Στην οικογένεια των Μπαλάνων, με πιο γνωστούς τον πατέρα Βασιλόπουλο Μπαλάνο και τον γιο του Κοσμά Μπαλάνο αλλά και τους άλλους τρεις γιους που επίσης δίδαξαν, ακολούθησαν όλοι βίους περίπου ομοιότυπους. Πατέρας και γιος Κοσμάς ιερείς, που όμως ασχολήθηκαν ιδιαίτερα με τη διδασκαλία της αριθμητικής στην περιοχή των Ιωαννίνων και έγραψαν ο καθένας βιβλία αριθμητικής όπως μια «Εκθεση Συνοπτική Αριθμητικής, Αλγγεμπρας και Χρονολογίας» ή άλλα παρόμοια.

Από αρχοντική οικογένεια της Ηπείρου, ανήκαν στον λεγόμενο γιαννιώτικο Διαφωτισμό, ο πιο γνωστός εκπρόσωπος του οποίου υπήρξε ο Μεθόδιος Ανθρακίτης. Ο πατέρας των τεσσάρων παιδιών διαδέχθηκε τον Ανθρακίτη ως σχολάρχης. Παρέμεινε στη θέση μέχρι τον θάνατό του, το 1760 περίπου, οπότε παραδόθηκε η ηγεσία της Σχολής Γκιούμα στα Ιωάννινα στον γιο του, Κοσμά Μπαλάνο (1731-1808). Εκτοτε, η Σχολή Γκιούμα – ή αρχιγυμνάσιονκατά τον Βασιλόπουλο Μπαλάνο – αποκαλείται και Μπαλαναία Σχολή.

Υπήρξαν όλοι πολύ συντηρητικοί, πραγματικά «αντιστασιακοί» στην «πολιορκία» του Διαφωτισμού και τα βιβλία τους ήταν γραμμένα σε γλώσσα αρχαία έως αρχαΐζουσα και καταλαβαίνει ο καθένας πως αριθμητική και σε τέτοια γλώσσα θα ήταν κυριολεκτικά ένα διπλό μαρτύριο για τους μικρούς μαθητές.

Πρόβλημα και λύση

Παράδειγμα προβλήματος: Οδοιπόρος τις προ έξ αποδημήσας ημερών διανύει καθ’ εκάστην ημέραν ώρας τρεις. Ετερος δε ήδη αποδημών και την αυτήν οδοιπορίαν εκείνω ποιούμενος αλλά διανύσων εκάστης ημέρας ώρας πέντε ως τον πρώτον καταληψόμενος ζητεί μαθείν πόσαις ημέραις αυτόν καταλήψεται.

Πρώτη υπόδειξη για τη λύση είναι η εξής: Καταλήψεται ο δεύτερος των οδοιπόρων τον πρώτον ηνίκα διανύσει ώρας όσας εκείνος. Σωστή σκέψη που προϋποθέτει βέβαια το αποσιωπηθέν ότι βαδίζουν με την ίδια ταχύτητα. Βάζοντας α = 6, β = 3, γ = 5 και χ τις ζητούμενες ημέρες προφανώς όπως χαρακτηριστικά γράφει: «θηρεύεται αύτη η ίσωσις», γχ = αβ + χβ. Αφού φροντίσει να βεβαιώσει ότι το γχ είναι μεγαλύτερο του βχ (διότι εκείνη την εποχή οι θρησκευόμενοι διδάσκαλοι απέφευγαν να ασχοληθούν με τους αρνητικούς ακέραιους αριθμούς) λύνει την εξίσωση κατά τα γνωστά ως προς χ και η αριθμητική αντικατάσταση γίνεται «εις κύφρας μετενεχθείσα». Ενδιαφέρον παρουσιάζουν για τον μελετητή τα διάφορα παραδείγματα προβλημάτων (πολύ απλά για έναν σημερινό μαθητή γυμνασίου) που όπως φαίνεται έχουν διασωθεί μάλλον οι εκφωνήσεις τους από πολύ παλαιότερα εγχειρίδια έχοντας αναφορές σε πρόσωπα μυθικά.

Στο βιβλίο που εξετάσαμε η Χρονολογία αναφέρεται σε λεπτομερείς υπολογισμούς ημερολογίων, κύκλων της Σελήνης και του Ηλίου, επίσης πολύ ενδιαφέρον για τους μελετητές των θεμάτων αυτών.

* Οποιος ενδιαφέρεται για το περιεχόμενο του βιβλίου αυτό βρίσκεται σε διάφορες περιφερειακές βιβλιοθήκες όπως η Βιβλιοθήκη της Κοζάνης, από όπου κατόπιν αιτήσεως επιτρέπεται η πρόσβαση από μακριά.

Πνευματική Γυμναστική

1. Ο κύριος Α. παίζει κάθε εβδομάδα στη λοταρία για να βρει τους 6 αριθμούς από τους 49 που θα κληρωθούν, αν και γνωρίζει ότι υπάρχουν 13.983.816 διαφορετικοί συνδυασμοί. Μια άλλη εταιρεία έρχεται και του προτείνει να παίζει 43 αριθμούς κάθε εβδομάδα αφήνοντας έξω μόνον 6 που δεν πρέπει να κληρωθούν. Τον συμφέρει καλύτερα;

2. Μας δίνουν 12 νομίσματα εξωτερικά ομοιόμορφα και μια ζυγαριά με δύο βραχίονες αλλά χωρίς σταθμά. Μας ζητούν να διαπιστώσουμε αν έχουν όλα το ίδιο βάρος ή αν ένα μόνον από αυτά δεν είναι όμοιο με τα άλλα και να ανακαλύψουμε αν είναι ελαφρύτερο ή βαρύτερο. Με τις δυνατόν λιγότερες ζυγίσεις.

Οι απαντήσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Ενας άνθρωπος με ύψος 2 μέτρων, αρχικά στέκεται μπροστά από έναν φανοστάτη που έχει ύψος 6 μέτρα, σε απόσταση x από αυτόν. Η σκιά του εκείνη τη στιγμή έχει μήκος s. Αρχίζει να περπατάει με ταχύτητα 1 μέτρο το δευτερόλεπτο, απομακρυνόμενος από τον φανοστάτη. Ζητούμε την ταχύτητα μεταβολής του μήκους της σκιάς του και την ταχύτητα που με αυτήν προχωρεί η κορυφή της σκιάς. Χωρίς να κάνει κάποιος τις πράξεις περιμένει οι δύο αυτές ταχύτητες να είναι ίσες ή άνισες; Λόγω έλλειψης χώρου θα περιγράψουμε τα σχετικά μεγέθη που θα χρησιμοποιήσουμε και ο αναγνώστης μπορεί να φτιάξει με αυτά ένα βοηθητικό σχήμα. Εστω Η το ύψος του φανοστάτη, h το ύψος του ανθρώπου, L η απόσταση από τη βάση του φανοστάτη μέχρι το άκρο της σκιάς, S απόσταση από τη βάση μέχρι την αρχή της σκιάς και X το μήκος της σκιάς. Από τα όμοια τρίγωνα που παρουσιάζονται προκύπτουν οι σχέσεις: (H/h) = (x+S)/S. Επειδή (H/h) = (6/2) = 3 προκύπτει ότι (S/x) = (1/2), άρα S = (1/2)x. Εχουμε επομένως βρει μια σχέση μεταξύ του μήκους της σκιάς και της απόστασης. Αν θεωρήσουμε λοιπόν ότι ο άνθρωπος προχωρεί κατά Δx απομακρυνόμενος από τον φανοστάτη η σκιά του θα υποστεί μια μεταβολή ως προς το μήκος της κατά (1/2)ΔS. Αρα η μεταβολή των δύο μεγεθών (ΔS/ Δx) = (1/2). Αυτά όμως μεταβάλλονται μέσα στον χρόνο, οπότε αν εισαγάγουμε και για τα δύο την ίδια μεταβολή στον χρόνο: Δt τότε [(ΔS/Δt)/(Δx/Δt)] = (1/2) και επειδή η ταχύτητα (Δx/Δt) = 1 προκύπτει (ΔS/Δt) = (1/2). Προφανώς ακολουθήσαμε αυτήν τη διαδικασία με τη σκέψη να αποφύγουμε την ωμή διαφόριση. Και για την ταχύτητα του άκρου της σκιάς μπορούμε να αποφύγουμε και πάλι τη διαφόριση. Αρκεί να σκεφθούμε πως το άκρο της σκιάς θα προχωρεί εξαιτίας δύο παραγόντων, του βαδίσματος του ανθρώπου προς τα δεξιά (= 1 μέτρο κάθε δευτερόλεπτο) και του ότι μακραίνει η σκιά κάθε δευτερόλεπτο κατά μισό μέτρο όπως βρήκαμε πριν. Αρα συνολικά η ταχύτητα του άκρου της κάθε δευτερόλεπτο θα είναι [1 + (1/2] = (3/2) μέτρα ανά δευτερόλεπτο. Ο προηγούμενος συλλογισμός δίνει και την απάντηση για το τι θα έπρεπε να περιμένουμε εξ αρχής.

2. Εχω ρολόι τοίχου στο σπίτι αλλά όχι ρολόι χεριού ή κινητό. Κάποια στιγμή σταμάτησε γιατί ξέχασα να το κουρδίσω, άρα δεν ήξερα τη σωστή ώρα. Επρεπε να φύγω για το σπίτι ενός φίλου μου που είχαμε συνάντηση και σκέφθηκα ότι πρέπει να κάνω κάτι ώστε στον γυρισμό να ξέρω τη σωστή ώρα (έστω στο περίπου). Πήγα εκεί και μου έκανε παρατήρηση διότι είχα αργήσει περίπου μισή ώρα (αναμενόμενο αφού το ρολόι του σπιτιού μου είχε σταματήσει). Επιστρέφοντας από τον ίδιο δρόμο μπορούσα πλέον να βάλω και το δικό μου ρολόι αρκετά κοντά στη σωστή ώρα. Πώς το κατάφερα; Κουρδίζω καλά το ρολόι του σπιτιού μου λίγο πριν βγω και σημειώνω την τυχαία ώρα έστω Ω1 που δείχνει. Πηγαίνω στο σπίτι του φίλου μου, μόλις μπαίνω σημειώνω την ώρα ω1 που γράφει ένα από τα δικά του ρολόγια (έχει οπωσδήποτε διότι αλλιώς πώς θα ήξερε να μου πει πόσο άργησα;). Τη στιγμή που φεύγω σημειώνω επίσης την ώρα ω2. Μόλις φθάνω στο σπίτι σημειώνω και την ώρα Ω2 που δείχνει το δικό μου ρολόι. Κάνω τις αφαιρέσεις (Ω2 – Ω1) και (ω2 – ω1). Αφαιρώ μεταξύ τους τις δύο διαφορές που προκύπτουν και το αποτέλεσμα το διαιρώ διά 2. Αυτό δίνει τον χρόνο που κάνω από το ένα σπίτι στο άλλο. Το προσθέτω στην ω2 και αυτή είναι η σωστή ώρα που πρέπει να βάλω τους δείκτες του ρολογιού μου.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα