Το λάθος του παίκτη

Είναι γνωστή από παλιά η φράση «ο παίζων χάνει και ο πίνων μεθά», αλλά είχε και αυτή τόση επίδραση προς το κοινό-στόχο όσο και οι σημερινές του τύπου «η συχνή συμμετοχή στα παίγνια ενέχει κινδύνους εθισμού και απώλειας περιουσίας» που ακούγονται πλέον αλλά δεν φθάνουν καν στον εγκέφαλο για να τους γίνει η όποια επεξεργασία τους αξίζει.

Θεωρούμε ωστόσο ότι είναι υποχρέωση της στήλης να καταστήσει σαφές ότι όποια προσφορά και να παρουσιάζεται ως ενδιαφέρουσα ή συναρπαστική το ποσοστό κέρδους από την εταιρεία που οργανώνει το παιχνίδι (καζίνο, στοιχηματική, λαχεία, φρουτάκια κ.λπ.) είναι πάνω από 50%. Παλαιότερα είχαμε αναλύσει παιχνίδια τύπου λόττο, αλλά ας δούμε τώρα το πώς  μια περίπτωση που μοιάζει ευνοϊκή για όποιον (κάνει το λάθος να) παίξει δεν είναι και τόσο.

Μια ζαριά καλή;

Τρία ζάρια ρίχνονται με τον οποιονδήποτε τρόπο (με το χέρι, με μηχάνημα, με υπολογιστή κ.λπ.). Ο παίκτης ποντάρει σε έναν από τους αριθμούς 1 έως 6. Αν σε ένα από τα τρία ζάρια έλθει ο αριθμός που ποντάρισε παίρνει ίσο ποσό με αυτό που στοιχημάτισε. Αν έλθει ο αριθμός σε περισσότερα από ένα έχει κέρδος για το καθένα από αυτά. Φαινομενικά η πιθανότητα για το καθένα ζάρι είναι 1 στα 6, άρα για τα τρία μαζί είναι 3 στα 6, δηλαδή ακριβώς 50% και μπορεί και παραπάνω αν έλθει ο αριθμός όπως αναφέρθηκε σε περισσότερα από ένα ζάρια. Φαίνεται ενδιαφέρον και επικερδές;

Προφανώς αυτό είναι λάθος και κανένας οργανωτής στοιχήματος δεν παίζει καν με 50%. Ας υποθέσουμε ότι ποντάρουμε 1 ευρώ σε κάποιον από τους 1, 2, 3, 4, 5, 6. Το χάνουμε αν δεν εμφανιστεί ο αριθμός αυτός. Για το κάθε ζάρι να μη φέρει τον αριθμό μας η πιθανότητα είναι (5/6) (δηλαδή οι 5 αριθμοί που δεν ποντάραμε). Αυτό να συμβεί και με τα τρία ζάρια που θα ριχτούν ταυτόχρονα δίνει μια πιθανότητα (5/6)x(5/6)x(5/6) = (5/6)³ = (125/216). Το να έλθει ο αριθμός μας στο ένα ζάρι και όχι στα άλλα δύο, οπότε κερδίζουμε 1 ευρώ, η πιθανότητα είναι για το κάθε ζάρι: (1/6)(5/6)^{2 ,} άρα για τα τρία μαζί: 3(1/6)(5/6)² = (75/216). Να  έλθει σε δύο ζάρια ο αριθμός η πιθανότητα είναι: 3(1/6)²(5/6) = (15/216). Και στα τρία να έλθει ο αριθμός μας η πιθανότητα γίνεται (1/6)³. Αθροίζουμε όλες τις περιπτώσεις, και αυτήν όπου χάνουμε το 1 ευρώ, βάζοντας εκεί το αρνητικό πρόσημο και έχουμε:

(-1)(125/216) + (1)(75/216) + (2)(15/216) + (3)(1/216) = -(17/216) = -0,0787.

Πάντοτε χαμένοι

Αρα η συνολική πιθανότητα είναι να χάνουμε συνολικά 0,08 περίπου, δηλαδή 8 σεντ, για κάθε ευρώ που ποντάρουμε. Ασχετα αν σε κάποιες μεμονωμένες περιπτώσεις μπορεί να πάρουμε και 3 ευρώ (και να φύγουμε αμέσως αν είναι με την πρώτη ή με τη δεύτερη). Οπως ακριβώς το έλεγαν οι παλιοί λοιπόν, ο παίζων χάνει και μερικές φορές πολλά γιατί πρώτα έχουν γίνει οι υπολογισμοί  από τον οργανωτή και επιπλέον έχει αρκετά χρήματα για να αντέξει ένα πρόσκαιρο δυσμενές γύρισμα της τύχης.

Πνευματική Γυμναστική

1. Ας δούμε μια ιδιαίτερη ζυγαριά. Είναι αυτή με τους δύο δίσκους, ένας αριστερά, ένας δεξιά, αλλά τώρα ενώ έχουμε σταθμά ξέρουμε πως οι βραχίονες είναι άνισοι αλλά καταφέραμε πριν από μια ζύγιση να ισορροπούν οι δίσκοι. Με μια τέτοια ελαττωματική ζυγαριά όπου έχουμε σταθμά για να ζυγίζουμε ό,τι θέλουμε μπορούμε να βρούμε σωστά το (άγνωστο) βάρος ενός σώματος;

2. Ενας παππούς γράφει στη διαθήκη του: Τώρα που η κόρη μου είναι έγκυος, σε περίπτωση που γεννήσει αγόρι σε αυτό θα ανήκουν τα δύο τρίτα της περιουσίας μου και στην κόρη μου το υπόλοιπο ένα τρίτο. Αν γεννήσει κορίτσι, τότε αυτό θα πάρει το ένα τέταρτο της περιουσίας και η κόρη μου τα υπόλοιπα τρία τέταρτα. Τελικά ο παππούς συγχωρέθηκε και η κόρη του γέννησε δίδυμα, ένα αγόρι και ένα κορίτσι. Πώς θα μοιραστεί η περιουσία; (Υποθέτουμε πως η συνολική αξία της περιουσίας του ήταν Π.)

Οι απαντήσεις στα προηγούμενα κουίζ

Ο κύριος Α. παίζει κάθε εβδομάδα στη λοταρία για να βρει τους 6 αριθμούς από τους 49 που θα κληρωθούν, αν και γνωρίζει ότι υπάρχουν 13.983.816 διαφορετικοί συνδυασμοί. Μια άλλη εταιρεία έρχεται και του προτείνει να παίζει 43 αριθμούς κάθε εβδομάδα αφήνοντας έξω μόνον 6 που δεν πρέπει να κληρωθούν. Τον συμφέρει καλύτερα; Είναι 49 – 6 = 43. Οχι, είναι ακριβώς το ίδιο. Η επιλογή 6 αριθμών από 49 σημαίνει πως επιλέγουμε 43 αριθμούς που πιστεύουμε ότι θα μείνουν έξω από τη νικητήρια εξάδα. Αρα δεν έχει διαφορά το να έχουμε να επιλέξουμε 43 από 49. Οι πιθανότητες επομένως είναι ίδιες (και πολύ μικρές πάντα).

Μας δίνουν 12 νομίσματα εξωτερικά ομοιόμορφα και μία ζυγαριά με δύο βραχίονες αλλά χωρίς σταθμά. Μας ζητούν να διαπιστώσουμε αν έχουν όλα το ίδιο βάρος ή αν ένα μόνον από αυτά δεν είναι όμοιο με τα άλλα και να ανακαλύψουμε αν είναι ελαφρύτερο ή βαρύτερο. Με τις δυνατόν λιγότερες ζυγίσεις. Ξεκινούμε λοιπόν μια (φαινομενικά) μαραθώνια διαδικασία αλλά δεν είναι έτσι:

(Α): Τοποθετούμε 4 από τα 12 στον έναν δίσκο και άλλα 4 στον άλλον. Δύο περιπτώσεις υπάρχουν. Ι) Ανισορροπία (ένας δίσκος πιο επάνω – ένας δίσκος πιο κάτω): Αρα τα τέσσερα που έμειναν εκτός είναι σωστά. Για τα άλλα 8 έχουμε πως τέσσερα μπορεί να περιέχουν ένα υπέρβαρο (στον δίσκο που είναι πιο κάτω) και για τα άλλα τέσσερα πως μπορεί να περιέχουν ένα ελλιποβαρές (στον δίσκο που είναι πιο επάνω). Προσοχή όμως, όχι ταυτόχρονα. Μέσα σε αυτά τα 8 πάντως θα υπάρχει το ένα και ελαττωματικό. Η επόμενη κίνηση είναι ενδιαφέρουσα: (Β1): Από τα οκτώ προηγούμενα τοποθετούμε σε κάθε δίσκο 2 από αυτά που ήταν στον πιο βαρύ δίσκο (αυτόν που κατέβηκε πιο κάτω) και ένα από αυτά που ήταν στον πιο ελαφρύ (οπότε μένουν έξω και δύο ακόμη από τον πιο ελαφρύ που τα ονομάζουμε Ελ1 και Ελ2). Εδώ πάλι δύο περιπτώσεις υπάρχουν. Αν υπάρχει ανισορροπία ξεχωρίζουμε τα 2 που ήταν στον πιο βαρύ δίσκο (το τρίτο που ήταν μαζί τους ας το ονομάσουμε Ελ3 και το αντίστοιχό του στον άλλον δίσκο που ήταν πιο ελαφρύς Ελ4) και τα ζυγίζουμε το ένα απέναντι στο άλλο. (Γ3): Αν έχουμε ανισορροπία το πιο βαρύ είναι και το ελαττωματικό. Αν έχουμε ισορροπία ελαττωματικό και πιο ελαφρύ από όλα τα υπόλοιπα είναι το νόμισμα Ελ4. Αν υπάρχει ισορροπία, ζυγίζουμε μεταξύ τους τα Ελ1 και Ελ2, οπότε το ελαφρύτερο είναι το ελαττωματικό και είναι ελλιποβαρές. Γενικά με τρεις ζυγίσεις βρίσκουμε το λάθος νόμισμα και αν αυτό είναι ελαφρύτερο ή βαρύτερο. Ανάλογα πράττουμε και στις άλλες περιπτώσεις.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα