Γεννημένος περίπου το 325 π.Χ., άγνωστο πού, έζησε ως ενήλικος στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, την εποχή του Πτολεμαίου Α‘ (323-283 π.Χ.). Εκεί διάγει βίο λιτό, διδάσκει σε δική του σχολή και γράφει, μεταξύ άλλων, βιβλία Γεωμετρίας. Ο λόγος βεβαίως για τον Ευκλείδη. Ενα από τα βιβλία του, τα Στοιχεία, σώθηκε σε παπύρους, εξαφανισμένους πλέον. Εφθασε στην Ευρώπη ύστερα από μεταγραφές μέσω των Αράβων και θεωρείται από τα πολύ λίγα (δηλαδή τα μετρημένα στα δάχτυλα του ενός χεριού) διαχρονικά επιδραστικά βιβλία.

Οταν ο Πτολεμαίος Α’ ζήτησε από τον Ευκλείδη έναν πιο εύκολο τρόπο από τα Στοιχείατου για να μάθει Γεωμετρία, η απάντηση ήταν: «Δεν υπάρχει βασιλική οδός για τη Γεωμετρία». Στο Ανθολόγιο του Στοβαίουαναφέρεται και το εξής: «Κάποιος που είχε αρχίσει να διδάσκεται Γεωμετρία δίπλα στον Ευκλείδη, μόλις έμαθε το πρώτο θεώρημα τον ρώτησε: «Τι περισσότερο θα κερδίσω αν τα μάθω όλα αυτά;». Τότε ο Ευκλείδης φώναξε τον δούλο του και του είπε: «Δώσε σε αυτόν τρεις οβολούς διότι έχει ανάγκη να κερδίζει κάτι από ό,τι μαθαίνει»».

Η απόδειξη

«Στη διάρκεια της μελέτης μου σταθερά έπεφτα επάνω στη λέξη «απόδειξη». Στην αρχή μου φαινόταν πως καταλάβαινα την έννοιά της, αλλά γρήγορα έγινε φανερό πως δεν την καταλάβαινα… Συμβουλεύτηκα το λεξικό Webster που ανέφερε: «Πειστήριο πέρα από κάθε δυνατότητα αμφιβολίας». Αλλά δεν μπορούσα να σχηματίσω μια (ξεκάθαρη) ιδέα για το τι ακριβώς εννοούσε. Μου φαινόταν πως πολλά πράγματα ήταν πειστικά πέρα από κάθε αμφιβολία χωρίς να χρειάζεται να καταφύγουμε στην αυστηρά ορισμένη έννοια της απόδειξης. Αφού μπορούσαμε να δώσουμε να καταλάβει και την έννοια του μπλε ακόμη και σε έναν τυφλό. Τελικά είπα στον εαυτό μου «δεν θα μπορέσεις να γίνεις δικηγόρος ποτέ αν δεν καταλάβεις τι θα πει απόδειξη». Ετσι εγκατέλειψα το σπίτι μου εκεί που ζούσα και πήγα πίσω στο πατρικό μου. Εμεινα έως ότου καταλάβαινα καλά τα έξι βιβλία του Ευκλείδη που βρίσκονταν εκεί. Βρήκα τι σημαίνει απόδειξη και έτσι επέστρεψα στις σπουδές μου στα νομικά».

Αυτή η εξομολόγηση έγινε στον αιδεσιμότατο Γκάλιβερ από τον Αβραάμ Λίνκολν. Η απάντηση του Γκάλιβερ ήταν η εξής: «Ο Ευκλείδης, αν διαβαστεί σωστά, θα μπορούσε να απελευθερώσει τον κόσμο από τις μισές τουλάχιστον συμφορές, εκμηδενίζοντας τη μισή από την ανοησία που τον παραπλανά και τον κατατρέχει. Τα βιβλία του θα ήταν από τα καλύτερα, αρκεί να μπορούσαμε να κάνουμε τον κόσμο να τα διαβάσει». Και όπως αναφέρει στη συνέχεια ο ίδιος ο Γκάλιβερ, ο Λίνκολν γέλασε, συμφώνησε και είπε: «Ψηφίζω Ευκλείδη».

Η τακτική αναγνώστρια της σελίδας, εικαστικός Εύα Αποστολάτου, μας ενημέρωσε πως στη διεύθυνση The hardest logic puzzle ever – Eva Apostolatou’s rationale – YouTube έχει αναρτήσει μια δική της λύση για το περιβόητο «Πρόβλημα των Τριών Θεών» του Ρέιμοντ Σμούλιαν.

Πνευματική Γυμναστική

1Μας δίνεται ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά ίση με δύο μονάδες μήκους. Με κέντρα καθεμία από τις τρεις κορυφές του γράφουμε κύκλους με ακτίνα 1 μονάδα μήκους. Στο εσωτερικό του τριγώνου προκύπτει μια επιφάνεια που ορίζεται από τα τρία σημεία επαφής των κύκλων ανά δύο. Πώς θα υπολογίσουμε το εμβαδόν αυτής της επιφάνειας;

2Οι πίτσες πάνε και έρχονται. Ενα πρόβλημα προκύπτει με το κόψιμο σε κομμάτια από ευθύγραμμες μαχαιριές. Με μία την κόβουμε στα δύο, με δύο μαχαιριές το μάξιμουμ είναι 4 κομμάτια, με την τρίτη μαχαιριά, αν αποφύγουμε το σημείο τομής των δύο προηγούμενων, μπορεί να προκύψουν και 7 κομμάτια. Αν Μ είναι οι μαχαιριές και Κ τα κομμάτια που προκύπτουν, μπορούμε να βρούμε μια σχέση μεταξύ των Κ και Μ; (Υπόδειξη: προχωρούμε λίγο περισσότερο με το μυαλό μας, τουλάχιστον μέχρι τις 6 μαχαιριές και παρατηρούμε την αύξηση των κομματιών. Παίρνουμε τις διαφορές στον αριθμό των κομματιών που προκύπτουν και τις διαφορές των διαφορών…)

Οι απαντήσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Είχαμε μια (ελαττωματική) ζυγαριά με τους δύο δίσκους, έναν αριστερά, έναν δεξιά, αλλά ενώ έχουμε σταθμά ξέρουμε πως οι βραχίονες είναι άνισοι. Καταφέρνουμε παρ’ όλα αυτά πριν από μια ζύγιση να ισορροπούν οι δίσκοι. Ομως έστω κι έτσι, αφού έχουμε σταθμά μπορούμε να ζυγίζουμε ό,τι θέλουμε και να βρούμε σωστά το (άγνωστο) βάρος του. Αυτό επιτυγχάνεται με τη λεγόμενη μέθοδο της διπλής ζύγισης. Βάζουμε το αντικείμενο με το άγνωστο βάρος Β στον έναν δίσκο και το εξισορροπούμε με σταθμά βάρους Β2. Στη συνέχεια βάζουμε το αντικείμενο στον άλλον δίσκο και εξισορροπούμε το βάρος του με σταθμά βάρους Β1. Αν τα μήκη των βραχιόνων είναι l1, l2, στην πρώτη περίπτωση θα ισχύει για την ισορροπία του ζυγού: Β x l1 = Β2 x l2 και στη δεύτερη Β1 x l1 = Β x l2. Διαιρώντας κατά μέλη προκύπτει ότι Β2 = Β1 x Β2 και έτσι έχει εξαλειφθεί το σφάλμα των βραχιόνων. Με το πραγματικό βάρος να είναι η τετραγωνική ρίζα του γινομένου των δύο ζυγίσεων.

2. Ενας παππούς γράφει στη διαθήκη του: Τώρα που η κόρη μου είναι έγκυος, σε περίπτωση που γεννήσει αγόρι, σε αυτό θα ανήκουν τα δύο τρίτα της περιουσίας μου και στην κόρη μου το υπόλοιπο ένα τρίτο. Αν γεννήσει κορίτσι, τότε αυτό θα πάρει το ένα τέταρτο της περιουσίας και η κόρη μου τα υπόλοιπα τρία τέταρτα. Τελικά ο παππούς συγχωρέθηκε και η κόρη του γέννησε δίδυμα, ένα αγόρι και ένα κορίτσι. Πώς θα μοιραστεί η περιουσία; (Υποθέτουμε πως η συνολική αξία της περιουσίας του ήταν Π.) Αφετηρία θα είναι (τι άλλο) η θέληση του παππού. Δηλαδή η κόρη του αν γεννήσει αγόρι να πάρει τα μισά από το νεογέννητο και αν γεννήσει κορίτσι να πάρει το τριπλάσιο από το κορίτσι. Αν χ είναι το μερίδιο της κόρης, ψ το μερίδιο του αγοριού και ω το μερίδιο του κοριτσιού, με την περιουσία να είναι Π έχουμε χ + ψ + ω = Π. Επίσης χ = (ψ/2) και χ = 3ω. Αντικαθιστούμε στην πρώτη εξίσωση και βρίσκουμε ότι χ = (3/10)Π. Αρα ψ = (6/10)Π και ω = (1/10)Π.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα