ανακάλυψη αυτήν το πρόβλημα της λαμαρίνας με τα ψημένα κουλουράκια (που κάποιος αφαίρεσε ένα μικρό τμήμα πάλι σε σχήμα ορθογωνίου παραλληλογράμμου και ο πατέρας καλείται στη συνέχεια να μοιράσει δίκαια τα υπόλοιπα κουλουράκια στα δύο παιδιά, χωρίς όμως να μπει στον κόπο να τα μετρήσει!).

Κάθε εκπαιδευτικός κάθε βαθμίδας έχει προκληθεί να απαντήσει στην ερώτηση: «Και αυτό πότε και πού θα μου χρησιμεύσει στη ζωή; Γιατί να το μάθω;». Αυτό κατά τον κ. Σου μεταφράζεται στο «θα έλθει κάποια στιγμή που θα εκτιμήσω (=εξαργυρώσω) την αξία του;». Και θέλει να πολεμήσει την εξίσωση της αξίας των Μαθηματικών με κάτι το εντελώς χρηστικό. Για τον λόγο αυτόν καθιερώνει τον όρο «mathematical explorer», δηλαδή καλεί τους μαθητές του να γίνουν εξερευνητές σε νέους χώρους και τα Μαθηματικά να μην είναι κάτι σαν τα εργαλεία στο βαλιτσάκι ενός επισκευαστή συσκευών.

Πνευματική γυμναστική

1. Υπάρχει κάτι που ονομάζεται Δημοπρασία Vickrey. Αν θέλει για παράδειγμα μια υπηρεσία να πουλήσει τα αυτοκίνητά της τα δείχνει με όποιον τρόπο μπορεί (Διαδίκτυο, στο συνεργείο κ.λπ.) και δέχεται προσφορές από τους ενδιαφερομένους, που δεν ανακοινώνονται έως το τέλος. Γνωρίζουν όμως ότι θα πάρει το αυτοκίνητο όποιος δώσει την υψηλότερη προσφορά αλλά θα πληρώσει με την τιμή της δεύτερης καλύτερης προσφοράς. Γιατί αυτό κάνει (δηλαδή συμφέρει) όσους συμμετέχουν να δίνουν προσφορά κοντά στην πραγματική αξία και όχι να δίνουν προσφορές πολύ υψηλές ή πολύ χαμηλές;

2. Μπορούμε να βρούμε δύο ορθογώνια παραλληλόγραμμα Α και Β, που το Α να έχει διπλάσια περίμετρο από το Β και το Β διπλάσιο εμβαδόν από το Α;

Οι απαντήσεις στα προηγούμενα κουίζ

1. Φθάνουμε στην όχθη ενός μικρού αλλά ορμητικού χειμάρρου και βλέπουμε ότι κυλάει ανάμεσα σε κάποια δέντρα που φθάνουν μέχρι και ακριβώς έως τις όχθες του. Θέλουμε να υπολογίσουμε την απόσταση από τη μια όχθη στην απέναντι αλλά δεν διαθέτουμε κάτι παραπάνω από ένα ξύλινο μέτρο. Μπορούμε παρ’ όλα αυτά να βρούμε το πλάτος του χειμάρρου χωρίς να μπούμε μέσα σε αυτόν; Ξεκινούμε μπήγοντας κάθετα στο χώμα ένα μικρό ίσιο κλαδί ώστε να σχηματίζει μια νοητή κάθετο ως προς τον χείμαρρο. Κατεβαίνουμε στη δική μας όχθη 20 μέτρα (υποθέτουμε πως η όχθη σε αυτά τα μέτρα είναι ευθεία) και τοποθετούμε άλλο ένα κλαδί εκεί. Συνεχίζουμε να προχωρούμε στην ίδια κατεύθυνση για άλλα 16 μέτρα. Από αυτό το τελευταίο σημείο περπατάμε κάθετα ως προς την όχθη μας (προς το εσωτερικό) για άλλα 12 μέτρα. Αν ενώσουμε όλα αυτά τα σημεία έχουν σχηματιστεί δύο όμοια και ορθογώνια τρίγωνα. Στο ένα γνωρίζουμε τις δύο κάθετες πλευρές του (16 και 12), οπότε η υποτείνουσα με το πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκεται ίση με 20 μέτρα. Αρα γνωρίζουμε και τον λόγο δύο πλευρών του που είναι 16/20 = 4/5. Ο ίδιος λόγος θα ισχύει και για το άλλο τρίγωνο, που δεν γνωρίζουμε την υποτείνουσά του και την μία κάθετο πλευρά του (αυτήν που είναι το ζητούμενο εύρος). Αν είναι x η υποτείνουσα αυτή θα ισχύει ότι (4/5) = (20/x), άρα x = 25. Τώρα γνωρίζουμε δύο πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου και βρίσκουμε την τρίτη με πυθαγόρειο θεώρημα να είναι ίση με 15 (εδώ βγήκαν ακριβώς οι αριθμοί αλλά και με όποια άλλη επιλογή θα προκύψει περίπου το ίδιο αποτέλεσμα, αρκεί να ευθυγραμμιστούν τρία σημεία).

2. Χρειάζεται να τηλεφωνήσεις στο σπίτι ενός ανθρώπου και τυχαίνει να μη γνωρίζεις τον αριθμό του κινητού του. Απαντά στο σταθερό το ένα από τα δύο παιδιά του που είναι αγόρι. Ποια είναι η πιθανότητα και το άλλο του παιδί να είναι αγόρι; Μια πρώτη απάντηση είναι πως έχοντας ακριβώς τις ίδιες πιθανότητες ένα παιδί που γεννιέται να είναι αγόρι ή κορίτσι η απάντηση είναι (1/2). Αν όμως σκεφθεί κάποιος τους πιθανούς συνδυασμούς για τα φύλα δύο παιδιών (χωρίς να λαβαίνουμε εδώ υπόψη για λόγους απλούστευσης του προβλήματος και τις άλλες περιπτώσεις όπως non binary κ.λπ.) αυτοί είναι: Α(γόρι)Κ(ορίτσι), ΑΑ, ΚΚ, ΚΑ. Εφόσον απάντησε αγόρι στο τηλέφωνο αποκλείεται η περίπτωση ΚΚ και μένουν οι άλλες τρεις, οπότε η πιθανότητα για ΑΑ είναι (1/3). Βέβαια υπάρχουν πολλές αμφισβητήσεις για το αν ΑΚ και ΚΑ εδώ πρέπει να θεωρηθούν χωριστές περιπτώσεις και είναι θέμα διατύπωσης του προβλήματος.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα