Θα καταπιαστούμε σήμερα με τη λύση του προβλήματος με τους ανθρώπους, τον πίθηκο και τις καρύδες που δώσαμε πριν από δύο εβδομάδες. Ο αναγνώστης που θα θελήσει προλαβαίνει να κάνει άλλη μία προσπάθεια για την απάντηση. Πάντως, όποιος ή όποια παρακολουθήσει τη λύση που δημοσιεύεται εδώ δεν χρειάζεται να έχει παραπάνω γνώσεις από τον τύπο της διαίρεσης που κωδικοποιείται από την εξίσωση: ο ακέραιος αριθμός Δ που διαιρείται  από έναν άλλον μικρότερό του ακέραιο δ είναι ίσος με το γινόμενο του δ με τις φορές Π που χωράει ο δ στον Δ συν κάποιο ακόμη ακέραιο υ που ονομάζεται υπόλοιπο.

Δ = δ x Π +υ

Το πρόβλημα είναι το εξής: Πέντε άνθρωποι και ένας πίθηκος ναυαγούν σε ένα ερημονήσι. Την πρώτη ημέρα μαζεύουν καρύδες και δημιουργούν ολόκληρο σωρό για το φαγητό της επομένης. Μέσα στη νύχτα όμως κάποιος από τους πέντε ξυπνάει και αποφασίζει να πάρει το μερίδιό του εκείνη την ώρα δημιουργώντας πρώτα πέντε σωρούς από τον αρχικό. Επειδή περίσσεψε μία καρύδα την προσέφερε στον πίθηκο. Εκρυψε τον δικό του σωρό και τους υπόλοιπους τους ένωσε πάλι σε έναν σωρό. Μετά πήγε ήσυχος για ύπνο. Στη συνέχεια ξυπνάει ένας ακόμη και επαναλαμβάνεται η ίδια ιστορία. Πέντε σωροί από έναν, παίρνει το δικό του μερίδιο και μία που περισσεύει και προσφέρεται και πάλι στον πίθηκο. Κρύβει και αυτός το δικό του μερίδιο, ενώνει τους πέντε σωρούς σε έναν και πάει να κοιμηθεί ξανά. Το ίδιο έγινε με όλους. Το πρωί μόλις ξυπνούν ό,τι είχε μείνει μοιράζεται στα πέντε, περισσεύει για άλλη μία φορά μία καρύδα που δίνεται στον πίθηκο, ο οποίος έφθασε έτσι να έχει έξι καρύδες. Ζητείται το πόσες καρύδες υπήρχαν αρχικά.

Η αρχή της λύσης

Αυτό που συμβαίνει στη διάρκεια της ιστορίας με τους ναυαγούς είναι να γίνονται έξι διαιρέσεις της μορφής: Δ = δ x Π +υ. Στην ουσία ένας αριθμός (διαφορετικός) κάθε φορά διαιρείται με τα 5 και μένει υπόλοιπο 1. Αν λοιπόν είναι Ν ο αρχικός αριθμός, δηλαδή οι καρύδες που μάζεψαν όλοι μαζί, ο πρώτος, όταν ξύπνησε, τον διαίρεσε διά 5 και είχαμε: Ν = 5Π₁ + 1. Κράτησε το μερίδιό του, που ήταν ίσο με Π₁, έδωσε το 1 περισσευούμενο στον πίθηκο και άφησε πίσω του 4Π₁.

Αυτό διαιρέθηκε από τον επόμενο διά 5 και είχαμε:

4Π₁ = 5Π₂ + 1. Κράτησε ο δεύτερος 1Π₂, έδωσε 1 καρύδα στον πίθηκο και άφησε πίσω του 4Π₂. Αυτό συνεχίστηκε μέχρι τον πέμπτο. Που κράτησε ένα από τα 5 Π₅, έδωσε μία ακόμη καρύδα στον πίθηκο (που έκανε πλέον 5 τις δικές του καρύδες) και όταν ξύπνησαν όλοι είχαν μείνει προς διανομή 4 Π₅ καρύδες, όποτε η τελευταία διαίρεση ήταν: 4 Π₅ = 5 Π₆ + 1.

Εδώ τώρα είναι η στιγμή για την εμπνευσμένη κίνηση: Προσθέτουμε στην τελευταία αυτήν σχέση και στα δύο μέλη τον αριθμό 4 και παρακολουθούμε τις συνέπειες αυτής μας της πράξης: 4 Π₅ + 4 = (5 Π₆ + 1) + 4 που οδηγεί στην συνέχεια σε μια πολύ χρήσιμη σχέση: 4(Π₅ + 1) = 5(Π₆ + 1). Χρήσιμη διότι από αυτήν προκύπτει ότι το (Π₅ + 1) θα πρέπει να είναι πολλαπλάσιο (εκτός από πιθανόν και άλλους ακεραίους) και του 5.

Καλή συνέχεια μέχρι την επόμενη Κυριακή.

Πνευματική Γυμναστική

1. Ενας ποδηλάτης έχει συνάντηση με μια φίλη του στις 5 μ.μ. στο κέντρο της πόλης και ήθελε να εμφανιστεί ακριβώς τότε. Ο δρόμος έως εκεί είναι γεμάτος με αυτοκίνητα. Γι’ αυτό δυσκολεύεται να υπολογίσει τι ώρα πρέπει να φύγει από το σπίτι του. Από το Διαδίκτυο βλέπει πως αν κατάφερνε να πάει με ταχύτητα 15 χιλιομέτρων την ώρα θα έφθανε 1 ώρα πιο νωρίς στο σημείο της συνάντησης. Αν όμως πήγαινε με 10 χιλιόμετρα την ώρα θα έφθανε 1 ώρα αργότερα από τις 5. Σε πόση απόσταση από τον ποδηλάτη βρισκόταν το σημείο συνάντησης;

2. Ενας κύκλος είναι χαραγμένος στην άμμο και πετάς ένα ραβδάκι με μήκος όσο και η ακτίνα του κύκλου προς το μέρος του. Πόση είναι η πιθανότητα το ένα άκρο του να ακουμπά σε κάποιο τυχαίο σημείο στην περιφέρεια και το άλλο άκρο να βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου; Πόσο αλλάζει αυτή η πιθανότητα αν το μήκος στο ραβδάκι αλλάξει σε μισή ακτίνα και πόσο αν γίνει δύο φορές η ακτίνα;

Οι απαντήσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Ενας δύσκολος καθηγητής στη Φυσική συνήθιζε να μας δίνει στις εξετάσεις προβλήματα όπου ζητούσε κάτι και έλεγε στο τέλος: θεωρήστε πως ό,τι χρειάζεστε ως δεδομένο είναι γνωστό. Αυτά ήταν από τα δυσκολότερα θέματα. Να λοιπόν κάτι ανάλογο: Θέλουμε να βρούμε τον όγκο του σώματός μας (χωρίς ρούχα βέβαια και χωρίς να μπούμε σε μπανιέρα όπως ο Αρχιμήδης). Υποθέτουμε πως γνωρίζουμε και το ύψος μας και ό,τι άλλο χρειαζόμαστε μπορεί τώρα να βρεθεί στο Διαδίκτυο – η πυκνότητα δίδεται από τον τύπο d = (m/V), δηλαδή η μάζα διά του όγκου. Ας αναφερθούμε λοιπόν σε ένα άτομο με ύψος 1,65 μέτρα και μάζα 65 κιλά. Ετσι απλά για τη γνώση, εγκέφαλος και καρδιά περιέχουν 73% νερό, οι πνεύμονες 83%, δέρμα 64%, μύες και νεφρά 79%, οστά 31%, όλα αυτά υπολογίζεται πως δίνουν έναν μέσον όρο 60% σε νερό στο ανθρώπινο σώμα. Συν ένα 10% σε αέρα, στους πνεύμονες κυρίως. Αρα πρέπει να είμαστε σε πυκνότητα κοντά σε αυτήν του νερού. Μια άλλη παρατήρηση μπορεί να επιβεβαιώσει την τιμή που δίδεται γενικά για την πυκνότητα συνολικά του ανθρώπινου σώματος. Η παρατήρηση αυτή είναι πως περίπου (δηλαδή με κάποια προσπάθεια) επιπλέουμε ακίνητοι στο (γλυκό) νερό με το σώμα βυθισμένο σχεδόν ολόκληρο. Αρα πρέπει να έχουμε μια πυκνότητα κοντά σε αυτήν του νερού, συνολικά από 950 έως 1070 κιλά ανά κυβικό μέτρο, ανάλογα αν έχουμε βγάλει από τους πνεύμονες αρκετό από τον αέρα. Οπότε τελικά ο όγκος σε κυβικά μέτρα από τον τύπο της πυκνότητας: d = (m/V) θα είναι V = (m/d) ή V = 65 kgr/1000 (kgr/m3 ) = 0,065 m3 ή 65 λίτρα, άρα αριθμητικά ο όγκος ενός κανονικού ανθρώπου είναι περίπου όσο και η μάζα του σε κιλά.

2. Ποιος αριθμός είναι μεγαλύτερος; Η κυβική ρίζα του 2 ή η δέκατη ρίζα του 10; Η τρίτη ρίζα του 2 γράφεται: (2)(1/3) και η δέκατη ρίζα του 10 γράφεται: (10) (1/10) και αν υψωθούν στην τριακοστή δύναμη θα προκύψει από τη μια το 210 = 1024 και από την άλλη το 103 = 1 000, άρα η τρίτη ρίζα του 2 είναι μεγαλύτερη.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα