Η Λίντα Φουρούτο είναι «εθνομαθηματικός». Μια γυναίκα που μεγάλωσε στη Χαβάη και στα παιδικά της χρόνια είχε προβλήματα με την κατανόηση των μαθηματικών και τη σκοπιμότητά τους. Μεγαλώνοντας η Λίντα έβαλε ως πρώτο στόχο να μην έχει πλέον τέτοια προβλήματα και στη συνέχεια να κάνει άλλα παιδιά και νέους να έχουν μια όσο γίνεται λιγότερο τραυματική συνάντηση με τα μαθηματικά. Μέχρι που αυτή η συνάντηση να φθάνει να γίνεται έως και απελευθ-ερωτική. Ο τρόπος που επέλεξε είχε σχέση με τον τόπο που μεγάλωσε, σε ένα νησί στον Ειρηνικό, με τη θάλασσα να παίζει πρωταρχικό ρόλο στις ζωές των ανθρώπων (ξέρω και μια άλλη χώρα όπου συνεχώς ακούς για τον ρόλο της θάλασσας αλλά τη σχέση της με τα μαθηματικά λίγο την έχει εξερευνήσει το σχολείο).

Ετσι, ως καθηγήτρια πλέον στο Πανεπιστήμιο της Χαβάης, ύστερα από σπουδές και διδακτορικά, ασχολείται τώρα με κάτι που ονομάζεται «εθνομαθηματικά». Ξεκίνησε με το να ψάχνει τις σχέσεις των μαθηματικών με τη ναυσιπλοΐα των ιθαγενών της περιοχής, με τη γεωμετρία των πανιών στις βάρκες τους, με τα μαθηματικά γύρω από τα κύματα, την εφαρμογή γραμμικών συναρτήσεων για τον καθαρισμό της θάλασσας από βλαβερά φύκη, θεωρία πινάκων στην προσπάθεια συλλογής σκουπιδιών από τους βυθούς, τριγωνομετρία σχετικά με τη ναυπήγηση πλοίων και την εύρεση της πορείας. Και το αποκορύφωμα, μαθήματα επάνω σε ένα καταμαράν καθώς οι φοιτητές κάνουν ταξίδια όχι απλά στην περιοχή αλλά στον κόσμο ολόκληρο!

Θαλασσινές εμπειρίες

Κατά σύμπτωση και ο κ. Φράνσις Σου αναφέρει μια πολύ ενδιαφέρουσα «θαλασσινή» εμπειρία (τουλάχιστον για όσους διδάσκουν σε συγκεκριμένα σχολεία). Ενα Σάββατο, στο πλαίσιο εθελοντικής εργασίας, πήγε να διαβάσει σε μικρά παιδιά που έμεναν στο Λος Αντζελες, αλλά σε κάποια υποβαθμισμένη συνοικία, ένα βιβλίο σχετικό με τη θάλασσα ώστε με αφορμή το περιεχόμενο του βιβλίου να τους μιλήσει για τους αριθμούς. Οσο και αν προσπάθησε δεν κατάφερε να τους κινήσει το ενδιαφέρον, οπότε κάποια στιγμή ρωτάει «πόσοι από εσάς έχουν πάει στη θάλασσα;». Και τότε κατάλαβε διαμιάς πολλά πράγματα μαζί.

Μόνο ένα παιδί σήκωσε το χέρι του, αν και η θάλασσα είναι (θεωρητικά) δίπλα στο Λος Αντζελες (σε περίπου 20 χιλιόμετρα απόσταση). Ετσι έφθασε να γράψει ότι «για εμένα η ακτή απέκτησε και μεταφορική σημασία. Συμβολίζει τις ελευθερίες που είναι σημαδιακές (= καθοριστικές) για να κάνεις μαθηματικά». Και τις απαριθμεί: Είναι η ελευθερία της γνώσης (όταν βρεθείς σε μια ακτή κάνεις κολύμπι, ηλιοθεραπεία, παίζεις παιχνίδια με το νερό και την άμμο. Ολα αυτά όμως μόνο αν ξέρεις και έχεις πάει τουλάχιστον μια φορά. Αν αυτό δεν σου έχει συμβεί, δεν ξέρεις τίποτα. Πρέπει κάποιος να σου τα έχει πει.

Μετά έρχεται η ελευθερία της εξερεύνησης. Να μπορείς στην ακτή να ψάξεις για διάφορα πράγματα που δεν φαίνονται με την πρώτη ματιά. Οι επόμενες δύο είναι η ελευθερία της κατανόησης (να έχεις τη δυνατότητα να δηλώσεις πως δεν κατάλαβες κάτι, υπάρχουν ακόμη και φοιτητές που δεν τολμούν να πουν ότι δεν καταλαβαίνουν) και η ελευθερία του να μπορείς να φαντάζεσαι. Τα παιχνίδια στην άμμο και η τοπολογία είναι ασκήσεις της φαντασίας. Και τέλος, το πιο απροσδόκητο, η ελευθερία του να αισθάνεσαι ευπρόσδεκτος σε ένα μέρος (άρα και σε έναν χώρο όπως είναι αυτός που περιβάλλει τα μαθηματικά).

Πνευματική Γυμναστική

1Ο μάγος καλεί στη σκηνή ένα νεαρό ζευγάρι. Δείχνει στον άνδρα ένα φύλλο χαρτί όπου είναι γραμμένες για να γίνουν οι εξής δυο πράξεις: 0 + (8/9) + (8/1) και (6/8)(9/6)(8/9). Του λέει να γράψει σε ένα χωριστό χαρτί το αποτέλεσμα των δύο πράξεων. Στη συνέχεια δείχνει το χαρτί και στην κοπέλα και την προτρέπει να κάνει και εκείνη τις πράξεις και να γράψει τα αποτελέσματα σε ένα άλλο χαρτί. Οταν όμως παίρνει τα δυο χαρτιά με τα αποτελέσματα, διαπιστώνει ότι οι δυο κάπου έχουν βρει πολύ διαφορετικό αποτέλεσμα. Τι έχει συμβεί;

2Ο ίδιος μάγος στη συνέχεια καλεί πέντε άτομα στη σκηνή. Τους βάζει να καθίσουν και λέει ότι θα κολλήσει στα μέτωπά τους από μια αυτοκόλλητη βούλα που θα έχει μαύρο ή άσπρο χρώμα. Ο καθένας θα βλέπει τα μέτωπα των άλλων αλλά δεν θα γνωρίζει το χρώμα της δικής του. Στη συνέχεια τους λέει: «Αν δείτε τρεις μαύρες βούλες, θέλω να σηκωθείτε. Και όποιος καταλάβει το χρώμα της δικής του βούλας να σηκώσει το χέρι του». Υστερα από δυο λεπτά ένας παίκτης σηκώνει το χέρι του. Ποιο χρώμα είχε η βούλα του; Επαιξαν όλοι οι παίκτες ισότιμα;

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Σε αυτό που ονομάζεται Δημοπρασία Vickrey γίνονται προσφορές από τους ενδιαφερομένους που δεν ανακοινώνονται έως το τέλος. Γνωρίζουν όμως όλοι ότι θα πάρει π.χ. το αυτοκίνητο όποιος δώσει την υψηλότερη προσφορά αλλά θα πληρώσει με την τιμή της δεύτερης καλύτερης προσφοράς. Ζητούσαμε το πώς εξηγείται ότι αυτός ο τρόπος κάνει (δηλαδή συμφέρει) όσους συμμετέχουν να δίνουν προσφορά κοντά στην πραγματική αξία (αντί για πολύ υψηλές ή πολύ χαμηλές προσφορές). Ας πάρουμε τις εξής τρεις τιμές: Μ η μάξιμουμ τιμή προσφοράς που δόθηκε, V (από τον Vickrey) αυτή που είναι η δική μας και θεωρούμε πως είναι πιο κοντά στην πραγματική αξία και Β μια άλλη οποιαδήποτε, υψηλότερη ή χαμηλότερη από τη V. Αν και η Β και η V είναι μικρότερες από τη Μ, κερδίζει όποιος έδωσε τη Μ και χάνουν και οι δυο άλλοι, αλλά δεν έδωσαν τιμή που δεν πίστευαν πως αξίζει. Το θέμα είναι τι γίνεται όταν i) Β (υποθετικά) >Μ>V ή ii) B<M<V. Στην πρώτη περίπτωση όποιος θα έδινε Β (υπερβαίνοντας τη μέχρι τότε μάξιμουμ προσφορά Μ) θα κέρδιζε, αλλά αυτός που έδωσε V δεν χάνει αφού θεωρεί ότι τόσα μόνο αξίζει το αυτοκίνητο. Στη δεύτερη περίπτωση αυτός που δίνει V κερδίζει όταν αυτή είναι η μεγαλύτερη και μάλιστα το πληρώνει σε τιμή μικρότερη από ό,τι το υπολόγιζε.

2. Μπορούμε να βρούμε δυο ορθογώνια παραλληλόγραμμα Α και Β, που το Α να έχει διπλάσια περίμετρο από το Β και το Β διπλάσιο εμβαδόν από το Α; Ναι, μπορούμε. Αν α, β είναι οι πλευρές του πρώτου ορθογωνίου και γ, δ του δεύτερου, υποθέτουμε ότι: 2αβ = γδ και α + β = 2(γ +δ). Λύνουμε τις δυο αυτές ως προς α και γ, οπότε παίρνουμε: α = [δ(β – 2δ)/(4β – δ)] και γ = [2β(β – 2δ)/(4β – δ)]. Για να είναι α κα γ θετικά (αφού είναι πλευρές) πρέπει β > 2δ και 4β > δ. Αν πάρουμε το β = 3δ, τότε προκύπτει ότι α = (δ/11), β = 3δ, γ = (6δ/11), δ. Αρα αβ = (3δ2 /11) γδ = (6δ2 /11), 2α + 2β = (68δ/11) 2γ + 2δ = (34δ/11). Με δ = 11 προκύπτει α = 1, β = 33, γ = 6, δ = 11. Και τα εμβαδά προκύπτουν 33 και 66 ενώ οι περίμετροι 68 και 34.