Αυτή την Κυριακή και για κάποιες επόμενες έχουμε σκοπό να ασχοληθούμε με έναν από τους κορυφαίους εκλαϊκευτές στο θέμα των θεωρούμενων  ως (ψυχαγωγικών) μαθηματικών προβλημάτων. Που μπορούν, για όσους το προσπαθούν, να δίνουν  σημαντική βοήθεια και στην εκπαίδευση και στην ψυχαγωγία.

Ο λόγος βέβαια για τον Αμερικανό Μάρτιν Γκάρντνερ (1914-2010). Και ως καλύτερη εισαγωγή για τα όσα μας άφησε, αυτές τις ημέρες που ίσως να υπάρχει λίγο περισσότερος ελεύθερος χρόνος για κάποιους τουλάχιστον από τους αναγνώστες μας, το διάσημο πρόβλημα των 5 ανθρώπων και του πιθήκου, που η εκφώνησή του είναι η εξής:

Πέντε άνθρωποι και ένας πίθηκος ναυαγούν σε ένα ερημονήσι. Την πρώτη ημέρα μαζεύουν καρύδες και δημιουργούν ολόκληρο σωρό για το φαγητό της επομένης. Μέσα στη νύχτα όμως κάποιος από τους πέντε ξυπνάει και αποφασίζει να πάρει το μερίδιό του εκείνη την ώρα δημιουργώντας πρώτα πέντε σωρούς από τον αρχικό. Επειδή περίσσεψε μία καρύδα την προσέφερε στον πίθηκο. Εκρυψε τον δικό του σωρό και τους υπόλοιπους τους ένωσε πάλι σε έναν σωρό. Μετά πήγε ήσυχος για ύπνο. Στη συνέχεια ξυπνάει ένας ακόμη και επαναλαμβάνεται η ίδια ιστορία. Πέντε σωροί από έναν, παίρνει το δικό του μερίδιο και μία που περισσεύει και προσφέρεται και πάλι στον πίθηκο. Κρύβει και αυτός το δικό του μερίδιο, ενώνει τους πέντε σωρούς σε έναν και πάει να κοιμηθεί ξανά. Το ίδιο έγινε με όλους. Το πρωί μόλις ξυπνούν ό,τι είχε μείνει μοιράζεται στα πέντε, περισσεύει για άλλη μια φορά καρύδα που δίδεται στον πίθηκο που έφθασε έτσι να έχει έξι καρύδες. Ζητείται το πόσες καρύδες υπήρχαν αρχικά.

Σημείωση: Ο τακτικός αναγνώστης μας κ. Θεόδωρος Μπίσκος έκανε τις εξής παρατηρήσεις σχετικά με προηγούμενα προβλήματα που εμφανίστηκαν στη σελίδα.

«1. Για το πρόβλημα με τους χτύπους της καρδιάς: Αν ο ρυθμός της καρδιάς είναι 60 χτύποι το λεπτό ακριβώς, τότε είτε θα συμπίπτουν συνεχώς με τον ήχο των δευτερολέπτων είτε δεν θα συμπέσουν ποτέ.

2. Για το πρόβλημα με τη μύγα και τα τρένα: Για να μπορέσει η μύγα να πετάξει 20 km θα πρέπει να απέχει τουλάχιστον 10 km από το τρένο με το οποίο κινείται με την ίδια φορά. Αν η μύγα ξεκινήσει το πέταγμα σε επαφή με το τρένο δεν θα προλάβει να πετάξει διότι θα την παρασύρει το τρένο που κινείται με μεγαλύτερη ταχύτητα».

Για το πρώτο, στην περίπτωση των 60 παλμών ανά λεπτό μπορούμε να πούμε ότι αν δεν συμπέσουν και δεν ακουστεί ο ήχος της σύμπτωσης το μόνο που θα μπορούσε να γίνει θα ήταν να επαναληφθεί η μέτρηση ώστε κάποια στιγμή να συμπέσει η αρχή τους με την αρχή ενός δευτερολέπτου. Ως προς το δεύτερο, η παρατήρησή του είναι πολύ σωστή. Και είναι αλήθεια ότι συνήθως στην εκφώνηση του κλασικού αυτού προβλήματος (που το υπέβαλαν κάποτε ακόμη και στον Φον Νόιμαν) δίνουν ταχύτητα στη μύγα μεγαλύτερη από αυτήν των τρένων. Ο Μάρτιν Γκάρντνερ είναι η αλήθεια ότι το έδωσε όπως ήταν διατυπωμένο και στη σελίδα μας. Προφανώς ο συλλογισμός δεν αλλάζει είτε ξεκινά η μύγα από τη μέση είτε κολλητά με κάποιο από τα τρένα.

Πνευματική Γυμναστική

1. Στους γνωστούς κυλιόμενους διαδρόμους των αεροδρομίων δύο φίλοι θέλουν να διαπιστώσουν το εξής: Αν κάνει λιγότερο χρόνο αυτός που πηγαίνει και επιστρέφει χωρίς να ανέβει στον κυλιόμενο διάδρομο ή αυτός που βαδίζει σε όλο το μήκος του την ώρα της κίνησης με ταχύτητα ίση με αυτήν στο περπάτημα εκτός διαδρόμου αλλά επιστρέφει βαδίζοντας με την ίδια ταχύτητα που είχε πριν επίσης επάνω στον κυλιόμενο διάδρομο καθώς αυτός κινείται με αντίθετη φορά.

2. Μια κυρία τελειώνοντας τη δική της δουλειά παίρνει με το οικογενειακό αυτοκίνητο τον σύζυγό της τις περισσότερες ημέρες από τον σταθμό του Προαστιακού στις 5 το απόγευμα και γυρίζουν σπίτι μαζί. Μια ημέρα ο σύζυγος επέστρεψε στις 4 και επειδή δεν ήταν το αυτοκίνητο και η σύζυγος εκεί να τον περιμένουν άρχισε να βαδίζει προς το σπίτι του. Συναντήθηκε στον δρόμο με τη σύζυγό του και το αυτοκίνητό τους. Γύρισαν μαζί 20 λεπτά νωρίτερα από το συνηθισμένο. Μια άλλη ημέρα έφθασε στις 4.30 στον σταθμό και έγινε το ίδιο. Συναντήθηκαν και επέστρεψαν σπίτι νωρίτερα και πάλι. Πόσο νωρίτερα ήταν αυτή τη φορά;

Οι απαντήσεις στα προηγούμενα κουίζ

1. Ας φανταστούμε πως στο καθένα από τέσσερα ορθογώνια χαρτονάκια όπως μας τα παρουσιάζει κάποιος είναι γραμμένα τα εξής σύμβολα Α, 2, 3 και Β. Μας λέει ότι και στο καθένα από αυτά, στη μια πλευρά είναι γραμμένος αριθμός και στην άλλη γράμμα. Μας δίνει και την επιπλέον πληροφορία ότι αν στη μία πλευρά το γράμμα είναι φωνήεν, στην άλλη ο αριθμός είναι ζυγός. Πόσα χαρτονάκια πρέπει να γυρίσω και από την άλλη πλευρά για να είμαι σίγουρος πως αυτό το τελευταίο ισχύει; Δύο αρκούν. Το πρώτο χαρτονάκι, αυτό με το Α, θα πρέπει να ελεγχθεί αν στην πίσω πλευρά είναι γραμμένος ένας ζυγός αριθμός. Το δεύτερο δεν χρειάζεται έλεγχο διότι μπορεί να είναι ό,τι γράμμα, φωνήεν ή σύμφωνο. Το τρίτο όμως επειδή έχει περιττό αριθμό θα πρέπει να ελεγχθεί αν στην άλλη πλευρά του είναι φωνήεν (που απαγορεύεται) ή σύμφωνο.
2. Αφού γίνεται συζήτηση για εκλογές. Ολοι όσοι ψήφισαν για το Κόμμα του Κουνουπιδιού είχαν φάει ήδη κουνουπίδι. Από αυτούς που ψήφισαν άλλα κόμματα το 90% δεν είχαν φάει ποτέ κουνουπίδι. Από όσους ψήφισαν το 46% είχαν φάει κουνουπίδι. Είχαμε ζητήσει να βρεθεί πόσο τοις εκατό ψήφισαν το Κόμμα του Κουνουπιδιού. Αν λοιπόν είναι κ% αυτοί που έφαγαν κουνουπίδι και ψήφισαν το κόμμα της τόσο ωφέλιμης αυτής τροφής και ν% αυτοί που είχαν φάει κουνουπίδι αλλά ψήφισαν τα άλλα κόμματα, τότε αυτοί που δεν είχαν φάει ποτέ κουνουπίδι και δεν ψήφισαν το Κόμμα του Κουνουπιδιού αλλά τα υπόλοιπα κόμματα ήταν 9ν%. Αρα όλοι μαζί (οι ψηφίσαντες) ήταν: κ + ν + 9ν = 100. Επίσης αυτοί που είχαν φάει κουνουπίδι και ψήφισαν ήταν κ + ν = 46. Από αυτές τις δύο εξισώσεις προκύπτει ότι κ = 40 και ν= 6. Δηλαδή το vegetarian αυτό κόμμα ψηφίστηκε από το 40%.